《概率论与数理统计》课程教学资源（概率论复习要点）第三章多维随机变量及其概率分布.doc_大学文库

二元正态分布二元正态分布 N(1,2,1 2 ,2 2 ,)的密度函数 p(x,y)= 1 212 1- 2 exp{- 1 2(1- 2 ) [ (x-1) 2 1 2 - 2(x-1)(y-2) 12 + (y-2) 2 2 2 ]} 二元正态分布 N(1,2,1 2 ,2 2 ,)的边缘密度分布仍是正态分布 ~N(1,1 2 ) , ~N(2,2 2 ) 边缘概率密度为 fX(x)= 1 1 2 e - (x-1) 2 21 2 , fY(y)= 1 2 2 e - (y-2) 2 22 2 二元均匀分布 (X,Y)在区域 D 上服从均匀分布⎯设 D 是 xOy 面上的有界区域，其面积为 A。如果二维随机变量(X,Y) 具有概率密度 f(x,y)=   1 A (x,y)D 0 其他，则称(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布。例 1:设 (X,Y) 服从区域 D：｛(x, y)：a≤x≤b, c≤y≤d｝上的均匀分布，求（1）(X,Y) 的联合概率密度 p(x, y)；（2）X, Y 的边际概率密度 pX(x) , pY(y) ; [解]：(1) f(x,y)=    1 (b-a)(d-c) axb cyd 0 其他 ; (2) pX(x)=  -∞ +∞ p(x,y)dy =    1 b-a axb 0 其他 , pY(y)=  -∞ +∞ p(x,y)dx=    1 d-c cyd 0 其他例 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)=A(B+arctanx 2 )(C+arctany 3 )。试求：(1)常数 A,B,C；(2) (X,Y) 的概率密度。[解]：由分布函数性质，得到 F(+∞,+∞)=A(B+ 2 )(C+ 2 ), F(x,-∞)=A(B+arctanx 2 )(C-  2 )=0, F(-∞,y)=A(B-  2 )(C+arctany 3 )=0, 解得 A= 1  2 , B=C= 2 . 即 F(x,y)= 1  2 (  2 +arctan x 2 )( 2 +arctan y 3 )。 (2) f(x,y) =  2F(x,y) xy = 6  2 (x 2+9)(y 2+4) .  例 2: 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求 P{max{X,Y}1}。. [解]：P{max{X,Y}1}=P{X1 且 Y1}，因为 X 与 Y 相互独立，所以 P{X1 且 Y1}= P{X1}P{Y1}=1 3  1 3 = 1 9 。（这里 P{X1}=0 1 1 3 dx= 1 3 ）  例 3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) =   1， 0<x<1，0<y<2x 0，其它求： (X,Y) 的边缘概率密度 fX(x), fY(y)； [解]：fX(x)=  -∞ +∞ f(x,y)dy ==== 0<x<1  1 2x 1dy= 2x, 所以边缘概率密度 fX(x)=   2x 0<x<1 0 其它 fY(y)=  -∞ +∞ f(x,y)dx ==== 0<y<2 y/2 1 1dx= 1- 1 2 y, 所以边缘概率密度 fY(y)=   1-y/2 0<y<2 0 其它 

例 4 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=   x 2+cxy 0x1.0y2 0 其他求(1)常数 C; (2)P{X+Y1};(3)联合分布函数 F(x,y). [解]：(1)由的概率密度性质得到 1= -∞ +∞  -∞ +∞ f(x,y)dxdy=0 1  0 2 (x2+cxy)dxdy=2 3 +c  c= 1 3 ; (2) P{X+Y1}=x+y1   f(x,y)dxdy=D  f(x,y)dxdy =0 1 dx1-x 2 (x2+ xy 3 )dy=0 1 ( 5 6 x 3+ 4 3 x 2+ 1 2 x)dx = 65 72 (3) 当 x<0 或 y<0 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=0; 当 0x1, 0y<2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv= 0 x  0 y (u2+ uv 3 )dudv=x 3y 3 + x 2y 2 12 ; 当 0x1, y2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=0 x 0 2 (u2+ uv 3 )dudv=2x3 3 + x 2 3 ; 当 x1, 0y<2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=0 1 0 y (u2+ uv 3 )dudv=y 3 + y 2 12; 当 x1, y2 时， F(x,y)=  -∞ x  -∞ y p(u,v)dudv=1 综上所述 F(x,y)=      0 x<0或y<0 x 3y 3 + x 2y 2 12 0x1及0y<2 2x3 3 + x 2 3 0x1及y2 y 3 + y 2 12 x1及 0y<2 1 x1及y2 独立性若 F(x,y)=F(x)F(y)，则称随机变量  与  相互独立。几个充要条件：连续型随机变量  与  相互独立  p(x,y)=p(x)p(y) 离散型随机变量  与  相互独立  pij=pipj 二元正态分布 N(1,1 2 ,2,2 2 ,) 随机变量与相互独立=0。 X 与 Y 相互独立 f(X)与 g(Y) 也相互独立。例 1：袋中有 2 只白球，3 只黑球,现进行无放回地摸球，定义：  =    1 第一次摸出白球 0 第一次摸出黑球 =    1 第二次摸出白球 0 第二次摸出黑球求:(1)（，）的联合分布；（2）， 的边际分布；（3）， 是否相互独立？ [解]:(,)的联合分布与边际分布为 \  0 1 p 0 3/10 3/10 6/10 1 3/10 1/10 4/10 p 6/10 4/10 因为 p(0,0)=3/10p(0)p(0)=9/25 所以  与  不独立。 

例 2 设(X,Y)的概率密度为，f(x,y)=   8xy 0x1及0yx 0 其他 , 求：关于 X 及关于 Y 的边缘概率密度，并判断 X 与 Y 是否相互独立。 [解]：关于 X 的边缘概率密度 fX(x)=  -∞ +∞ f(x,y)dy, 当 0x1 时，fX(x)= 0 x 8xydy=4x3 , 当 x1 时， fX(x)=0; 所以 fX(x)=   4x3 0x1 0 其他。同理当 0y1 时，fY(y)= y 1 8xydx=4y(1-y 2 ), 其它情况 fY(y)=0, 所以关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)=   4y(1-y 2 ) 0x1 0 其他 . 因为当 0x1, 0y1 时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。两个随机变量的函数的分布几条结论： 1. X~P(1), Y~P(2), 若 X 与 Y 相互独立，则 X+Y~P(1+2); 2. X~N(1,1 2 ), Y~ N(2,2 2 ), X 与 Y 相互独立，则 X+Y~ N(1+2,1 2+2 2 ); 3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为 f(x,y)，关于 X,Y 的边缘概率密度分别为 fX(x), fY(y)，设 X 与 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)=  -∞ +∞ fX(x)fY(z-x)dx= -∞ +∞ f(x, z-x)dx 或 fZ(z)=  -∞ +∞ fX(z-y)fY(y)dy= -∞ +∞ f(z-y, y)dy. 例 1:已知的联合概率分布为      X|Y 0 1 2  0 1/4 1/10 3/10 1 3/20 3/20 1/20 , 求(1)X+Y 的概率分布；(2)XY 的概率分布。 [解]：令 Z1=X+Y，则 Z1 的加法表为     X+Y 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 3 ,令 Z2=XY，则 Z2 的乘法表为     XY 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 , (1) Z1 的分布律为   Z1  0 1 2 3 P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20 , 即   Z1  0 1 2 3 P 1/4 5/20 9/20 1/20 (2) Z2 的分布律为   Z1  0 1 2 P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20 , 即   Z1  0 1 2 P 4/5 3/20 1/20  例 2:设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，求 X+Y 的概率密度。 [解]：X~U[0,1], Y~U[0,1], 所以 Z=X+Y 在有效区间[0,2]上取值。利用卷积公式得到 fZ(z)=  -∞ +∞ fX(x)fY(z-x)dx。积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1  0xz, z-1x1. 当 0z1 时，fZ(z)= 0 z 11dx=z; 当 1<z2 时，fZ(z)=  z-1 1 11dx=2-z;当的其余取值时，fZ(z)=0。所以 Z 的概率密度 fZ(z)=    z 0z1 2-z 1<z2 0 其他 

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