山东理工大学理学院备课纸 年月日 第一章多项式 §1数域 一、 基本内容，我们前面已经讲过，大家复习 二、强调：线性方程组的基础解系，上学期期末考试总结 §2一元多项式 一、一元多项式 定义2设n是一非负整数，形式表达式 ax"+aax+do, (1) 其中a,a,an全属于数域P,称为系数在数域p中的一元多项式，或者简称为 数域P上的一元多项式. 在多项式(1)中，a,x称为i次项，a,称为i次项的系数.以后用fx,gx, 或∫，g,.等来表示多项式。 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式， 定义3如果在多项式fx)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，那么fx)与gx)就称为相等，记为fx)=g(x). 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. 在(1)中，如果an≠0，那么a,x称为多项式(1)的首项，a称为首项系 第1页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第一章 多项式 §1 数域 一、 基本内容，我们前面已经讲过，大家复习 二、 强调：线性方程组的基础解系，上学期期末考试总结 §2 一元多项式 一、一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − , (1) 其中 a a an , , , 0 1 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为 数域 P 上的一元多项式. 在多项式（1）中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数.以后用 f (x), g(x), 或 f , g, 等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义 3 如果在多项式 f (x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，那么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) . 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0. 在(1)中，如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， n a 称为首项系 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 数，n称为多项式(1)的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式 f)的次数记为ofx》或deg(x). 区分.零多项式与零次多项式 例1.当a,b,c取何值时，多项式f)=x-5与 gx)=a(x-2)2+b(x+1)+c(x2-x+2)相等 二、多项式的运算 设f(x)=anx"+an-x-+.+a,x+a,g(x)=bnx"+bnx-+.+bx+b。 是数域P上两个多项式，那么可以写成)-2，8)-=，y 1.加法 在表示多项式fx)与gx)的和时，如n之m,为了方便起见， 在g(x)中令bn=bn-=.=bn=0,那么fx)与g(x)的和为 f(x)+g(x)=(a+b)x"+(a+b)x++(a+b)x+(ao+bo) -2a,+6,)x 2.乘法 f(x)与g(x)的乘积为 f(x)g(x)=a,b.xm+(a b+a b)x"m++(abo+apb )x+apbo 其中s次项的系数是 a,bo+a+.+aba+dob.=Eaby 2而
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 数， n 称为多项式（1）的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式. 多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x)) 或 deg( ( )) f x . 区分. 零多项式与零次多项式 例 1. 当 abc , , 取何值时，多项式 f x x ( ) 5 = − 与 2 2 g x a x b x c x x ( ) ( 2) ( 1) ( 2) = − + + + − + 相等 二、多项式的运算 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − , 1 0 1 1 g(x) b x b x b x b m m m = m + + + + − − 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成 = = n i i i f x a x 0 ( ) , = = m j j j g x b x 0 ( ) 1.加法 在表示多项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如 n m ，为了方便起见， 在 g(x) 中令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为 = − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2．乘法 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 所以)g()可表成 fg)=Σ∑ab,x 例2f)=4r-5x2-6，gx)=7x+6x-4r2+10x+2,计算f)与g)的乘积 3.多项式次数的变化 对于多项式的加减法，不难看出 afx)+g(x)≤max(af(x,a(g(x)》 对于多项式的乘法，可以证明，若fx)≠0，g(x)≠0，则fx)g(x)≠0，并且 af(x)g(x))=a(f(x))+a(g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积， 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形 4.多项式的运算满足以下的一些规律： (1.)加法交换律：f)+g)=g)+f)· （(2.)加法结合律：()+gx+)=fx)+(g)+Mx》 (3).乘法交换律：·fxg)=gxf) (4).乘法结合律：(fx)gx)h(x)=f(xg(x)Mx》 (⑤).乘法对加法的分配律：fxg(x)+x》=f(x)g()+fxhx) (6).乘法消去律：若fx)g(x)=fx)hMx)且fx)≠0，则gx)=h(x) 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数 域P上的多项式 第3页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0 + = + = = . 例 2 3 2 f x x x ( ) 4 5 6 = − − , 432 g x x x x x ( ) 7 6 4 10 2 = + − + + ,计算 f (x) 与 g(x) 的乘积 3．多项式次数的变化 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) + g(x)) max( ( f (x)), (g(x))) . 对于多项式的乘法，可以证明，若 f (x) 0, g(x) 0 ，则 f (x)g(x) 0 ，并且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形. 4．多项式的运算满足以下的一些规律： (1.) 加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) . (2.) 加法结合律： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) (3). 乘法交换律：. f (x)g(x) = g(x) f (x) (4). 乘法结合律： ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) (5). 乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) (6). 乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x) 0 ，则 g(x) = h(x) 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数 域 P 上的多项式. 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 5.定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多 项式环，记为P[],P称为P[x的系数域 例3设fx,g(x)和Mx)是实数域上的多项式.证明：若fx),g(x)和x)满足 f产(x)=g2x)+xhx)(1), 那么f(x)=g(x)=h(x)=0 例4求一组满足(1)式的不全为零的复系数多项式fx,g(x)和(x) 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 5. 定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多 项式环，记为 P x[ ]，P 称为 P x[ ] 的系数域. 例 3 设 f (x), g(x) 和 h(x) 是实数域上的多项式．证明：若 f (x), g(x) 和 h(x) 满足 2 2 2 f x xg x xh x ( ) ( ) ( ) = + （1）， 那么 f (x) = g(x) = h(x) = 0. 例 4 求一组满足（1）式的不全为零的复系数多项式 f (x), g(x) 和 h(x). 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §3整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算一除 法一并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关 系 一、带余除法 对于P[因中任意两个多项式f(x)与gx),其中g(x)≠0 定有P[)中的多项式q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，其中rx》<g(x》或者x)=0,并且这样的q(x,r)是唯一决定的. 带余除法中所得的gx)通常称为g)除fx)的商，r()称为g)除)的余式。 证明：若fx)=0,令qx)=(x)=0即可， 若f0,令)=Lg)=m且f)=2ax,8=, 对fx)的次数n用第二归纳法证明， 若n<m,取q(x)=0,r(x)=fx)即可， 若n≥m,假设次数小于n时结论成立，下面证明次数为m时结论成立： 令x)=fx)-gxgx则（田<n, 由归纳假设，对多项式f(x,g(x),有x),r(x)eP[x, 使)=,xg(x)+r(x),其中rx)=0或者0r<g 第5页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除 法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关 系. 一、 带余除法 对于 P x[ ] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ， 一定有 P x[ ] 中的多项式 q x r x ( ) , ( ) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商，r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式. 证明：若 f (x) = 0，令 q(x) = r(x) = 0 即可， 若 f (x) 0 ，令 0 0 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) n m i j i j i j f x n g x m f x a x g x b x = = = = = = 且 ， 对 f (x) 的次数 n 用第二归纳法证明， 若 n m,取q(x) = 0,r(x) = f (x) 即可. 若 n m ，假设次数小于 n 时结论成立，下面证明次数为 n 时结论成立： 令 x g x f x n b a f x f x n m m n = − − ( ) ( ) ( ), ( ) 1 则 1 ， 由归纳假设，对多项式 ( ), ( ) 1 f x g x ，有 1 1 q x r x P x ( ), ( ) [ ], 使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x = q x g x + r x ， 其中 1 1 r x r x g x ( ) 0 ( ) ( ), = 或者 第 5 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 则=+一g=++r b 即存在)=4)+冬产=)，使得 fx)=qx)g(x)+r(x),其中a(x》<(g(x》或者(x)=0, 由归纳原理，结论成立. 下证唯一性：设另存在g,r(x,满足 fx)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x》<g(x》或者r(x)=0,则有 [9x)-qxg(x)=r(x)-(x),比较两边的次数，可以得到 q(x)=q(x),r(x)=r(x) 例、设fx)=3x3+4x2-5x+6,g(x)=x2-3x+1,求qx),(x) 二整除的概念 1.整除的定义 数域P上的多项式g(x)称为整除fx),如果有数域P上的多项式x) 使等式fx)=gx)hx)成立.用“g(x)lfx)”表示g(x)整除f), 用“g(x)1fx)”表示g(x)不能整除fx) 当g(x)川fx)时，g(x)就称为fx)的因式，fx)称为g(x)的倍式。 注意：(1)对于零次多项式c,它是任意多项式fx)的因式 (2)零只能是零多项式的因式， 当g()≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别条件 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 则 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 1 1 1 x g x r x b a x g x q x b a f x f x n m m n m n m n = + = + + − − ， 即存在 ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 1 x r x r x b a q x q x n m m n = + = − ，使得 f (x) = q(x)g(x) + r(x) ，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0， 由归纳原理，结论成立. 下证 唯一性 ：设另存在 ' q x( ), ' r x( ), 满足 ' ' f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + ，其中 ' ( ( )) ( ( )) r x g x 或者 ' r x( ) 0 = ，则有 ' ' [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) q x q x g x r x r x − = − ,比较两边的次数,可以得到 ' q x q x ( ) ( ) = , ' r x r x ( ) ( ) = 例、设 ( ) 3 4 5 6, ( ) 3 1 3 2 2 f x = x + x − x + g x =x − x + ，求 q x r x ( ) , ( ) . 二 整除的概念 1．整除的定义 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立. 用“ g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ， 用“ g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 注意：(1) 对于零次多项式 c , 它是任意多项式 f (x) 的因式 (2) 零只能是零多项式的因式, 当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 2.整除的判别定理 对于数域P上的任意两个多项式fx),g(x),其中g(x)≠0，g(x)川fx)的 充要条件是gx)除fx)的余式为零 带余除法中g)必须不为零.但g/)中，g)可以为零.这时 fx)=g(x)-hx)=0-hx)=0. 当时，如0，g除的商有时也用得来表示 三、整除的性质 1.任一多项式fx)一定整除它自身. 2.任一多项式fx)都能整除零多项式0. 3.零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式 4.若fx)1g(x),g(x)fx),则fx)=cg(x),其中c为非零常数. 5.若fx1g(x,g(x)1x),则fx1h(x)(整除的传递性). 6.若fx)川g,(x),i=1,2,r,则 fx)1(4(x)g1(x)+4(xg2(x)++4,(x)g,(x), 其中u(x)是数域P上任意的多项式 通常，4(x)g(x)+4,(x)g,()++u,(xg,(x)称为g(x,g2(,g,(x)的一个组合. 由以上性质可以看出，∫(x)与它的任一个非零常数倍c(xc≠O)有相同的因 式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，f(x)常常可以用(x)来 代替。 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 2．整除的判别定理 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x)，g(x) ，其中 g(x) 0 ，g(x) | f (x) 的 充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零.但 g(x) | f (x) 中, g(x) 可以为零.这时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x) 0， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x 来表示. 三、整除的性质 1. 任一多项式 f (x) 一定整除它自身. 2. 任一多项式 f (x) 都能整除零多项式 0. 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 4. 若 f (x) | g(x), g(x) | f (x) ，则 f (x) = cg(x) ,其中 c 为非零常数. 5. 若 f (x) | g(x), g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) （整除的传递性）. 6. 若 f x g x i r i ( ) | ( ), =1,2, , ，则 ( )| ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r , 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式. 通常， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 g x g x g x r 的一个组合. 由以上性质可以看出， f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c 0) 有相同的因 式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可以用 cf (x) 来 代替. 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 7注意：两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变 即若fx),gx)是P]中两个多项式，下是包含P的一个较大的数域. 当然， f),g)也可以看成是P中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f),g)看成是P因中或者是P中的多项式，用gx)去除fx所得的商式及 余式都是一样的.因此，若在P[中g(x)不能整除fx),则在P[]中，g(x)也不 能整除fx): 例1证明若g(x川fx)+(xg(x)1fx)-(x),则g(x)1fx,g(x)1f(x) 例2求k,1,使x2+x+1川x3+kx+1. 例3若g(x)川fx.g()1x),则g(x)fx)+x. 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 7 注意: 两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变. 即若 f (x) , g(x) 是 P x[ ] 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域. 当然， f (x) , g(x) 也可以看成是 P[x] 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) , g(x) 看成是 P x[ ] 中或者是 P[x] 中的多项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式及 余式都是一样的.因此，若在 P x[ ] 中 g(x) 不能整除 f (x) ，则在 P[x] 中， g(x) 也不 能整除 f (x) . 例 1 证明若 ( )| ( ) ( ), ( )| ( ) ( ) 1 2 1 2 g x f x + f x g x f x − f x ，则 ( )| ( ), ( )| ( ) 1 2 g x f x g x f x 例 2 求 k,l ，使 | 1 2 3 x + x + l x + kx+ . 例 3 若 g(x) | f (x), g(x) | h(x) ，则 g(x) | f (x) + h(x) . 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 补：综合除法 1.以x-a除fx)=ax”+ax++ax+a,所得的商及余式分别为 q(x)=bn-x+bn2x-2+.+bx+b及r 则fx)=(x-a)gx)+r, 即a,x+anrx+.+ax+a=(x-a）6x+bx2++6x+b)+r =bn-x”+(b2-abn)x-+(b3-abn-2)x-2+.+(b。-ab)x+(r-ab) 比较，得： ba-=an [bn-1=a. b-2-ab1=a b-2=ab1+a ba-3-ab-2=a-2 即 b-3=ab-2+a-2 bo-ab=a bo=ab +a r-ab a aa dn- dn-2 do × × ab ab-2 bn-3 第9页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 补：综合除法 1. 以 1 0 1 1 x a f (x) a x a x a x a n n n − = n + + + + − 除 − 所得的商及余式分别为 q(x) = 1 0 2 2 1 b 1 x b x b x b n n n n + + + + − − − − 及 r 则 f (x) = (x − a)q(x) + r ， 即 ( ) 1 0 1 a x a 1 x a x a x a n n n n + + + + = − − − ( ) 1 0 2 2 1 b 1 x b x b x b n n n n + + + + − − − − + r = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 3 2 1 b 1 x b 2 ab 1 x b ab x b ab x r ab n n n n n n n n + − + − + + − + − − − − − − − − 比较，得： 1 2 1 1 3 2 2 0 1 1 0 0 n n n n n n n n b a b ab a b ab a b ab a r ab a − − − − − − − = − = − = − = − = ， 即 1 2 1 1 3 2 2 0 1 1 0 0 n n n n n n n n b a b ab a b ab a b ab a r ab a − − − − − − − = = + = + = + = + a n a n−1 a an−2 1 a 0 a + + + + abn−1 abn−2 1 ab ab0 n−1 b n−2 b n−3 b 0 b r 第 9 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 例以2x-1除f)=2x+3x3+4x2+5x+1,求商及余式 、 2 3 4 2 6 8 5= 故f)=(x-X2x23+4x2+6x+8)+5=(2x-1Xx2+2x2+3x+4)+5 所以qx)=x2+2x2+3x+4,r=5 2将fx)表示成x-c方幂和的形式 令fx)=b.(x-c）”+bn(x-c)-+.+b,(x-c)+b =(x-c[b,(x-c）-+bnx-c)m-2+.+b,(x-c)+]+b fx)）=b.(x-c)m+bnx-c)m2+.+b,(x-c）+b =(x-c)[b(x-c)-2+.+b(x-c)+b2]+b f(x)=(x-c)f(x)+b f2(x)=(x-c)f(x)+b, f-2(x)=(x-c)f(x)+br-2 f(x)=(x-c)f(x)+b- 例将f(x)=x-3x2+7表示成x-1方幂和的形式 解 第10页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 以 2x −1 除 ( ) 2 3 4 5 1 4 3 2 f x = x + x + x + x + ，求商及余式。 2 1 2 3 4 5 1 + + + + 1 2 3 4 2 4 6 8 5= r 故 )(2 4 6 8) 5 (2 1)( 2 3 4) 5 2 1 ( ) ( 3 2 3 2 f x = x − x + x + x + + = x − x + x + x + + 所以 ( ) 2 3 4, 5 3 2 q x = x + x + x + r = 2 将 f (x) 表示成 x −c 方幂和的形式 令 1 0 1 1 f (x) b (x c) b (x c) b (x c) b n n n = n − + − + + − + − − = 2 1 0 2 1 1 (x c)[b (x c) b (x c) b (x c) b ] b n n n − n − + − + + − + + − − − 3 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) x c b x c b x c b b f x b x c b x c b x c b n n n n n n = − − + + − + + = − + − + + − + − − − − 1 2 1 f (x) = (x − c) f (x) + b 2 3 2 f (x) = (x − c) f (x) + b 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n− = − n− + bn− f x x c f x 1 1 ( ) ( ) ( ) n− = − n + bn− f x x c f x 例 将 ( ) 3 7 4 2 f x = x − x + 表示成 x −1 方幂和的形式 解 第 10 页