第七部分线性变换 习题精解 1,判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1)在线性空间V中，A5=5+a,其中a∈V是一固定的向量： 2)在线性空间V中，A5=a其中a∈V是一固定的向量： 3)在p3中，A,x2,)=(x,x2+x3x) 4)在p3中，A(3,x,x)=(2x-x2x+x) 5)在P[x]中，A/)=fx+I) 6)在Px]中，A)=fxo以其中xeP是一固定的数： 7)把复数域上看作复数域上的线性空间，A5= 8)在P"中，AX=BXC其中B,C∈P是两个固定的矩阵 解1)当a=0时是；当a≠0时，不是 2)当=0时，是：当a≠0时，不是. 3)不是.例如当a=(1,0.0),k=2时，kA(a)=(20.0),A(k)=(4,0.0). A(ka)≠kA(a). 4)是.因取a=(x,x2,xbB=(0,2,),有 A(C+)=A(x1+y,x2+y2,x3+y3) =(2x1+2y-x2-2,x2+y3+3+y3,x1+月) =(2x-x2,x2+x3,x)+(2y-y2,y2+3,乃) =Aa+AB A(ka)=A(kx,kx,kx) =(2kx-kx2,kx2+kx,kx =(2kxkx kx+kx;kx) kA(a) 故A是P3上的线性变换」 5)是因任取f(x)∈P[x],g(x)∈PLx,并令 (x)=f(x)+g(x)则 A(f(x)+g(x)=Au(x)=(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=Af(x)+A(g(x) 再令v(x)=kf(x)则A(kf(x)=A(v(x)=v(x+1)=f(x+I)=kA(f(x)》 故A为P[x]上的线性变换 6)是.因任取f(x)∈P[x],g(x)∈P[x则. A(f(x)+g(x))=f(xo)+g(xo)=A(f(x))+A(g(x)) A(kf(x))=kf(x)=kA(f(x)) 7)不是.例如取F1,k=,则 A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)
1 第七部分 线性变换 习题精解 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间 V 中，A = + ,其中 V 是一固定的向量； 2） 在线性空间 V 中，A = 其中 V 是一固定的向量； 3） 在 P 3 中，A ( , , ) ( , , ) 2 2 3 3 2 1 2 3 1 x x x = x x +x x ； 4） 在 P 3 中，A ( , , ) (2 , , ) 1 2 3 1 2 2 3 1 x x x = x − x x +x x ； 5） 在 P[ x ]中，A f (x) = f (x +1) 6） 在 P[ x ]中，A ( ) ( ), 0 f x = f x 其中 0 x P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A = 8） 在 P nn 中，AX=BXC 其中 B,C P nn 是两个固定的矩阵. 解 1)当 = 0 时,是;当 0 时,不是. 2)当 = 0 时,是;当 0 时,不是. 3)不是.例如当 = (1,0,0), k = 2 时, k A () = (2,0,0) , A (k) = (4,0,0) , A (k) k A( ) . 4)是.因取 ( , , ), ( , , ) 1 2 3 1 2 3 = x x x = y y y ,有 A ( + ) = A ( , , ) 1 1 2 2 3 3 x + y x + y x + y = (2 2 , , ) 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 x + y − x − y x + y + x + y x + y = (2 , , ) (2 , , ) 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 x − x x + x x + y − y y + y y = A + A A (k) = A ( , , ) 1 2 3 kx kx kx (2 , , ) (2 , , ) 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx = − + = − + = k A () 故 A 是 P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取 f (x) P[x], g(x) P[x],并令 u(x) = f (x) + g(x) 则 A ( f (x) + g(x))= A u(x) = u(x +1) = f (x +1) + g(x +1) =A f (x) + A (g(x)) 再令 v(x) = kf (x) 则 A (kf (x)) = A (v(x)) = v(x +1) = kf (x +1) = k A ( f (x)) 故 A 为 P[x] 上的线性变换. 6)是.因任取 f (x) P[x], g(x) P[x] 则. A ( f (x) + g(x))= 0 f (x 0 ) + g(x ) = A ( f (x)) + A (g(x) ) A 0 (kf(x)) = kf(x ) = k A ( f (x)) 7)不是.例如取 a=1,k=I,则 A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka) kA(a)
8)是因任取二矩阵X,Y∈Pmm,则 A(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=AX+AY A(kX)=B(kX=k(BXC)=KAX 故A是P上的线性变换 2.在几何空间中，取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向o2方向旋转90度的变换， 以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的 变换证明： A=B=C=EAB+=B4 并检验(4B)2=A2B2是否成立 解任取一向量a(xy,则有 1)因为 Ma-(x.Zy). Aa(xz-y》 A2aky2 a-(xy.2) Ba=(z.y,-X). B2a(x,-☑ Ba-(-zy,x),Ba-(x.y,z) Ca=(-Y.x.z).Ca=(-x.-y.z) Ca=(y.-x.z).Ca=(x.yz) 所以 AB(a)=A(zy.-x)-(z.x.y) BA(a)=B(x,-z.y)=(y,-z-x) 所以 AB≠BA 3)因为 A2B2(a)=A2(-x.y-Z)=(-x.-yz) B2A2(a)=B2(x.-Y-Z)=(-x.-Yz) 所以 AB2=B2A 3)因为 (AB)*(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z.x.y)=(y.z.x) A2B2(a=(y, 所以 (MB)2≠A2B2 3.在PIx中，Af(x)=f(x),Bfx)=xx) 证明ABB4E 证任取f(x)∈PI,则有 2
2 8)是.因任取二矩阵 X ,Y n n P ,则 A( X + Y) = B(X + Y)C = BXC + BYC = A X +A Y A(k X )= B(kX) = k(BXC) = k A X 故 A 是 n n P 上的线性变换. 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换, 以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90 度的 变换.证明: A 4 =B 4 =C 4 =E,AB BA,A 2 B 2 =B 2 A 2 并检验(AB) 2 =A 2 B 2 是否成立. 解 任取一向量 a=(x,y,z),则有 1) 因为 Aa=(x,-z,y), A 2 a=(x,-y,-z) A 3 a=(x,z,-y), A 4 a=(x,y,z) Ba=(z,y,-x), B 2 a=(-x,y,-z) B 3 a=(-z,y,x), B 4 a=(x,y,z) Ca=(-y,x,z), C 2 a=(-x,-y,z) C 3 a=(y,-x,z), C 4 a=(x,y,z) 所以 A 4 =B 4 =C 4 =E 2) 因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB BA 3)因为 A 2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2 A 2 (a)=B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以 A 2 B 2 =B 2 A 2 3) 因为 (AB) 2 (a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x) A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z) 所以 (AB) 2 A 2 B 2 3.在 P[x] 中,A ' f (x) = f (x), B f (x) = xf (x) 证明:AB-BA=E 证 任取 f (x) P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f(x))=f(x)+xf(x)-xf(x)=f(x) 所以 AB-BA-E 4,设A,B是线性变换，如果ABB4=E,证明： A*B-BA*=kA-(k>1) 证采用数学归纳法 当k=2时 A:B-BA=(A:B-ABA)+(ABA-BA-)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立 归纳假设k=m时结论成立，即ABBA=mA.则当k=m+1时，有 AB-BA(AB-A"BA)+(A"BA-BA)=A"(AB-B4)+(A"B-BA")4=A"E+mA =A仁(m+)A 即k=m+1时结论成立故对一切k>1结论成立 5.证明可逆变换是双射 证设A是可逆变换，它的逆变换为A 若a≠b,则必有A≠Ab,不然设A=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾 其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令Ab=a即可 因此A是一个双射 6.设6,62，6，是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且 仅当A6M62,1En线性无关 证因 A8,62,.,6n）=(A81,A82,.,4En）=(6,62,.,6n4 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A6A82,A5n线性无关 故A可逆的充要条件是A6182,4n线性无关 7求下列线性变换在所指定基下的矩阵： 1)第1题4)中变换A在基￡(1,0,0)，62=(01,0,6，=(0.0,1)下的矩阵 2)[0,6,62]是平面上一直角坐标系，A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂 直投影，B是平面上的向量对6，的垂直投影，求A,B,AB在基6,62下的矩阵； 3
3 (AB-BA) f (x) =AB f (x) -BA f (x) =A( xf (x)) -B( ' f (x)) = ; f (x) + xf (x) - ' xf (x) = f (x) 所以 AB-BA=E 4.设 A,B 是线性变换,如果 AB-BA=E,证明: A k B-BA k = k A k−1 (k>1) 证 采用数学归纳法. 当 k=2 时 A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立. 归纳假设 k = m 时结论成立,即 A m B-BA m =m A m−1 .则当 k = m +1 时,有 A m+1 B-BA m+1 =(A m+1 B-A m BA)+(A m BA-BA m+1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+ m A m−1 A= (m +1) A m 即 k = m +1 时结论成立.故对一切 k 1 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射. 证 设 A 是可逆变换,它的逆变换为 A −1 . 若 a b ,则必有 Aa Ab,不然设 Aa=Ab,两边左乘 A −1 ,有 a=b,这与条件矛盾. 其次,对任一向量 b,必有 a 使 Aa=b,事实上,令 A −1 b=a 即可. 因此,A 是一个双射. 6.设 1 , 2 ,, n 是线性空间 V 的一组基，A 是 V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且 仅当 A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关. 证 因 A( 1 , 2 ,, n )=(A 1 ,A 2 , ,A n )=( 1 , 2 ,, n )A 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关. 故 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵: 1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵; 2) [o; 1 , 2 ]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂 直投影,B 是平面上的向量对 2 的垂直投影,求 A,B,AB 在基 1 , 2 下的矩阵;
3)在空间PNn中，设变换A为fx)→fx+1)-f(x) 试求A在基6，x-)(-i+0月(e1,2m-) 下的矩阵A 4)六个函数E,=e“cosbx,6,=e"sin bx ;=xe cosbx,E=xesin bx 名re“aw饭“rmr 的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基，(1,2.，6)下的 矩阵： (101 5)已知p3中线性变换A在基n=(-1,11),72=(1,0-1,7,=01,)下的矩阵是110 (-121 求A在基8，(1,0,0)，62(0,1,0)，6,0,0,1)下的矩阵： 6在P中A定义如下 「An.=(-5,0,3) Ah=(0,-1,6) An3-(-5,-1,9) 其中 [7,=(-1,0,2) h=(0,11) 7=(3,-1,0) 求在基6(1,00,62=0,1,0,60,0,1)下的矩阵： 7)同上，求A在,2,下的矩阵 解1)A6,=(20,1)=26+83
4 3) 在空间 P[x] n 中,设变换 A 为 f (x) → f (x +1) − f (x) 试求 A 在基 i = ! 1 ( 1) ( 1) i x x − x − i + (I=1,2, ,n-1) 下的矩阵 A; 4) 六个函数 1 =e ax cos bx , 2 =e ax sin bx 3 = x e ax cos bx , 4 = x e ax sin bx 1 = 2 2 1 x e ax cos bx , 1 = 2 1 e ax 2 x sin bx 的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基 i (i=1,2, ,6)下的 矩阵; 5) 已知P 3 中线性变换A在基 1 =(-1,1,1), 2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1)下的矩阵是 −1 2 1 1 1 0 1 0 1 求 A 在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵; 6) 在 P 3 中,A 定义如下: = − − = − = − ( 5, 1,9) (0, 1,6) ( 5,0,3) 3 2 1 A A A 其中 = − = = − (3, 1,0) (0,1,1) ( 1,0,2) 3 2 1 求在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求 A 在 1 ,2 , 3 下的矩阵. 解 1) A 1 =(2,0,1)=2 1 + 3
A6,-l,1,0F-6+6 A6-0,1,0FE2 2-10 故在基6,62,63下的矩阵为011 100 2》取G,06=01D期43号4 1 故A在基6,62下的矩阵为A 咽为B后0，B8,-8所以B在基66，下的矩阵为0 ,另外，(4B)62=A (B,)46,-25+36 所以AB在基6,6，下的矩阵为A 02) 3》因为6=l5=x6=-,61-r-a-2到 21 (n-1) ,所以A6。=1-1=-0 A8,=(x+)-x=8o 46=K-1x-r=m-3刃_x-0.K-a-2y (n-101 .xx-x-m-3刃x+1-x-(m-29 (n-1)1 =6n
5 A 2 =(-1,1,0)=- 1 + 2 A 3 =(0,1,0)= 2 故在基 1 , 2 ， 3 下的矩阵为 − 1 0 0 0 1 1 2 1 0 2）取 1 =（1，0）， 2 =（0，1）则 A 1 = 2 1 1 + 2 1 2 ， A 2 = 2 1 1 + 2 1 2 故 A 在基 1 ， 2 下的矩阵为 A= 2 1 2 1 2 1 2 1 又因为 B 1 =0，B 2 = 2 所以 B 在基 1 ， 2 下的矩阵为 B= 0 1 0 0 ，另外，（AB） 2 =A （B 2 ）=A 2 = 2 1 1 + 2 1 2 所以 AB 在基 1 ， 2 下的矩阵为 AB= 2 1 0 2 1 0 ， 3）因为 ( 1)! ( 1) [ ( 2)] , , 2! ( 1) 1, , 0 1 2 1 − − − − = − = = = − n x x x x x n x n ，所以 A 0 = 1−1 = 0 A 1 0 = (x +1) − x = A ( 1)! ( 1) [ ( 2)] ( 1)! ( 1) [ ( 3)] 1 − − − − − − − − − − = n x x x n n x x x n n = ( 1)! ( 1) [ ( 3)] − − − − n x x x n { (x +1) −[x − (n − 2)] } = n−2
0 所以A在基60，G,6下的矩阵为A 4)因为D6=a6-b82, D62=b61-a62,66 D8,=6taE,-b64 De,=E2+bE怕e4 D85=63ta85-b86, DEs=5+bEs+aEs (ab1000 -ba0100 00 ,所以D在给定基下的矩阵为D= a b 1 00-ba01 0000ab (0000-ba -110 5)因为(1，n2,n6,62,6)101所以 1-11 (-11-1） (662,6Hn,n)01-1(n,n2,3X, 101 故A在基6,62,6下的矩阵为 -103) 6)因为，(，6,01-1 (210 6
6 ，所以 A 在基 0 , 1 ,, n−1 下的矩阵为 A= 0 1 0 1 0 1 ， 4）因为 D 1 =a 1 -b 2 , D 2 =b 1 -a 2 , 6 D 3 = 1 +a 3 -b 4 , D 4 = 2 +b 3 +a 4 , D 5 = 3 +a 5 -b 6 , D 6 = 4 +b 5 +a 6 ，所以 D 在给定基下的矩阵为 D= − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 b a a b b a a b b a a b ， 5）因为( 1 ,2 , 3 )=( 1 , 2 ， 3 ) − − 1 1 1 1 0 1 1 1 0 ，所以 ( 1 , 2 ， 3 )=( 1 ,2 , 3 ) − − − 1 0 1 0 1 1 1 1 1 =( 1 ,2 , 3 )X， 故 A 在基 1 , 2 ， 3 下的矩阵为 B=X −1 AX= − − 1 1 1 1 0 1 1 1 0 −1 2 1 1 1 0 1 0 1 − − − 1 0 1 0 1 1 1 1 1 = − − 3 0 2 2 2 0 1 1 2 . 6）因为( 1 ,2 , 3 )=( 1 , 2 ， 3 ) − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3
(-103 所以4n,2,3)=461,626)01-1 (210 (-50-5 但己知A(h,2,6,62,6)0-1-1故 (36 9 (-50 -5-103 A(8,62,63(6,62,630-1 -101-1 (369八210 (-1 -3 (-50 -5 (6,62,6)0-1-1 3 6 9 72-727 7671-7 71717 520 -20 > -(61,62,63) 17 5718 274 7 7)因为E,8,6n,.01-1 210 -103）-50-5 所以，乃，01-1 0 -1-1 (210（369 (235) (%,)-10-1 -110 8.在P0中定义设性变费4，N仁）4：N-）4, c d e 求A1,A2,A3在基E1,E2,E21,E2下的矩阵
7 所以 A( 1 ,2 , 3 )=A( 1 , 2 ， 3 ) − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 , 但已知 A( 1 ,2 , 3 )=( 1 , 2 ， 3 ) − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5 故 A( 1 , 2 ， 3 )=( 1 , 2 ， 3 ) − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5 − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 −1 =( 1 , 2 ， 3 ) − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5 − − − 7 1 7 1 7 2 7 1 7 6 7 2 7 3 7 3 7 1 =( 1 , 2 ， 3 ) − − − − − 7 24 7 18 7 27 7 2 7 5 7 4 7 20 7 20 7 5 7）因为( 1 , 2 ， 3 )=( 1 ,2 , 3 ) − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 −1 所以 A( 1 ,2 , 3 )=( 1 ,2 , 3 ) − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 −1 − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5 =( 1 ,2 , 3 ) − − − 1 1 0 1 0 1 2 3 5 。 8 ． 在 P 22 中 定 义 线 性 变 换 A 1 (X)= c d a b X, A 2 (X)=X c d a b , A 2 (X)= c d a b X c d a b , 求 A 1 , A 2 , A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵
解因 A Eu=a Eu+cE12 4 En=a En2+c E22 A E21-bEu+dE2,4 E22-bE21+d E22 故A,在基E,E2,E2,E2下的矩阵为 a 0 b o c o d 又因 42 Eu=a Eu+b En42 En2=cEn+dE12 42E21-aE21+bE2242 E22-cE21+d E22 故A,在基E1,E2,E21,E2下的矩阵为 a c o 0 s88: (00bd 又因 A3 Eu=a*Eu+abE j2+acE2+bcE22 E2acEu+adEE2+cdE2 4;E21=abEu+b2E12+adE2 +bdE22 A:E2 =bcE+bdE2+cdE2+d2E 故A,在基E1,E12,E21,E2下的矩阵为 (az ac ab be 43= ab ad b bd ac c ad ed be ed bd d? 9.设三维线性空间V上的线性变换A在基6,62,6，下的矩阵为
8 解 因 A 1 E 11 =a E 11 +cE 12 , A 1 E 12 =a E 12 +c E 22 , A 1 E 21 =bE 11 +dE 21 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 , 故 A 1 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为 A 1 = c d c d a b a b 0 0 0 0 0 0 0 0 又因 A 2 E 11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E 12 = cE 11 +dE 12 , A 2 E 21 = aE 21 +bE 22 , A 2 E 22 = cE 21 +d E 22 , 故 A 2 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为 A 2 = b d a c b d a c 0 0 0 0 0 0 0 0 又因 A 3 E 11 = a 2 E 11 +abE 12 +acE 21 +bcE 22 A 3 E 12 = acE 11 +adE 12 +c 2 E 21 +cdE 22 A 3 E 21 = abE 11 +b 2 E 12 +adE 21 +bdE 22 A 3 E 22 = bcE 11 +bdE 12 +cdE 21 +d 2 E 22 故 A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为 = 2 2 2 2 3 bc cd bd d ac c ad cd ab ad b bd a ac ab bc A 9.设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基 1 2 3 , , 下的矩阵为
au an a A-da dn dz as as as) 1)求A在基63,62,6，下的矩阵： 2)求A在基6，k纪2,6下的矩阵其中且 3)求A在基6，+52,62,5，下的矩阵 解1)因 A83=ag63ta2352+a361 AE3■a3283+a282+a1261 Ae,=a63+a282+a6 故A在基6,62,6，下的矩阵为 ass as an B,=a3a2a21 2)因 A6=a+21(,)+6 A(kE2)=-k aE+az(kE2)+kaE A6,=au+2(kc,片a,6 故A在6，ks2,6,下的矩阵为 （a1ka2as 3)烟 6+62a1+a2+63Ha21+a22-a1-a)82+Ha1+a2)63
9 A= 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1) 求 A 在基 3 2 1 , , 下的矩阵; 2) 求 A 在基 1 2 3 , k , 下的矩阵,其中且; 3) 求 A 在基 1 2 2 3 + , , 下的矩阵. 解 1)因 A 3 = 33 3 a +a 23 2 + 13 a 1 A 2 = a32 3 + a22 2 + 12 1 a A 1 = a31 3 + a21 2 + 11 1 a 故 A 在基 3 2 1 , , 下的矩阵为 = 13 12 11 23 22 21 33 32 31 3 a a a a a a a a a B 2)因 A 1 = 11 1 a + ( 2 ) + 21 k k a 31 3 a A(k 2 )= k 12 1 a + ( ) 22 2 a k + 32 3 ka A 3 = 13 a 1 + k a23 ( 2 k )+ 33 3 a 故 A 在 1 2 3 , k , 下的矩阵为 = 31 32 33 23 22 21 11 12 13 2 a ka a k a a k a a ka a B 3)因 A( 1 2 + )=( a11 + a12 )( 1 3 + )+( a21 + a22 − a11 − a12 ) 2 +( a31 + a32 ) 3
A2=az(6+E2H(a2-a)62+a2E A63=a3(61+E2Ha2g-a3)2+a3353 故A基6+2，E2,6,下的矩阵为 41-a12 412 B3=aa+az-an-an az-d2 aa-dis a31+a3 10.设A是线性空间V上的线性变换，如果A~￡≠0，但Aε=-0，求证 8,A8,A-s(k>0)线性无关 证设有线性关系 l,e+2Ae+.+lkA-e=0 用A-作用于上式得 1A-E=0(因A”6=0对一切n≥k均成立) 又因为A-ε≠0，所以1=0，于是有 12A8+1342+.+1A-=0 再用A2作用之得12A-￡-0.再由，可得12=-0.同理，继续作用下去，便可得 1=l3=.=4=0 即证6，A,A(k>0)线性无关 11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量6使得A-￡≠0但，求证A在某组下的矩阵是 (0 10 1. .0 10 证由上题知，6，A6A6，A线性无关，故6，A6,A，A6为线性空间 V的一组基又因为 0
10 A 2 = 12 a ( 1 2 + )+( a22 − a12 ) 2 + 32 3 a A 3 = 13 a ( 1 2 + )+( a23 − a13 ) 2 + 33 3 a 故 A 基 1 2 2 3 + , , 下的矩阵为 + + − − − − − = 31 32 32 33 21 22 11 12 22 12 23 13 11 12 12 13 3 a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设 A 是线性空间 V 上的线性变换,如果 A k−1 0,但 A k =0,求证 ,A , , A k−1 ( k >0)线性无关. 证 设有线性关系 0 1 1 + 2 + + = − k l l A l k A 用 A k−1 作用于上式,得 1 l A k−1 =0(因 A = 0 n 对一切 n k 均成立) 又因为 A k−1 0,所以 l 1 = 0 ,于是有 0 2 1 2 + 3 + + = − k l A l A l k A 再用 A k−2 作用之,得 2 l A k−1 =0.再由,可得 2 l =0.同理,继续作用下去,便可得 l 1 = l 2 == l k = 0 即证 ,A , , A k−1 ( k >0)线性无关. 11.在 n 维线性空间中,设有线性变换 A 与向量 使得 A n−1 0 但,求证 A 在某组下的矩阵是 1 0 0 1 1 0 0 证 由上题知, ,A ,A 2 , , A n−1 线性无关,故 ,A ,A 2 , , A n−1 为线性空间 V 的一组基.又因为