山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 第五章二次型 5.1二次型及其矩阵表示
第五章 二次型 5.1 二次型及其矩阵表示
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. 坐标旋转 0 ax2 +2bxy cy2 f a'x'2+b'y2 =f x=x'cosθ-y'sin0 y=x'sine +y'cos
二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. 𝑥 𝑦 𝑜 ቊ 𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜃 − 𝑦’ sin 𝜃 𝑦 = 𝑥 ′ sin 𝜃 + 𝑦 ′ cos 𝜃 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑜 𝑎 ′𝑥 ′2 + 𝑏 ′𝑦 ′2 = 𝑓 坐标旋转 𝑥 𝑦 𝜃
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义设P是一个数域，系数在数域P上的关于变量 X1,X2,.,Xn的二次齐次多项式 f(x1,X2,.,xn)=a11x+2a12X1X2+.+2a1nx1xn +a22x3+2a23x2x3+.+2a2nx2xn +.+annx2 称为数域P上的几元二次型，简称为二次型
定义 设𝑃是一个数域，系数在数域𝑃上的关于变量 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛的二次齐次多项式 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)=𝑎11𝑥1 2 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 +𝑎22𝑥2 2 + 2𝑎23𝑥2𝑥3 + ⋯ + 2𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛 +⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 2 称为数域𝑃上的𝑛元二次型，简称为二次型
山求濯工大深 例1x+x1x2+3x1X3+2x2+4x2X3+x3是 有理数域上的一个3元二次型。 ·只含有平方项的二次型称为标准形
例1 𝑥1 2 + 𝑥1𝑥2 + 3𝑥1𝑥3 + 2𝑥2 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2是 有理数域上的一个3元二次型。 • 只含有平方项的二次型称为标准形
G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY >系数为什么要写成2倍的？ 令a=aji,(i<),由于xx=x,所以二次型可以写成 f(x1,X2,.,xn)=a11x经+a12x1x2+.+a1n2x12xn +a21x2X1+a22x++aznx2Xn 十. +anixnx1+an2xnx2++annxi nn -∑∑ ijXiXj i=1j=1
➢系数为什么要写成2倍的？ 令𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖， 𝑖 < 𝑗 ，由于𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑥𝑗𝑥𝑖，所以二次型可以写成 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)=𝑎11𝑥1 2 + 𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 +𝑎21𝑥2𝑥1 + 𝑎22𝑥2 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛 + ⋯ +𝑎𝑛1𝑥𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥𝑛𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义 将二次型对称形式的表达式中的系数写成一个矩阵为 011 012 ain A= 021 022 a2n : ani an2 ann 称为二次型f(x1,x2,.,Xn)的矩阵. ·由于a=aji,所以二次型的矩阵是对称矩阵。 ·二次型和它的矩阵相互难一确定
定义 将二次型对称形式的表达式中的系数写成一个矩阵为 𝐴 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 称为二次型𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)的矩阵. • 由于𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖，所以二次型的矩阵是对称矩阵。 • 二次型和它的矩阵相互唯一确定
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 例1中二次型 f(x1,x2,x3)=x+X1X2+3x1x3+2x3+4x2x3+x3 的矩阵为 1 1-2 3-2 A= 1-2 22 3-2 2 1
例2 例1中二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 + 𝑥1𝑥2 + 3𝑥1𝑥3 + 2𝑥2 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2 的矩阵为 𝐴 = 1 1 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2 1
山求濯工大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 反之，如果已知一个对称矩阵 A= -1 0 根据二次型矩阵的定义，我们也可以写出A所对应的二次型 f(x1,x2,x3)=2x7+2x1X2-2x1X3+x3+x3 ·数域P上的二次型和数域P上的对称矩阵是一一对应的 ·现在，令X=(x1,x2,.,xn)I,A=(a)是n阶对称矩阵， 计算XTAX
反之，如果已知一个对称矩阵 𝐴 = 2 1 −1 1 1 0 −1 0 1 • 数域𝑃上的二次型和数域𝑃上的对称矩阵是一一对应的 根据二次型矩阵的定义，我们也可以写出𝐴所对应的二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = 2𝑥1 2 + 2𝑥1𝑥2 − 2𝑥1𝑥3 + 𝑥2 2 + 𝑥3 2 • 现在，令𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 𝑇 ,𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 是𝑛阶对称矩阵， 计算𝑋 𝑇𝐴𝑋
山东程子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 011 012 ain 1 XTAX=(x1,x2,.,xn) 021 C22 a2n : ani an2 ann/ Xn a11X1+a12X2+.+a1nXn =(x1,x2,.,xn) a21x1+a22x2+.+a2nXn an1X1+an2X2+.+annxn 2。 xi=f(x1,x2,.,xn) i=1j=1
𝑋 𝑇𝐴𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛) 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 = (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛) 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ⋮ 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ,⋯ , 𝑥𝑛)
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二次型的矩阵表示 f(x1,x2,.,xn)=XTAX ·如果f(x1,X2,.,xn)=XTAX=XTBX,是否有A=B? 大家可以计算一下 2 (x1,X2,X3) ·如果XTAX=XTBX,且AT=A,BT=B,则A=B
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑋 𝑇𝐴𝑋 二次型的矩阵表示 • 如果𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑋 𝑇𝐴𝑋 = 𝑋 𝑇𝐵𝑋，是否有𝐴 = 𝐵? 大家可以计算一下 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) 1 2 4 2 1 3 2 1 1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ，(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) 1 2 3 2 1 2 3 2 1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 • 如果𝑋 𝑇𝐴𝑋 = 𝑋 𝑇𝐵𝑋，且𝐴 𝑇 = 𝐴,𝐵 𝑇 = 𝐵，则𝐴 = 𝐵