《概率论与数理统计》课程教学资源（概率论复习要点）第四章随机变量的数字特征、第五章大数定律及中心极限定理.doc_大学文库

第四章随机变量的数字特征数学期望 1. 随机变量数学期望的定义— 离散型 E()=   i=1 i pi x E(g())=   =1 ( ) i i pi g x 连续型 E()= -∞ +∞ xp(x)dx E(g())= -∞ +∞ g(x)p(x)dx 2. 二维随机变量(X,Y)的数学期望：离散型 E(X)==   = • i 1 i pi x =  i=1   i=1 i pij x E(Y)= =   = • j 1 j j x p =   i=1   i=1 j pij y 连续型 E(X)= -∞ +∞ xfX(x)dx= -∞ +∞  -∞ +∞ xf(x,y)dxdy E(Y)= -∞ +∞ yfY(y)dy= -∞ +∞  -∞ +∞ yf(x,y)dxdy 3. 二维随机变量 X 的函数 Y=g(X)的数学期望： E[g(X,Y)]=   i=1   =1 ( , ) i i j pij g x y E[g(X,Y)]=  -∞ +∞  -∞ +∞ g(x,y)f(x,y)dxdy 4. 数学期望的性质 E(c)=c , E(a)=a , E()=EE 若  与  相互独立，则 E()=EE 例 1：设  的密度函数 p(x) =   c/x2 x[1，3] 0 其它求：E [解]∵1= -∞ +∞ p(x)dx ∴c=3/2; E= -∞ +∞ xp(x)dx= 1 3 x 3 2x2dx= 3 2 lnx= 3 2 ln3.  例 2设 x1，x2 是随机变量  的两个任意取值，证明： E[( - x1+x2 2 ) 2 ]  D 。 [证]：E[( - x1+x2 2 ) 2 ]=E[ 2 -(x1+x2)+ ( x1+x2 2 ) 2 ] = E 2 -(E)(x1+x2)+ ( x1+x2 2 ) 2 - (E) 2+(E) 2 =D+(E) 2 - (E)(x1+x2)+ ( x1+x2 2 ) 2 =D +(E - x1+x2 2 ) 2 D .  例 3设随机变量的概率密度为 fX(x)= 1 2 e - |x| , -∞<x<+∞, 求D(X). [解]：E(X)=  -∞ +∞ xfX(x)dx= 1 2  -∞ +∞ x e - |x|dx=0 (奇函数，对称区间上的积分) E(X2 )=  -∞ +∞ x 2 fX(x)dx= 1 2  -∞ +∞ x 2 e - |x| dx = = 1 2 2 0 +∞ x 2 e - -x dx =(3)=2 (偶函数，对称区间上的积分) 所以 D(X)= EX2 – (EX)2=2.  例 4设(X,Y)的协方差矩阵为C=[ ] 4 -3 -3 9 ，求X 与Y 的相关系数XY 。 [解]：由协方差矩阵得到： D(X)=cov(X,X)=4, D(Y)=cov(Y,Y)=9, Cov(X,Y)= -3 XY= cov(X,Y) DX DY = -3 23 = - 1 2  方差 1.随机变量方差的定义⎯⎯- D(X)=E[X-E(X)]2 = EX2 – (EX)2 D(X)=  -∞ +∞ [x-E(X)]2 f(x)dx 2.方差性质： D(c)=0 , D(a)=a2  , D(a+b)=a2D , D()=D+D2cov(,) 若  与  相互独立，则 D()=D+D 协方差 1. 与  的协方差 cov(,)=E[(-E)(-E)] (或为 ) 2.协方差的性质： cov(,)= D cov(,)=cov(,), cov(,c)=0 cov(a,b)=ab cov(,) , cov(,)=cov(,)cov(,) 3.协方差矩阵：设 n 维随机变量 X1,X2,.,Xn, 记 cij=cov(Xi,Xj)，则称阶矩阵 C=(cij)nn为 X1,X2,.,Xn的协方差矩阵

相关系数  与  的相关系数  的定义 = cov(,) D D 相关系数  反映了随机变量  与  之间的线性相关的程度。注意||1。当 =0，则称  与  不相关；当||=1，则称  与  完全相关几个结论： =0  cov(,)=0  E()=EE  D(+)=D+D  D(-)=D+D 注意随机变量  与  相互独立，则  与  不相关；反之  与  不相关，不能推出  与  相互独立。例 5 设 X 与 Y 相互独立且都服从 N(0, 2 )，若 =aX+bY, =aX-bY, 证明： 与  的相关系数， = a 2 -b 2 a 2+b2 。 [证]：cov(,)=cov(aX+bY,aX-bY) =a2 cov(X,X) –b 2 cov(Y,Y) = a2DX – b 2DY =(a2 –b 2 ) 2 。又因为 D=D(aX+bY)=a2DX+b2DY=(a2 + b2 ) 2 D=D(aX - bY)=a2DX+b2DY=(a2 + b2 ) 2 所以：= cov(,) D D = (a 2 -b 2 ) 2 (a 2+b2 ) 2 = a 2 -b 2 a 2+b2  其他 k 阶原点矩：E(Xk ) k=1,2,.。 k+s 阶混合原点矩：E(XkY s ) k,s =1,2,. k 阶中心矩：E[(X-EX)k ] k=1,2,.。 k+s 阶混合阶中心矩：E[(X-EX)k (E-EY)s ] k,s=1,2,. 协方差矩阵：C=(cij)nx 其中 cij=E[(Xi-EXi)( Xj-EXj))] 分布分布列和概率密度数学期望方差分布(0,1) P{=0}=p, P{=1}=1-p p p(1-p) 二项分布 B(n,p) b(k；n,p)= P{=k}= Cn k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,.,n) np np(1-p) 泊松分布 P() P{=k}=  k k! e - k=0,1,2., >0   均匀分布 U[a,b] p(x)=   1 b-a axb 0 其他 a+b 2 (b-a) 2 12 几何分布 X~Ge(p) 分布列为 P{X=k}= (1-p)k-1 p (k=0,1,2,3,.) 1 p 1-p p 2 超几何分布 X~ h(n,N,M) P{X=k}= CM k CN-M n-k CN n k=0,1,2,3,., min{M,n} nM N nM(N-M)(N-n) N 2 (N-1) 指数分布 exp() p(x)={ e -x x0 0 x<0 1  1  2 正态分布 N(, 2 ) p(x)= 1  2 e - (x-) 2 2 2 (-∞<x<+∞)   2 二维正态分布 N(1,1 2 ,2,2 2 ,) p(x,y)= 1 212 1- 2 exp{- 1 2(1- 2 ) [ (x-1) 2 1 2 - 2(x-1)(y-2) 12 + (y-2) 2 2 2 ]} E=1 E=2 D=1 2 D=2 2

第五章大数定律及中心极限定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式：P{|-E|} D  2 , P{|-E|<} 1 - D  2 例 1：设随机变量 1, 2, 3，独立同分布，且 i服从参数为  的指数分布，i=1,2,3，试根据切比雪夫不等式证明： P{0<1+2+3<6/}≥2/3 . [ 证 ] ： i~exp(), EI=1/; 令 X=1+2+3 ,则 EX=E(1+2+3)=3/， DX=D(1+2+3)=3/ 2 .P{0<1+2+3<6/}= P{0<X<6/}= P{-3/<X-3/<3/}= P{|X-3/|<3/} 1 - DX  2 = 1- 3/ 2 (3/) 2 = 1- 3 9 = 2 3  例 2：已知随机变量 X 的期望 E(X)=100，方差 D(X)=10，估计 X 落在(80,120)内的概率。 [解]：P{80<X<120}= P{-20<X-100<20}= P{|X-E(X)|<20} 1 - DX 202 = 1 - 10 400 = 0.975.  大数定律切比雪夫大数定理：设随机变量 X1,X2,.,Xn 相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给定正数 ，恒有 lim n→ P{| 1 n= n i Xi 1 – 1 n ( ) 1 = n i E Xi | <}= 1。伯努利大数定理：设 nA 是在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意给定正数 ，恒有 lim n→ P{| nA n - p|<}= 1 (或 lim n→ P{| n n - p| }= 0) 辛钦大数定理：设随机变量 X1,X2,.,Xn,.相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，则对任意给定正数 ，恒有 lim n→ P{| 1 n= n i Xi 1 –  | <}= 1 中心极限定理棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量 Yn (n=1,2,3,.)服从参数为 n, p 的二项分布，即 Yn~B(n,p)，则对任意实数 x，恒有 lim n→ P{ Yn-np npq x}= (x) =  -∞ x 1 2 e - t 2 2 dt → a b 1 2 e - t 2 2 dt 这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机变量 Yn作标准化后的随机变量Yn-np npq 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)。中心极限定理(林德贝格-勒维)：设随机变量 X1,X2,.,Xn,.相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，和方差 D(Xk)= 2 0，随机变量 Yn=( = n i Xi 1 -n)/ n 的分布函数为 Fn(x)，则对任意实数 x，恒有 lim n→Fn(x)= lim n→ P{Ynx}= (x) =  -∞ x 1 2 e - t 2 2 dt 这一定理说明， = n i Xi 1 的标准化随机变量 Yn=( = n i Xi 1 -n)/ n 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)

例1：某计算机系统由120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少由10个终端同时使用打印机的概率。 [解1：设X为同时使用打印机的终端的个数，则X-B120p,这里p=360=0.05,Xnp120x005= 利用中心极限定理上式近似等 =-16754=1.09621=00379即至少由10个终端同时使用打印机的概率为00379口例2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次，才能使正面出现的频率落在(04.0.6)区间的概率不小于0.9？解1：设共进行次试验，X为出现正面的次数，则XBN.p,这里p=12=0.5EXp-0.5N,D0X9pO.25N 所求的为P04XN<0.6≥0.9。将X标准化P0.4XN0.6=P0.4N<X0.6N=Pr45 Y06N-E VDX VDXVDX e0a晨aaa-129 0.2N2095.查表1645)-0.95，则022L645→765 ,即至少抛68次才能满足要求的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等 PIX+YB61S_ [解：EX+Y=EX+EY=-2+2=0, D(X+Y)-DX+DY+2c0v(X.Y)=1+4+2pVDXVDY=1+4+2(-0.5)xlx2=3, 例生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每柄车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.97 ((20.977,其中x)是标准正态分布函数) 解：设X为第i箱重量（千克），1,2.n,则EX=EX=50,DX=50。令Z=∑X,则EZ-=50nD2-=25n要求P2500020.97, 理的利用中心极限定理PZ30m=P侵0e097 因为2r09m.所0050%2÷25m2.301n+23500es0 一心98.每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977 例：设随机变量X,X.X相互独立，S=X+X+.以，则根据列锥-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S 近似服从正态分布，只要XX2X。 A、有相同的数学期望 B、有相同的方若 C、服从同一指数分相 D、服从同一离散型分有解根据列维林德伯格中心极限定理的条件，XX.X必须独立同分布，所以不能选A,B。又必须具有有限数学期望和方差，故D不一定能保证此条件，应选C。口创私设总体X服从参数为05的指数分布，XXX为来自总体X的简单随机样本，则当一四时，Y,∑ 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期与方差的随机变量XXX 当方差一致有界时，其算术平均值依概米收敛于其数学期望的算术平均值：【解】这里XXX,满足大定#的条，且BX-DXB户产1，因此根据大数定有Y一∑X瓶率收于E(X)-

中心极限定理的用例 1：某计算机系统由 120 个终端，每个终端在 1 小时内平均有 3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少由 10 个终端同时使用打印机的概率。 [ 解] ：设 X 为同时使用打印机的终端的个数，则 X~B(120,p) ，这里 p=3/60=0.05 。 E(X)=np=1200.05=6, D(X)=npq=60.95=5.7 。则 P{X10}=1 – P{X<10}=1 – P{X<10}=1 – P{ X-6 5.7 < 10-6 5.7 } 利用中心极限定理上式近似等于 =1-(1.6754)=1- 0.9621=0.0379. 即至少由 10 个终端同时使用打印机的概率为 0.0379  例 2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次, 才能使正面出现的频率落在(0.4, 0.6)区间的概率不小于 0.9？ [解]：设共进行次试验，X 为出现正面的次数，则 X~B(N,p)，这里 p=1/2=0.5。E(X)=np=0.5N, D(X)=npq=0.25N 。所求的为 P{0.4<X/N<0.6}0.9。将 X 标准化 P{0.4<X/N<0.6}= P{0.4N<X<0.6N} = P{ 0.4N-EX DX < X-EX DX < 0.6N-EX DX }= P{-0.2 N< X-EX DX <0.2 N}2(0.2 N) – 1 0.9 (0.2 N)0.95, 查表 (1.645)=0.95，则 0.2 N1.645  N 67.65，即至少抛 68 次才能满足要求。  例 3：设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式 P{|X+Y|6} . [解]: E(X+Y)=EX+EY= -2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2 DX DY = !+4+2(-0.5)12= 3, 则根据切比雪夫不等式 P{|X+Y|6}= P{|X+Y - E(X+Y)|6} D(X+Y) 6 2 = 3 16 = 1 12  例 4：生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977 （(2)=0.977，其中 (x)是标准正态分布函数） [解]: 设 Xi为第 i 箱重量(千克)，i=1,2,.,n。则 EXi=EX=50，DXi=50。令 Z=  i=1 n Xi, 则 EZ=50n, DZ=25n. 要求 P{Z5000}0.977, 利用中心极限定理 P{Z5000}= P{ Z-EZ DZ  5000-50n 5 n }=( 5000-50n 5 n )0.977 因为 (2)= 0.977，所以5000-50n 5 n 2  25n2 -5001n+2500000  n98. 每辆车最多可以装 98 箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.  例 4：设随机变量 X1,X2,.,Xn相互独立，Sn=X1+X2+.+Xn, 则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，Sn 近似服从正态分布，只要 X1,X2,.,Xn A、有相同的数学期望 B、有相同的方差 C、服从同一指数分布 D、服从同一离散型分布 [解]: 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件，X1,X2,.,Xn必须独立同分布，所以不能选 A, B。又必须具有有限的数学期望和方差，故 D 不一定能保证此条件，应选 C。 例 4：设总体 X 服从参数为 0.5 的指数分布，X1,X2,.,Xn为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n→∞时，Yn= 1 n= n i Xi 1 2 依概率收敛于【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X1,X2,.,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【解】这里 X1 2 ,X2 2 ,.,Xn 2，满足大数定律的条件，且 EXi 2=DXi+(EXi) 2=1/4+(1/2)2= 1/2，因此根据大数定律有 Yn= 1 n= n i Xi 1 依概率收敛于 1 n= n i E Xi 1 2 ( ) = 1 2 .

《概率论与数理统计》课程教学资源（概率论复习要点）第四章 随机变量的数字特征、第五章 大数定律及中心极限定理

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