山东濯2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 5.4正定二次型
5.4 正定二次型
G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 ●正定二次型的定义 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法 。正定矩阵的应用举例
主要内容 正定二次型的定义 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法 正定矩阵的应用举例
加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、正定二次型的定义 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.因为正 定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有着广 泛的应用，讨论多元函数极值的充分条件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以及常用的判别条件
一、正定二次型的定义 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.因为正 定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有着广 泛的应用，讨论多元函数极值的充分条件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以及常用的判别条件
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1,定义 定义1实二次型f(x1,X2,.,Xn)称为正定的， 如果对于任意一组不全为零的实数C1,C2,.,Cn都有 f(C1,c2,.,cn)>0. ·实二次型XTAX是正定的，如果对X丰0，都有XTAX>0
1. 定义 定义1 实二次型 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 称为正定的， 如果对于任意一组不全为零的实数 𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ , 𝑐𝑛 都有 𝑓 ( 𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ , 𝑐𝑛 ) > 0 . • 实二次型𝑋 𝑇𝐴𝑋是正定的，如果对∀𝑋 ≠ 0,都有𝑋 𝑇𝐴𝑋 > 0
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1判断下列二次型是否是正定的 (1)f(x1,x2,.,xn)=x子+x经+.+x经 2)f(x1,x2,.,xn)=x好+x经+.+x好r<n) 3)f(x1,x2,.,xn)=x好-x经-.-x晚
例1 判断下列二次型是否是正定的 （2）𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥𝑟 2 (𝑟 < 𝑛) （3）𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑥1 2 − 𝑥2 2 − ⋯ − 𝑥𝑛 2 （1）𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥𝑛 2
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2.两个基本结论 引理1 实二次型 f(x1,x2,.,xn)=d1x+d2x+.+dnx2 正定的充分必要条件是d:>0,i=1,2,.,n
2. 两个基本结论 引理1 实二次型 正定的充分必要条件是 𝑑𝑖 > 0 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 . 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑑1𝑥1 2 + 𝑑2𝑥2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 2
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理2非退化实线性替换保持二次型正定性不变」 即设f(x1,x2,.,x)经过非退化线性替换X=CY化为 gy1y2,.,yn),则f(x1,x2.,xn)正定的充分必要条件 是g0y1y2,.,yn)正定
引理2 非退化实线性替换保持二次型正定性不变. 即 设 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 经 过 非 退 化 线 性 替 换 𝑋 = 𝐶𝑌 化 为 𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 , 则 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 正定 的 充分 必 要 条件 是𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 正定
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、实二次型正定性的判别方法 定理1n元实二次型f(x1,x2,.,Xn)是正定的充分必要条 件是它的正惯性指数等于肌. 证明设二次型f(x1x2,.,Xn)的标准形为 d1x子+d2x2+.+dnx晚 由引理1知，该标准形是正定的当且仅当d:>0,i=1,2,n 即正惯性指数为n,再由引理2即得
二、实二次型正定性的判别方法 定理 1 𝑛 元实二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 是正定的充分必要条 件是它的正惯性指数等于 𝑛 . 证明 设二次型𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 的标准形为 𝑑1𝑥1 2 + 𝑑2𝑥2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 2 由引理1 知，该标准形是正定的当且仅当𝑑𝑖 > 0 ,𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 即正惯性指数为 𝑛 . 再由引理2 即得
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·定理1说明，正定二次型f(x1,X2,.,X)的规范形为 y好+y吃+.+y%. 定义2 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定】 推论1 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 推论2 实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C, 使得A=CTC. 推论3正定矩阵的行列式大于零
• 定理 1 说明，正定二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 的规范形为 𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 2 . 定义 2 实对称矩阵 𝐴 称为正定的，如果二次型𝑋𝑇𝐴𝑋正定. 推论1 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 推论2 实对称矩阵 𝐴 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 𝐶， 使得 𝐴 = 𝐶 𝑇𝐶. 推论3 正定矩阵的行列式大于零
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2证明：若A是正定矩阵，则A-1也是正定的. 证明由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对称矩阵， 由推论3知，正定矩阵A是可逆的，且 (A-1)Y=(AT)-1=A-1, 所以A1也是实对称矩阵.证明其正定性的方法很多. 方法1 方法2方法3
例 2 证明：若 𝐴 是正定矩阵，则 𝐴 −1 也是正定的. 证明 由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对称矩阵， 由推论 3 知，正定矩阵 𝐴 是可逆的，且 (𝐴 −1 ) 𝑇 = 𝐴 𝑇 −1 = 𝐴 −1 ， 所以 𝐴 −1也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很多. 方法 1 对二次型 XT A-1 X 作非退化线性替换 X = AY， XT A-1 X = YT AT A-1 AY = YT AY ， 得 由 YT AY 正定，可知 XT A-1 X 也正定，故 A-1 是正 定矩阵. 方法 2 由于正定矩阵 A 合同于单位矩阵 E，即存在可 逆矩阵 C 使得 CT AC = E . 上式两边求逆，得 ( C-1 )A-1 ( C-1 ) T = E ， 故 A-1 合同于单位矩阵 E，因此 A-1 是正定矩阵. 方法 3 由于 A 正定，所以存在可逆矩阵 C，使得 A = CT C ， 于是 A-1 = ( CT C ) -1 = ( C-1 ( CT ) -1 ) = C-1 ( C-1 ) T . 因此 A-1 也正定