第二章晶格热振动 Thermal vibration of lattice
第二章 晶格热振动 Thermal Vibration of Lattice
2.0引言 基本内容 一维晶格热振动,色散关系,周期性边界条件 三维晶格热振动的特点和一般规律 n晶格热振动的量子化,声子 声子统计分布函数,晶格热振动能 晶格比热的 einstein模型 晶格比热的 Debye模型 晶格热传导 学习要点 掌握格波的概念和色散关系 正确理解声子的概念及其统计分布 掌握态密度的求法 熟练掌握固体比热的计算方法 掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响
2.0 引言 一维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件 三维晶格热振动的特点和一般规律 晶格热振动的量子化，声子 声子统计分布函数，晶格热振动能 晶格比热的Einstein模型 晶格比热的Debye模型 晶格热传导 一、基本内容 二、学习要点 掌握格波的概念和色散关系 正确理解声子的概念及其统计分布 掌握态密度的求法 熟练掌握固体比热的计算方法 掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响
2.1一维晶格(原子链)的热振动 、一维筒单晶格的热振动 一维简单晶格位移示意图 第n个原子偏离平衡位置的位移 m:-原子质量
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 un u un+1 n-1 一、一维简单晶格的热振动 一维简单晶格位移示意图 un: --第n个原子 偏离平衡位置的位移 m: --原子质量 a m
2.1一维晶格(原子链)的热振动 维简单晶格的热振动 1.简谐近似 (r) V(x)=V(0)+ dv(x) x-+ dx 2 dx dv(x) 令 抛物线近似 选择合适的势能零点,有 V(x)=Bx 简谐近似 fo dv(x
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 2 2 2 0 0 () 1 () ( ) (0) 2 ( ) 0 x x dV x d V x Vx V x x dx dx dV x dx = = = ++ + = L 2 2 1 () 2 dV x dx β＝ 一、一维简单晶格的热振动 1. 简谐近似 V(r) r 抛物线近似 选择合适的势能零点，有 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) Vx x dV x f x x dx β β = =− =− 令： 简谐近似
2.1一维晶格(原子链)的热振动 维简单晶格的热振动 2.振动方程 第个n原子受力 Fn=(uLn1-l1)-(un-n2)=(u-1-n1+2un) 牛顿方程 2=B(u+21n-=1n-) 试探解 e i(ot-nqa) 将特解代入牛顿方程得:02=2(1-cosg)
一、一维简单晶格的热振动 第个n原子受力: ( ) ( ) ( 2 ) Fn = β un+1 − un − β un − un−1 = β un+1 − un−1 + un 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 2. 振动方程 ( 2 ) 2 1 1 2 = n+ + n − n− n u u u dt d u m β i( t nqa) un Ae− − = ω 牛顿方程： 试探解： un 将特解代入牛顿方程得： (1 cos ) 2 2 qa m = − β ω
2.1一维晶格(原子链)的热振动 维简单晶格的热振动 3.格波及色散关系 (1)q的物理意义,=2mq 讨论格波的概念 色散关系: cOS sin -/ π/a sin q的取值限定在第一布里渊区内
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 一、一维简单晶格的热振动 3. 格波及色散关系 （1） q的物理意义， λ＝2π/q 讨论格波的概念 色散关系： 2 2 (1 cos ) sin 2 2 sin 2 qa qa m m qa m β β ω β ω =− = = ω q -π/a π/a q 的取值限定在第一布里渊区内
2.1一维晶格(原子链)的热振动 维简单晶格的热振动 4.长格波极限 当:→∞,q→0 au g 相速度: 类似于连续介质中的弹性波 称之为:声学振动 群速度
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 一、一维简单晶格的热振动 4. 长格波极限 p p q q v q v q v v ω ω ω = = g 相速度： d 群速度： = d 当： λ →∞ →, 0 q 类似于连续介质中的弹性波 称之为：声学 振动
2.1一维晶格(原子链)的热振动 维简单晶格的热振动 4周期性边界条件与q的取值 周期性边界条件 ur (at-nga) n+N 212丌 qANa=2丌 Na w x≤qsx N个q,独立振动的模式数与自由度相等 NN
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 一、一维简单晶格的热振动 4.周期性边界条件与q的取值 un = un+N 周期性边界条件 i( t nqa) n u e − − = ω = 1 iqNa e qNa l = 2 π l = 0,±1,±2,⋅⋅⋅ l Na Na l q 2 π 2π = = q a a π π − ≤≤ : 2 2 N N l − → N个q， 独立振动的模式数与自由度相等
2.1一维晶格(原子链)的热振动 二、一维复式晶格的热振动 1位移分析 M ln-第n个m原子偏离平衡位置的位移 n-第n个M原子偏离平衡位置的位移 m:-原子质量 M-原子质量 a:-晶胞常数
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二、一维复式晶格的热振动 1.位移分析 un v v n n-1 a m u un+1 n-1 M un--第n个m原子 偏离平衡位置的位移 vn--第n个M原子 偏离平衡位置的位移 m: --原子质量 M:--原子质量 a:--晶胞常数
2.1一维晶格(原子链)的热振动 二、一维复式晶格的热振动 2振动方程 =B(un1+u -2vm,) 牛顿方程 m B(Vn+vm-1-2u,) =Ae 试探解 Be
2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二、一维复式晶格的热振动 2.振动方程 2 2 1 ( 2) n n nn d u M uuv dt = +− β + ( 2 ) 2 1 2 n n n n v v u dt d u m = β + − − i( t nqa) un Ae− − = ω i( t nqa) vn Be− − = ω 牛 顿 方 程 试 探 解