常用概率分布 Poisson分布
常用概率分布 ---Poisson分布
Poisson分布的概念 在特定的时间或空间的范围内,刻画某个事件A发 生次数所对应的概率分布。 今如果把这个范围划分为n个相等小范围(称为观察 单位),观察单位充分小,使事件A在这个小范围 内最多只可能发生1次或1个 今事件A发生的概率与这个范围大小有关,与这个范 围的位置无关,并且与这个范围的周围是否发生 事件A无关。 心则在这个范围的事件发生数X的概率分布为 Poisson分布 P(x) x=0,1,2,…
Poisson分布的概念 ❖在特定的时间或空间的范围内，刻画某个事件A发 生次数所对应的概率分布。 ❖如果把这个范围划分为n个相等小范围（称为观察 单位），观察单位充分小，使事件A在这个小范围 内最多只可能发生1次或1个。 ❖事件A发生的概率与这个范围大小有关，与这个范 围的位置无关，并且与这个范围的周围是否发生 事件A无关。 ❖则在这个范围的事件发生数X的概率分布为 Poisson分布 ( ) 0,1, 2, ! x P x e x x − = =
Poisson分布的概念 今如果随机变量x的分布规律服从 P(x)=e x x=0.1.2 今称X服从参数为的 Poisson分布,记为X~P() 入为 Poisson分布的总体均数 今常见的 Poisson概率分布: 今在一个时间范围内:电话总机接到的电话个数 今在一个容器内的细菌个数 今对于正常人的情况下,24小时发生早搏的个数 今某类疾病的急性发作次数
❖如果随机变量x的分布规律服从 ❖ ❖称X服从参数为的Poisson分布，记为 为Poisson分布的总体均数。 ❖常见的Poisson概率分布： ❖在一个时间范围内：电话总机接到的电话个数 ❖在一个容器内的细菌个数 ❖对于正常人的情况下，24小时发生早搏的个数 ❖某类疾病的急性发作次数 ( ) 0,1, 2, ! x P x e x x − = = Poisson分布的概念 X P ~ ( )
Poisson分布的条件 今与二项分布相似 今平稳性(随机分布性):x的取值与观察单位的位 置无关,与观察单位的大小有关 独立增量性:在某个观察单位上x的取值与前面各 观察单位上x的取值无关 令普通性:观察单位可以小到只有1个事件发生,发 生概率不变
❖与二项分布相似 ❖平稳性（随机分布性）：x的取值与观察单位的位 置无关，与观察单位的大小有关 ❖独立增量性：在某个观察单位上x的取值与前面各 观察单位上x的取值无关 ❖普通性：观察单位可以小到只有1个事件发生，发 生概率不变 Poisson分布的条件
Poisson分布的条件 今服从 Poisson分布的罕见事件: 均匀液体中的细菌分布 放射性物质单位时间内的放射次数 粉尘在观察容积内的分布 非传染性罕见疾病在人群中的分布
Poisson分布的条件 ❖服从Poisson分布的罕见事件: ▪ 均匀液体中的细菌分布 ▪ 放射性物质单位时间内的放射次数 ▪ 粉尘在观察容积内的分布 ▪ 非传染性罕见疾病在人群中的分布
Poisson分布的形态 P(x P(X 04 04 03 0.2 02 0.1 0 0246810121416182022 024681012141618202 X 图43入取不同值时的 Poisson分布图
Poisson分布的形态
Poisson分布的形态 P(x) P(x 04 04 0.3 0.3 0.2 0.2 叶lu 0246810121416182022024681012141618202 X 图43A取不同值时的 Poisson分布图
Poisson分布的形态
Poisson分布的特点 今形态: 离散分布 只取决于λ,λ很小时分布很偏,当2增加 时,逐渐趋于对称 在x=λ和x=λ-1处达到峰值,且有 P(x=A)=P(x=1-1) 今 Poisson分布的总体均数与总体方差相等,为2
❖形态： ▪ 离散分布 ▪ 只取决于 ， 很小时分布很偏，当 增加 时，逐渐趋于对称。 ▪ 在 和 处达到峰值，且有 ❖Poisson分布的总体均数与总体方差相等，为 Poisson分布的特点 x = x = − 1 P x P x ( ) ( 1) = = = −
Poisson分布的特点 今 Poisson分布的观察结果具有可加性:如果 X,X2,…,Xn相互独立,且分别服从以,12,为 参数的 Poisson分布,则X1+X2+…+X也服从总 体参数为1+2+…+n的 Poisson分布 例:放射性物质平均每分钟放射记数为5,测量3 次,X1,X2,X均服从P(5),则(X1+X2+X3)~P(15) 即3分钟的放射记数服从P(15)
❖Poisson分布的观察结果具有可加性：如果 相互独立，且分别服从以 为 参数的Poisson分布，则 也服从总 体参数为 的Poisson分布 例：放射性物质平均每分钟放射记数为5，测量3 次， 均服从 ，则 即3分钟的放射记数服从 Poisson分布的特点 1 2 , ,..., X X X n 1 2 , ,... n 1 2 ... X X X + + + n 1 2 ... + + + n 1 2 3 X X X , , P(5) 1 2 3 ( ) ~ (15) X X X P + + P(15)
二项分布的 Poisson近似 今设x~B(n,丌),当n→>∞,mn>C常数时,此时x 的极限分布是以C为参数的 Poisson分布。z越小, 近似越好 例:某地食管癌的发病率x=8/10000,在当地 随即抽查500人,患者至少为6人的概率。 (X≥6)=1-P(X<6) 04 =500×0008=04X-P04)P=1-∑ -04 e k!
二项分布的Poisson近似 ❖设 ，当 ， 常数时，此时 的极限分布是以c为参数的Poisson分布。 越小， 近似越好 例：某地食管癌的发病率 =8/10000，在当地 随即抽查500人，患者至少为6人的概率。 ~ ( , ) i x B n n → n c → i x P X P X ( 6) 1 ( 6) = − = = 500 0.0008 0.4 X P(0.4) 5 0.4 0 0.4 1 ! k k P e k − = = −