第四章线性方程组 Ch4 线性方程组 §4.1线性方程组的解的判别 ●§4.2齐次线性方程组的解的结构 ·§4.3非齐次线性方程组解的结构
第四章 线性方程组 Ch4 线性方程组 §4.2 齐次线性方程组的解的结构 §4.1 线性方程组的解的判别 §4.3 非齐次线性方程组解的结构
第四章线性方程组 §4.1线性方程组的解的判别 >一、引例 二、线性方程组的解的判别方法
第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别 一、引例 二、线性方程组的解的判别方法
第四章线性方程组 、引例 n元线性方程组 01x1+012x2++01mXn=b 421七1+422X2+.+42mXn=b2 (4-1) am+am22+amxn=bm 记 l12 11 12 Cin b b, A= l21 a2 ,A= 21 22 。 Am2 Ami Am2 b
第四章 线性方程组 n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (4 1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = − + + + = 11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b = = 记 一、引例
第四章线性方程组 b x= . b= ba Xn b 于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax=b 由第二章的讨论可知，方程组(4-)与增广矩阵具有 一 对应关系，对方程组进行加减消元相当于对其增广 矩阵进行初等变换，因此求解方程组的问题就可以转化 为矩阵的初等行变化问题.一般线性方程组的解可能会出 现三种情况：有唯一解、有无穷多解或无解
第四章 线性方程组 1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b = = Ax = b 于是，这个非齐次方程组可以记为 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩阵具有 一一对应关系，对方程组进行加减消元相当于对其增广 矩阵进行初等变换，因此求解方程组的问题就可以转化 为矩阵的初等行变化问题.一般线性方程组的解可能会出 现三种情况：有唯一解、有无穷多解或无解
第四章线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是 它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩，即R(A)=R(), 证：对于一般线性方程组(4-1)，设 b L21 l22 B2 0C1= ,C2= b
第四章 线性方程组 二、线性方程组解的判别 4.1.1 (4 1) A A R A R A , ( ) ( ). − = 线性方程组 有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩 即 定理 证： 对于一般线性方程组（4-1），设 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b = = = =
第四章线性方程组 则线性方程组(4-1)可写为 xa+xaz +.+x a =B (4-3) 并且 A=[a1a2.an] A=[a1a,.a。B] 必要性 若方程组有解，则由(4-3)知B可由a1,Q2,an线性 表示，于是向量组%1，Q2,Cn与向量组C%1,2,Cn,B 等价.由性质2.3.1知秩{a%,a2,Cn}=秩{a,a2,.,0n,} 所以R(A)=R(A)
第四章 线性方程组 则线性方程组（4-1）可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x x x + ++ = − 1 2 1 2 n n A A = = 并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A − = 若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性
第四章线性方程组 充分性 若R(4)=R(,则向量组C,a2,an与向量组a1,C2, ,Cn,B有相同的秩，所以向量组c,a2,a,的最大无关 组一定是C,a2,an,的最大无关组，因此B可由向量组 ,42,n线性表示.由(4-3)知方程组(4-1)有解. 推论1当R(A)≠R(A)时，方程组(4-1)无解 推论2如果方程组(4-1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R()=n
第四章 线性方程组 充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A = − − 若 ，则 向 量组 与 向 量组 有相 同 的秩，所 以 向 量组 的 最大无关 组一定 是 , 的 最大无关组，因 此 可 由 向 量组 线 性表示 由 知 方程组 有解 推论 1 ( ) ( ) (4 1 当R A R A − 时，方程组 ) . 无解 (4 1) ( ) ( ) . 2 R A R A n − = = 如 果方程组 有解，则 它 有惟一解 的 充 分必 要条件是 推论
第四章线性方程组 证：（充分性） 由于方程组(4-1)有解，由(4-3)知B可由向量组 a1,a2,an线性表示.又R(A)=n,故1,2，an线性 无关，由定理2.3.2知B可由向量组1，a2，,Cn线性表 示的表达式惟一，即方程组(4-1)有惟一解。 (必要性) 由于方程组有解，假设R(A)=R(A)=r<,对 A作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为 X1 =d1-Cr+l-.-C1nXn X2 =l2-C2r+1-.-C2nXn
第四章 线性方程组 1 2 1 2 1 2 (4 1) (4 3) , , , . ( ) , , , , 2.3.2 , , , (4 1) . n n n R A n − − = − 由于方程组 有解，由 知 可由向量组 线性表示 又 故 线性 无关，由定理 知 可由向量组 线性表 示的表达式惟一，即方程组 有惟一解 证:(充分性) (必要性) R A R A r n ( ) ( ) A 由于方程组有解，假设 = = ，对 作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 r n n r n n r r rr rn n x d c c x x d c c x x d c c x + + + = − −− = − −− = − −−
第四章线性方程组 若给定x1式m一 组确定的数，由(4-4)式可得方 程组(4-1)的一组解，当x+1xn取两组不同的数时， 便得到方程组(4-1)的两组不同的解，这与方程组 (4-1)由唯一的解矛盾，故=n. 推论3如果方程组(4-1)有解，且R(A)=R(A)<, 则方程组(4-1)有无穷多解。 X1-2x2+3x3-X4=1, 例4判断方程组3x1-x2+5x,-3x4=2,是否有解. 2x1+X2+2x3-2x4=3
第四章 线性方程组 若给定xr+1,.,xn一组确定的数，由(4-4)式可得方 程组(4-1)的一组解，当xr+1,.,xn取两组不同的数时， 便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这与方程组 (4-1)由唯一的解矛盾，故r=n. 3 (4 1) ( ) ( ) , (4 1) . − = R A R A n − 如果方程组 有解，且 则方程组 有 推 无穷多解 论 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1, 4 3 5 3 2, . 2 2 2 3 x x x x x x x x x x x x − + − = − + − = + + − = 例 判断方程组 是否有解
第四章线性方程组 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换， 1-2 3 -11 5-3 -2 3 -11 A- 3-1 5 -32 0 5 -40 -1 212 -235-205-4 0 1 「1-2 3 -1 1 05 -4 0 000 0 2 可见R(A)=2,R(A)=3,所以方程组无解
第四章 线性方程组 1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A − − = − − − 2 1 3 1 3~2 r r r r −− 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 − − − − − 3 2 ~ r r − 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2 − − − − 解： 对方程组 的 增 广矩 阵 A实施初等行变换， 可见R A R A ( ) 2, ( ) 3, . = = 所以方程组无解