山东理工大学：《高等代数》课程教学资源（教案）第六章 线性空间

山东理工大学理学院备课纸 年月日 第六章线性空间 §1集合·映射 一、集合 1集合的定义：所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 2元素：组成集合的东西称为这个集合的元素， 用aeM表示a是集合M的元素.用aEM表示a不是集合M的元素. 3集合的表示方法：一种是列举法：列举出它全部的元素， 一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M=aa具有的性质}. 4空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作⑦. 5集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a∈M当且仅当 a∈N,那么它们就称为相等，记为M=N. 6子集：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N, 那么M就称为N的子集合，记为McN或NoM. 7集合的交：设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的 集合称为M与N的交，记为MnW. 8集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与 N的并，记为MUW 第1页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第六章 线性空间 §1 集合·映射 一、集合 1 集合的定义: 所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 2 元素: 组成集合的东西称为这个集合的元素. 用 aM 表示 a 是集合 M 的元素.用 aM 表示 a 不是集合 M 的元素. 3 集合的表示方法: 一种是列举法：列举出它全部的元素， 一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M = a | a具有的性质. 4 空集: 不包含任何元素的集合称为空集，记作 . 5 集合相等: 如果两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素，即 aM 当且仅当 a N ，那么它们就称为相等，记为 M = N . 6 子集: 如果集合 M 的元素全是集合 N 的元素，即由 aM 可以推出 a N ， 那么 M 就称为 N 的子集合，记为 M  N 或 N  M . 7 集合的交: 设 M 和 N 是两个集合，既属于 M 又属于 N 的全体元素所成的 集合称为 M 与 N 的交，记为 M  N . 8 集合的并: 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的并，记为 M  N 第 1 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 9集合的差集：M-N={xx∈M,xEN 二、映射 1映射的定义 设M和M是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法 则，它使M中每一个元素a都有M中一个确定的元素d与之对应.如果映射。 使元素a∈M与元素a∈M对应，那么就记为 a(a)=a', d就为a在映射。下的像，而a称为d在映射。下的一个原像， M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换. 关于M到M的映射σ应注意： 1)M与M可以相同，也可以不同： 2)对于M中每个元素a,需要有M中一个唯一确定的元素a与它对应： 3)一般，M中元素不一定都是M中元素的像 4)M中不相同元素的像可能相同： 5)两个集合之间可以建立多个映射 2两个映射相等 集合M到集合M的两个映射o及r,若对M的每个元素a都有c(a)=r(a则 称它们相等，记作σ=t. 第2页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 9 集合的差集: M N x x M x N − =    | ,  二、映射 1 映射的定义 设 M 和 M  是两个集合，所谓集合 M 到集合 M  的一个映射就是指一个法 则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M  中一个确定的元素 a  与之对应.如果映射  使元素 a M 与元素 aM 对应，那么就记为  (a) = a  , a  就为 a 在映射  下的像，而 a 称为 a  在映射  下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M  的映射  应注意： 1） M 与 M  可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M  中一个唯一确定的元素 a  与它对应； 3）一般， M  中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射. 2 两个映射相等 集合 M 到集合 M  的两个映射  及  ，若对 M 的每个元素 a 都有  (a) =  (a) 则 称它们相等，记作  = . 第 2 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 例1M是全体整数的集合，M是全体偶数的集合，定义 a(n)=2n,ne M, 这是M到M的一个映射. 例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义 G(A)A|,A∈M. 这是M到P的一个映射. 例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义 G2(a)=aE,aeP. E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射. 例4对于∫x)eP[],定义 a(f(x))=f(x) 这是P[]到自身的一个映射 例5设M,Mr是两个非空的集合，a,是M中一个固定的元素，定义 a(a)=a,a∈M. 这是M到M的一个映射. 例6设M是一个集合，定义 a(a)=a,aeM. 即σ把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射 或单位映射，记为1w 第3页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 1 M 是全体整数的集合， M  是全体偶数的集合，定义  (n) = 2n, n  M , 这是 M 到 M  的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1  ( ) | |, A A A M =  . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 2  ( ) , a aE a P =  . E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f x P x ( ) [ ]  ,定义  ( f (x)) = f (x) 这是 P x[ ] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ，M  是两个非空的集合， 0 a 是 M  中一个固定的元素，定义  (a) = a0 ,a  M . 这是 M 到 M  的一个映射. 例 6 设 M 是一个集合，定义  (a) = a ,a  M . 即  把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射 或单位映射，记为 M1 . 第 3 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 例7任意一个定义在全体实数上的函数 y=(x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 3映射乘法， 设。及：分别是集合M到M,Mr到M"的映射，乘积o定义为 (roXa)=r(a(a)),aEM, 即相继施行。和x的结果，o是M到M"的一个映射 对于集合集合M到M'的任何一个映射σ显然都有 lyo=oly =G. 映射的乘法适合结合律.设。，r,w分别是集合M到M,M到M", M"到M"的映射，映射乘法的结合律就是 (wt)o=v(ra) 4映上的，1-1的，双射 设g是集合M到M的一个映射，用o(M) 代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合.显然 o(M)cM'. 如果o(M0=M',映射σ称为映上的或满射 如果在映射。下，M中不同元素的像也一定不同，即由a≠a,一定有 o(a)≠c(a,),那么映射。就称为1-1的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射 第4页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y = f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 3 映射乘法, 设  及  分别是集合 M 到 M ，M  到 M  的映射，乘积  定义为 ( )(a) =  ( (a)) ,a  M , 即相继施行  和  的结果，  是 M 到 M  的一个映射. 对于集合集合 M 到 M  的任何一个映射  显然都有 1M =1M = . 映射的乘法适合结合律.设  , , 分别是集合 M 到 M ，M  到 M ， M  到 M  的映射，映射乘法的结合律就是 () = ( ). 4 映上的,1−1 的, 双射 设  是集合 M 到 M  的一个映射，用  (M ) 代表 M 在映射  下像的全体，称为 M 在映射  下的像集合.显然  (M )  M  . 如果  (M ) = M  ，映射  称为映上的或满射. 如果在映射  下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 a1  a2 一定有 ( ) ( )  a1  a2 , 那么映射  就称为 1−1 的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称 1−1 对应或双射. 第 4 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 5逆映射 对于M到M的双射。可以自然地定义它的逆映射，记为。.因为。为满 射，所以M中每个元素都有原像，又因为。是单射，所以每个元素只有一个 原像，定义 o(a)=a,当o(a)=d. 显然，σ是M到M的一个双射，并且 a"a=l,oo=l. 不难证明，如果。，r分别是M到M,M'到M"的双射，那么乘积xo就是M 到M”的一个双射. 练习：P273:1,2 第5页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 5 逆映射 对于 M 到 M  的双射  可以自然地定义它的逆映射，记为 −1  .因为  为满 射，所以 M  中每个元素都有原像，又因为  是单射，所以每个元素只有一个 原像，定义 a  = a a = a  − ( ) , ( ) 1  当 . 显然， −1  是 M  到 M 的一个双射，并且 M M − − =1 , =1 1 1    . 不难证明，如果  , 分别是 M 到 M ，M  到 M  的双射，那么乘积  就是 M 到 M  的一个双射. 练习：P273 ：1，2 第 5 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 §2线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义， 例1在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以 按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性 质是可以通过向量的这两种运算来描述的， 1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V的一个运算： 2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V到V的一个运算， 3°由知道，空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律」 例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义1令V是一个非空集合，P是一个数域在集合V的元素之间定义了 种代数运算，叫做加法：这就是说给出了一个法则，对于V中任意两个向量 与B,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为a与B的和，记为y=a+B 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：这就是说， 对于数域P中任一个数k与V中任一个元素a,在V中都有唯一的一个元素6 与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为6=k.如果加法与数量乘法满足下 述规则，那么V称为数域P上的线性空间. 加法满足下面四条规则： 1)a+B=B+a: 2）(a+B)+y=a+(B+i 第6页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以 按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性 质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意两个向量  与  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对应,称为  与  的和,记为  =  +  . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说， 对于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对应,称为 k 与  的数量乘积,记为  = k .如果加法与数量乘法满足下 述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则: 1)  +  =  + ； 2) ( +  ) +  =  + ( +  ) ； 第 6 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 3)在v中有一个元素0，a∈V,都有a+0=a(具有这个性质的元素0称 为V的零元素)： 4)a∈V,3B∈V,sta+B=0(B称为a的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5)la=a; 6)k(la)=(kla 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7)(k+Da=ka+la; 8)k(a+B)=ka+kB: 在以上规则中，k,1等表示数域P中任意数；α，B,y等表示集合V中任意元素 例3数域P上一元多项式环P],按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于的多项式，再添 上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[xl表示. 例4元素属于数域P的m×n矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域P上的一个线性空间，用P表示 例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间， 例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 第7页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有  + 0 = （具有这个性质的元素 0 称 为 V 的零元素）； 4)  V, V,st  +  = 0 (  称为  的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； ,  , 等表示集合 V 中任意元素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P x[ ] ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添 上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 [ ] P x n 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P  表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 第 7 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间： 1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法： aa=0.aeR.aeV. 2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项 式的乘法 例8设V是正实数集，R为实数域.规定 a⊕B=B(即a与B的积)， a⊙a=a(即a的a次幂)， 其中a,B∈V,aeR.则V对于加法⊕和数乘⊙作成R上的线性空间 二线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要 广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母a,B,y, 代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,.代表数域P中的数. 1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的. 3.0a=0k0=0.(-1)a=-a.4.如果ka=0,那么k=0或者a=0 本节主要问题是如何判断定义了加法和数乘的V是数域P上的线性空 间？ 练习：P273:3,4 第8页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法: a = 0,a  R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项 式的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定    =  (即  与  的积), a ⊙  = a  (即  的 a 次幂), 其中 ,  V,a  R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要 广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 ,  , ,  代表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c,  代表数域 P 中的数. 1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者  = 0. 本节主要问题是如何判断定义了加法和数乘的 V 是数域 P 上的线性空 间？ 练习：P273：3， 4 第 8 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 §3维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 复习前面的有关内容 练习：5,6， 例1在线性空间P[xl中，1，x,x2,x是n个线性无关的向量 例：对于数城P米讲.上68888 889988889符号5 是线性无关的 二、下面我们讲新的内容 本节主要是两个问题 一是：如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基 二是：求一个向量在某组基下的坐标 在一个线性空间中究竞最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的 个重要属性. 定义5如果在线性空间V中有个线性无关的向量，但是没有更多数日的 线性无关的向量，那么V就称为维的：如果在V中可以找到任意多个线性无关 的向量，那么V就称为无限维的. 第9

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 复习前面的有关内容 练习：5，6， 例1 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n− x x  x 是 n 个线性无关的向量 例 4：对于数域 P 来讲， 2 3 P  上 1 0 0 000       , 0 1 0 000       , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1                         , 符号 Eij 是线性无关的 二、下面我们讲新的内容 本节主要是两个问题 一是：如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基 二是：求一个向量在某组基下的坐标 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的 一个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的 线性无关的向量，那么 V 就称为 n 维的；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关 的向量，那么 V 就称为无限维的. 第 9 页

山东理工大学理学院备课纸 年月日 a=a,61+a62+.+an5 其中系数a,4,a,是被向量a和基6,6，唯一确定的，这组数就称为a在 基s,5,5n下的坐标，记为(a,a,a). 定义6在n维线性空间y中，n个线性无关的向量6,52.，s称为y的一组 基.设α是V中任一向量，于是6,6，￡n,a线性相关，因此a可以被基6,62，.，￡ 线性表出： 由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数. 定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，a2,a,且V中任 向量都可以用它们线性表出，那么y是n维的，而a,a,a,就是y的一组基. 例1在线性空间P[xl中， 1X,x2,x 是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域P上的多项式都可以被它 们线性表出，所以Px是n维的，而1，x,x,x就是它的一组基。 例2在n维的空间P中，显然 6=(1,0,.0) 62=(0,1.,0, E。=(0,0,.) 是一组基.对于每一个向量a=(a,a,a,),都有 &=a61+a252+.+an6n 所以(a,a,a)就是向量a在这组基下的坐标 第10页

山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2  是被向量  和基 n  , , , 1 2  唯一确定的，这组数就称为  在 基 n  , , , 1 2  下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2  an . 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n  , , , 1 2  称为 V 的一组 基.设  是 V 中任一向量，于是  1 , 2 ,  , n , 线性相关，因此  可以被基 n  , , , 1 2  线性表出： 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量    n ,. , , 1 2  ，且 V 中任一 向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而    n ,. , , 1 2  就是 V 的一组基. 例 1 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n− x x  x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以被它 们线性表出，所以 [ ] P x n 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x  x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然        = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1     n    是一组基.对于每一个向量 ( , , , )  = a1 a2  an ,都有 a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2  an 就是向量  在这组基下的坐标. 第 10 页