《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形 实对称矩阵的性质 二、 实对称矩阵对角化的方法 三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结

第五章相似矩阵与二次型 实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似为此，我们 首先证明下面三个引理 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数2为对称矩阵4的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=2x,x≠0. 用几表示2的共轭复数，x表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ax)=Ax

第五章 相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 设复数为对称矩阵A x 的特征值 复向量 为 对应的特征向量 即 Ax = x , x  0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = = = ( ) ( ) . Ax x x   x表示x的共轭复向量 , 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理

第五章相似矩阵与二次型 于是有。 'Ax=x'(Ax)=九x=元x'x, 另外 x'Ax=xA'x=(Ax)'x=(Ax)'x=Axx 两式相减，得 (-)x'x=0. 但因为x≠0， 所以x=2x=2x≠0，→(2-刀)=0， 即九=元，由此可得2是实数

第五章 相似矩阵与二次型 于是有 = ( ) Ax x = ( )  x x   x x  = 两式相减，得 ( ) 0.   − = x x  但因为x  0,  − = ( ) 0,   即 = , 由此可得是实数. 2 1 1 0, n n i i i i i x x x x x = = 所以  = =    x Ax x Ax ( ) = x x  =  x x  ,   = 另外 x Ax x A x    =

第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 由于对称矩阵A的特征值为实数，所以齐次 线性方程组 (A-,E)x=0 是实系数方程组，由A-2,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量

第五章 相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E    − = − = 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量可以取实向量

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的 证明设P,P,是对称矩阵A的不同的两个特征值 2,2,的特征向量，即 Ap1=21P1,Ap2=入2P2: A=A',.1p1'=(p)'=(Ap'=P1'=P1A, 于是p1'P2=p1Ap2=p1'(22P2)=2p1P2, → (21-2p1p2=0. 元1≠22，P1P2=0.即p1与p2正交

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , p p A   设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = =   , ， A A =  , 1 1 1 1 1   p p Ap ( ) ( )   = =  1 1 p A p A,   = =  于是 1 1 2 1 2 1 2 2   p p p Ap p p ( )    = = 2 1 2  p p , =  1 2 1 2  − = ( ) 0.   p p  , 1  2 .  = p p 1 2  0. 即p1与p2正交 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设为阶对称矩阵，几是A的特征方程的r 重根，则矩阵A-入E的秩为-r,从而对应特征值2恰有 个线性无关的特征向量， 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P-1AP=Λ， 其中△是以A的个特征值为对角元素的对角矩阵， 证明设4的的互不相等的特征值为入，入，.，入， 它们的重数依次为r,2,.,(G+2++r,= 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理5.4.3（如上）可得：

第五章 相似矩阵与二次型 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − =   设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定 证明 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为  s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r  − −   设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3( 如上)可得：

第五章相似矩阵与二次型 对应特征值2(i=1,2,.,S),恰有r个线性无 关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个 单位正交的特征向量而由(5++.+，=)知， 这样的特征向量共有个， 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=P-PA=A 其中对角矩阵A的对角元素含个2，.，”，个入，恰 是A的个特征值

第五章 相似矩阵与二次型 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n个单位特征向量两两正交. 1 2 ( 1,2, , ), , , . ( ) . i i i s i s r r r r r n n  = + + + = 对应特征值 恰有 个线性无 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 单位正交的特征向量 而由 知， 这样的特征向量共有 个 =  =  − − P AP P P 1 1 1 1 , , , . s s r r A n 其中对角矩阵的对角元素含 个  个 恰 是 的 个特征值 以它们为列向量构成正交矩阵P，则

第五章相似矩阵与二次型 二、实对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值 2.由(A-2,E)=0,求出4的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 2. ( ) 0, ; 由 A E x A − = i 求出 的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型 例1设A= 0 0 3 求正交矩阵P,使PAP为对角形矩阵 解 ()第一步求A的特征值 4-元 0 0 A-AE= 0 3-1 =(2-2)(4-)2, 0 13-九 得特征值21=2，入=几3=4

第五章 相似矩阵与二次型     − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E 2 = − − (2 )(4 ) ,   2, 4. 得特征值 1 = 2 = 3 = 1 4 0 0 1 0 3 1 0 1 3 . A P P AP −     =       例 设 ， 求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型 (2)第二步由(A-2E)x=0,求特征值2，对应的特征向量 0 对2=2，由(A-2E)x=0,得基础解系51= 1 -1 对人，=2=4，由(A-4E)x=0,得基础解系 n.5 52与53恰好正交， 0 所以5,52,5两两正交

第五章 相似矩阵与二次型 (2) 0, 第二步 由( A E x − =   i i ) 求特征值 对应的特征向量 1 1 0 2, ( 2 ) 0, 1 1   A E x     = − = =       − 对 由 得基础解系 2 3 2 3 4, ( 4 ) 0, 1 0 0 1 , . 0 1   A E x   = = − =         = =             对 由 得基础解系 ,  2与 3恰好正交 , , . 所以 1  2  3两两正交