04-05学年第二学期 理论力学AI试卷动力学)参考解答 判断题 1.错;2.对;3.错;4.错:5.对 二.选择、填空题 1.B;2.C;3.固有频率;4.A:5.向左移动l;6.=l 7.大小为m12a+M2a,转向逆时针 三.证明: 考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为 的弦上的运动,则在任意位置的受力如图所示 沿弦的方向用质点动力学基本方程得 质点加速度a=gcos,即质点作匀加速运动。考 虑到初始条件,不难求得其运动方程为 gt cos 6 又弦长(从圆顶点滑到圆周上的路程)为 s=2rcos e 质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需 的时间t= 4rcos6 4 ,与θ无关,故质量为m的质量从圆的最高 v a v goose 点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕
04—05 学年第二学期 理论力学 AII 试卷(动力学)参考解答 一．判断题 1．错； 2．对； 3．错； 4．错； 5．对。 二．选择、填空题 1．B； 2．C； 3．固有频率； 4．A； 5．向左移动 l 3 1 ； 6． l 3 2 7．大小为 2 2 3 1 ml + M l ，转向逆时针。 三．证明： 考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为 的弦上的运动，则在任意位置的受力如图所示。 沿弦的方向用质点动力学基本方程得 质点加速度 a = g cos ，即质点作匀加速运动。考 虑到初始条件，不难求得其运动方程为 cos 2 1 2 1 2 2 s = at = gt 又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为 s = 2r cos 质量为 m 的质量从圆的最高点 O 由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需 的时间 g r g r a s t 4 cos 2 4 cos = = = ，与 无关，故质量为 m 的质量从圆的最高 点 O 由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕
四.解 先求质心A的速度,设当圆柱体的质心A降落了高度h时质心A的速度为v 根据机械能守恒,以初始位置的重力势能为零,有 mv4-hmg=0 (1) 解得 v4=√3hg 下面求绳子的张力。为此先求质心A的加速度, 将式(1)对时间求导,并注意到关系 dh d 得 F h n 出-出mg=0=2 解得a4=2g 取圆柱为研究对象,受力分析见右下图,在铅垂方向用质 心运动定理 ma,=mg-Fr= Fr=mg-ma=mg
四．解： 先求质心 A 的速度，设当圆柱体的质心 A 降落了高度 h 时质心A 的速度为 A v 。 根据机械能守恒，以初始位置的重力势能为零，有 0 4 3 2 mvA − hmg = （1） 解得 vA 3hg 3 2 = 下面求绳子的张力。为此先求质心 A 的加速度， 将式（1）对时间求导，并注意到关系 A A A a t v v t h = = d d , d d ， 得 0 d d 2 3 0 d d d d 2 3 − = − g = t v mg t h t v mv A A A 解得 aA g 3 2 = 取圆柱为研究对象，受力分析见右下图，在铅垂方向用质 心运动定理 maA mg FT FT mg maA mg 3 1 = − = − =
五.解 由于弹簧是非理想约束,故将弹簧约束解除,其约束力F=k8=20N计入主 动力。给杆OA以虚角位移δp,各点虚位移如图所示,由虚功方程 SW= f dr- FGr sin 6+ pfr=0 将各虚位移的关系 or, orin Sr cos o 代入式(1)得 ow=(FC-Fsin 8+ P tan o) ar=0 即 Fr-Fsin 0+ P tan =0 解得 F 2Pnp+Fc_400tan30+201449(N) 2sin e 2sn60°
五．解： 由于弹簧是非理想约束，故将弹簧约束解除，其约束力 FC = k =20N 计入主 动力。给杆 OA 以虚角位移 ，各点虚位移如图所示，由虚功方程 W = FC r C − FrA sin + PrB = 0 （1） 将各虚位移的关系 , sin cos 2 1 C A A B r = r r = r 代入式（1）得 sin tan ) 0 2 1 W = ( FC − F + P rA = 即 sin tan 0 2 1 FC − F + P = 解得 144.9(N) 2sin 60 400 tan 30 20 2sin 2 tan = + = + = P FC F
六.解: 当重物C被限制在铅垂方向运动时,此系统为一单 自由度的保守系统。如取滑轮的转角q为广义坐标,以 静平衡位置为φ=0,系统的动能为 (m+ M)ro 如以静平衡位置φ=0作为零势能,则一般位置时的势能 为 kr=( 拉氏函数为 L=T-V=-(m+Mro4-=kr d al aL 代入拉氏方程daco=0得系统的运动微分方程 (m+M)r29+kro=0 或者 k m+M 此为典型的解谐振动微分方程,振动周期 =2T=2.. m+M on
六．解： 当重物 C 被限制在铅垂方向运动时，此系统为一单 自由度的保守系统。如取滑轮的转角 为广义坐标，以 静平衡位置为 = 0 ，系统的动能为 2 2 ( ) 2 1 T = m + M r 如以静平衡位置 = 0 作为零势能，则一般位置时的势能 为 2 2 2 1 V = kr 拉氏函数为 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 L = T −V = m + M r − k r 代入拉氏方程 0 d d = − L L t 得系统的运动微分方程 ( ) 0 2 2 m + M r + kr = 或者 = 0 + + m M k 此为典型的解谐振动微分方程，振动周期 k m M n + = = 2 2
七.解 由于不考虑滑轮的质量,两段绳子的拉力大小F应相同,且力偶矩M=rF1 (1)重物A匀速上升时,由平衡条件可得绳索拉力大小就等于物块A的重 力P,力偶矩M=rP (2)重物A以匀加速度a上升时,取物块A为研究对象,如图(b所示 F 由质心运动定理 a=F1-P→h=P+ (1) 力偶矩 M=rFT =rP(1+-) g (3)考虑绞车B,受力图如图(c),由刚体定轴转 动微分方程 M-rE (2) P r2P FRx 注意到Fn=Fr=P+-a,Jg= 以及运动 g 学关系a=ra,由式(2)可解得 21-) 3rP 当重物上升距离为h时的速度2=2ah=4g(M=P 即 4hg(M-rP) 3rp
七．解： 由于不考虑滑轮的质量，两段绳子的拉力大小 FT 应相同，且力偶矩 T M = rF （1）重物 A 匀速上升时，由平衡条件可得绳索拉力大小就等于物块 A 的重 力 P，力偶矩 M = rP。 （2）重物 A 以匀加速度 a 上升时，取物块 A 为研究对象，如图(b)所示。 由质心运动定理 a g P a F P F P g P = T − T = + (1) 力偶矩 (1 ) T g a M = rF = rP + （3）考虑绞车 B，受力图如图（c），由刚体定轴转 动微分方程 T1 J B = M − rF （2） 注意到 g r P a J g P F F P B 2 , 2 T1 = T = + = ， 以及运动 学关系 a = r ，由式（2）可解得 rP g M rP a 3 2 ( − ) = 当重物上升距离为 h 时的速度 rP hg M rP v ah 3 4 ( ) 2 2 − = = 即 rP hg M rP v 3 4 ( − ) = (a) (b)
最后求支座O处的约束力,取滑轮O为研究对象,受力图如图(d) 因F=Fn=F1=F1=P(1+ P 2M 33r 且滑轮质量不计,故 Fn coSP=- P 2M )cos B Fox=Fr sin B=(P12M )(1+snB) (a)
最后求支座 O 处的约束力，取滑轮 O 为研究对象，受力图如图（d） 因 r P M g a F F F F P 3 2 3 (1 ) T T1 = T = T1 = + = + = 且滑轮质量不计，故 )(1 sin ) 3 2 3 sin ( ) cos 3 2 3 cos ( T T1 T1 = + + + = = − + = − r P M F F F r P M F F Oy Ox