理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 第十五章虚位移原理 §15-1约束虚位移虚功 四§15-2虚位移原理 四§15-3应用举例
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 第十五章 虚位移原理 §15－1 约束•虚位移•虚功 §15－2 虚位移原理 §15－3 应用举例
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问 题,是研究静力学平衡问题的另一途径
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问 题，是研究静力学平衡问题的另一途径
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 §15-1约束虚位移虚功 1.约束及分类 约束:限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这 些限制条件的数学方程称为约束方程 (1)几何约束和运动约束 几何约束:限制质点或质点系在空间的几何位置的条件 如图1所示的平面单摆,其约束方程可表示为 2 x t y 6(x, y) 图1
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 1．约束及分类 约束：限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这 些限制条件的数学方程称为约束方程。 （1）几何约束和运动约束 几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。 如图1所示的平面单摆，其约束方程可表示为 §15－1 约束•虚位移•虚功 o y x A(x, y) 图1 2 2 2 x + y = l
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 又如图2所示的曲柄连杆机构,其约束方程则为 y (g-x)4+(B-D=b 2 xa+ya=a b 0 B(B,yR) 图2 运动约束:约束对质点或质点系的运动进行限制的条件 如车轮沿直线轨道作纯滚动,如图3所示
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 又如图2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为 2 2 2 xA + yA = a 2 2 2 (x x ) (y y ) b B − A + B − A = yB = 0 运动约束：约束对质点或质点系的运动进行限制的条件。 如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图3所示。 O y x b a ( , ) A A A x y ( , ) B B B x y 图2
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 其几何约束为 运动约束为 vo=ro=0 o-ro=o 图3 (2)定常约束和非定常约束 定常约束:约束条件不随时间改变的约束。如图1、2、 3中各例的约束条件皆不随时间变化,它们均是定常约 束
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 r 0 v o y x 图3 y = r 0 v0 − r = 0 ( 0) x 0 − r = 其几何约束为 运动约束为 （2）定常约束和非定常约束 定常约束：约束条件不随时间改变的约束。如图1、2、 3中各例的约束条件皆不随时间变化，它们均是定常约 束
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 非定常约束:约束条件随时间而改变的约束。如图4所示, 重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长为l, 匀速γ拉动绳子。其约束方程为 x+y=(10-v0)2 方程中显含时间t,此约束为 M(x,y) 非定常约束。 图4
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 非定常约束：约束条件随时间而改变的约束。如图4所示， 重物 由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长为 ， 匀速 拉动绳子。其约束方程为 M 0 l v o y x M (x, y) l v 图4 2 0 2 2 x + y = (l − v t) 方程中显含时间 ，此约束为 非定常约束。 t
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 (3)完整约束和非完整约束 完整约束:这类约束的约束方程中不包含坐标对时 间的导数,或者方程中的徼分项可以积分为有限形 式。如图3中,运动约束方程x-r=0虽是微分形 式,但可以积分为有限形式,故为完整约束。 非完整约束:这类约束的约束方程中包含坐标对时 间的导数(如运动约束),且方程不可积分为有限 形式。 (4)单侧约束和双侧的约束 单侧约束:只能限制质点或质点系单一方向运动的约 束。如图5所示
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 （3）完整约束和非完整约束 完整约束：这类约束的约束方程中不包含坐标对时 间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形 式。如图3中，运动约束方程 虽是微分形 式，但可以积分为有限形式，故为完整约束。 x 0 − r = 0 非完整约束：这类约束的约束方程中包含坐标对时 间的导数（如运动约束），且方程不可积分为有限 形式。 （4）单侧约束和双侧的约束 单侧约束：只能限制质点或质点系单一方向运动的约 束。如图5所示
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 X 其约束方程为 2x+u2 绳 刚杆 < 图5 图6 双侧约束:在两个相对的方向上同时对质点和质点系进 行运动限制的约束。如图6所示,其约束方程为 2 x+
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 其约束方程为 2 2 2 x + y l 双侧约束：在两个相对的方向上同时对质点和质点系进 行运动限制的约束。如图6所示，其约束方程为 2 2 2 x + y = l o y x 绳 图5 o y x 刚杆 图6
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 2.虚位移 虚位移:在质点系运动过程的某瞬时,质点系中的质点发 生的为约束允许的任意的无限小位移。如图7所示,可设想 质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移8。 B 图7 图8 虚位移可以是线位移,也可以是角位移。通常用变分符 号δ来表示。如图8中的O0、和B
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 2．虚位移 虚位移：在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发 生的为约束允许的任意的无限小位移。如图7所示，可设想 质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移 r 。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符 号 来表示。如图8中的 、 rA 和 rB 。 A r B r A B x z y r M r 图7 图8
理论力学电子敏程 第十五章虚位移原理 虚位移与实位移是不同的概念。实位移是质点系在一定时 间内真实发生的,它除了与约束条件有关外,还与时间、 主动力及运动初始条件有关,且有确定的方向。而虚位移 是在约束容许的条件下可能发生的微小位移,并视约束情 况可能有几种不同的方向,它与时间无关,是一个纯几何 的概念 3.虚功 力在虚位移中作的功。一般将力F在虚位移上作的虚功 表示为 OV=F·c 力偶M所做的虚功则表示为W=M·q 应注意:因虚位移只是假想的,不是真实发生的,故虚功 也是假想的,是虚的
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理 虚位移与实位移是不同的概念。实位移是质点系在一定时 间内真实发生的，它除了与约束条件有关外，还与时间、 主动力及运动初始条件有关，且有确定的方向。而虚位移 是在约束容许的条件下可能发生的微小位移，并视约束情 况可能有几种不同的方向，它与时间无关，是一个纯几何 的概念。 3．虚功 力在虚位移中作的功。一般将力 在虚位移 上作的虚功 表示为 F r W = Fr 力偶 M 所做的虚功则表示为 W = M 应注意：因虚位移只是假想的，不是真实发生的，故虚功 也是假想的，是虚的