普通高等教育“十一五”国家级规划教材 儿微 梅向明黄敬之 何分 第四版 系 分几何的主要内容是三氏空向的曲线论和曲面论。拉是微分几何的重要人他早在1736年就引进了平面曲 线的标概今，以曲线长作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的大内L何研究：面论的莫基人是9世纪 高等教育出版社
内容提要 本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在第三版的基础上修订 而成。这次再版主要是增加了比较微分几何的内容，使读者进一步学习近代 比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景：同时在第四章§3 中增加了“负常高斯曲率的曲面”的内容，删除了§4“紧致曲面的高斯-波涅 公式和欧拉示性数”一节。 本书可供高等师范院校数学系用作教材： 图书在版编目(CIP)数据 微分几何/梅向明，黄敬之编.一4版.一北京：高等 教育出版社，2008.5 ISBN978-7-04-023572-2 I.微.Ⅱ.①梅.②黄.Ⅲ.微分几何-师范 大学-教材N.0186.1 中国版本图书馆CIP数据核字(2008)第036104号 版发行高等教育出版社 购书热线010-58581118 社 址 北京市西城区德外大街4号免费咨询800-810-0598 邮政编码100120 网t址http://www.hep.edu.cn 机 010-58581000 http://www.hep.com.cn 销蓝色畅想图书发行有限公司网上订购htp/www.landraco.con 刷北京凌奇印刷有限责任公司 http://www.landraco.com.cn 畅想教育http:/www.widedu.com 版次1981年7月第1版 本850x11681/32 2008年5月第4版 印 张11.375 次2008年5月第1次印刷 字 数290000 价17.90元 本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销售部门联系调换。 版权所有侵权必究 物料号23572-00
第四版前言 尽管本教材的第三版出版至今还不到五年，我们又决定再次 重新修订，目的是希望能够使其内容不断更新，跟上“微分几何”发 展的潮流。在这一版中，我们主要增加了比较微分几何的内容，也 就是第四章的最后一节：完备曲面上的比较定理，其中叙述了“比 较定理”和“完备曲面上的Toponogov定理”。这将使读者进一步 学习近代比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景。 可是为了不使本教材的分量过重，我们不得不删去一些内容。我 们删去了“紧致曲面的高斯-波涅公式和欧拉示性数”，这个内容当 然很重要，不过问题不大，因为在本书的第三章中已经讲述了“曲 面上的高斯-波涅公式”。此外，在本书的第四章§3“曲面的整体 性质”中，我们已经介绍了正高斯曲率的曲面（即卵形面），为了完 整起见，我们增加了负高斯曲率曲面的内容，特别是负常高斯曲率 的曲面以及相关的Backlund变换的内容。 梅向明 2007年1月于首都师范大学 PDG
第三版序言 这本《微分几何》教材自从1981年出版、1988年再版以来， 直被许多高等学校的数学专业采用，看来它的内容基本上能够符 合时代发展的要求。1999年，这本教材的第二版还获得了北京市 科技进步奖的二等奖。这一次再版，砍掉了一些内容，主要是原教 材的第一章中的向量代数部分和第二章中的平面曲线部分，因为 这些内容可以在解析几何和微积分的教材中找到。欧掉这些内容 的原意是，在整体微分几何部分增添一些近代微分几何的内容。 但是由于这本书是大学本科的专业课教材，并不是给研究生用的 教材，不能添加过深的内容，最后决定只是在第四章增加了一节： 完备曲面，其目的是使读者阅读了这些内容以后思维领域能够从 紧致扩充到完备，这也是目前近代微分几何研究的重点之一。对 于这个问题，在这本教材中开了一个头，使读者学习了近代微分几 何这些内容以后在脑子里经常思索这样一个问题：如何把微分几 何中对紧致情形成立的一些成果推广到完备的情形。 在这一版的最后，添加了名词素引。名词后的数码表示第几 章第几节。 梅向明黄敬之 2003年1月于首都师范大学 9 PDG
第二版序言 在这一版中，我们增加了第四章：整体微分几何初步。原来我 校所用的“微分几何”讲义中曾包括这部分内容，后来根据高等师 范学校“微分几何”教学大纲的要求，删掉了这一章。但是根据许 多兄弟院校使用这本教材的教师和学生所提出的要求，我们又重 新把这一章列入，作为微分几何选修课或进一步自学的内容。我 们曾在选修课中多次讲授了这一章。本版中这一章的内容是根据 北京师范学院数学系的王汇淳同志试用的情况以及其他兄弟院校 的同志试用后所提出的意见多次修改而成的。 教材第一版的原来部分没有改动，只是作了一些文字上的修 改，并根据读者的要求，在前三章中增加了一些习题。 本书的责任编辑张爱和同志提出了不少好的修改意见，我们 谨在此表示衷心的感谢。 梅向明黄敬之 1986年8月于北京师范学院数学系 PDG
尽贵又出丽出你的为 第一版前言 这本教材是我们多年来讲授微分几何课所用的讲义，根据高 等师范院校微分几何教学大纲的要求，整理修改而成。其中第一、 二章曾在1966年前反复讲授多遍，第三章只在近年来才讲过。 微分几何是一门历史悠久的学科。可以这样说，微积分诞生 时就同时诞生了微分几何，不过这门学科的生命力至今还很旺盛。 近年来它对数学中其他分支的影响越来越深刻，对于自然科学中 其他学科的影响的范围也越来越扩大。与此同时，这门学科本身 从内容上到方法上也在不断更新。作为一本教科书应该尽可能地 反映这样一种发展趋势。但是由于高等师范院校数学专业教学计 划中所给予微分几何这门课的课时的限制，不可能完全满足这样 的要求。我们的想法是，从内容上来说还是讲授微分几何中最基 础的部分 一三维欧氏空问中的曲线和曲面的局部理论，可是从 方法上来说则加以更新。这样做将使学生能够从较浅显的内容去 学习近代的处理方法，对新方法接受起来阻力比较小一些；另一方 面，对于微分几何有兴趣的学生，在掌握了新方法以后，就可以通 过选修课或讨论班进一步运用这些方法去学习微分几何的近代 内容。 在这本教材里作为新的方法来说，我们的目的是介绍法国数 学家嘉当(E.Cartan)的活动标架法，同时介绍相应的数学工 具一外微分形式。不过为了使学生容易接受，开始时我们还是 用向量分析的方法讲授三维欧氏空间的曲线和曲面的局部理论， 到了曲面论的基本定理和曲面上的内蕴几何部分，由于用向量符 号表达起来不方便，我们采用了张量符号，使学生稍稍接触一些张
量分析的方法。最后，我们在第三章里用嘉当的活动标架法把曲 线论和曲面论又复习一遍，使学生既学习了新方法，同时又加深对 已学过的知识的理解。 杭州大学的白正国教授和北京师范天学的朱鼎勋教授在审查 这本教材时提出了不少宝贵的意见，我们谨在此表示衷心的感谢。 同时希望使用这本教材的兄弟院校的同志对教材中的错误缺点和 不足之处给予批评指正。 梅向明黄敬之八心 1981年4月于北京师范学院数学系 PDG
方头是一滨的面曲 目 1种录 第一章：曲线论 .1 §1向量函数 .1 1.1向量函数的极限 .1 1.2向量函数的连续性 .4 1.3向量函数的微商.5 1.4向量函数的泰勒(Taylor)公式.7 1.5向量函数的积分.8 §2.曲线的概念.13 2.1曲线的概念.13 2.2光滑曲线曲线的正常点.17 2.3曲线的切线和法面.18 2.4曲线的弧长一自然参数.23 S3空间曲线.29 3.1空间曲线的密切平面.29 3.2空间曲线的基本三棱形.33 3.3空间曲线的曲率，挠率和伏雷内(Frenet)公式.37 3.4空间曲线在一点邻近的结构.44 3.5空间曲线论的基本定理.一.48 3.6一般螺线. .52 第二章曲面论.57 S1曲面的概念. 57 1.1简单曲面及其参数表示.57 1.2光滑曲面曲面的切平面和法线. 60
1.3曲面上的曲线族和曲线网.66 §2曲面的第一基本形式.69 2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长. 69 2.2曲面上两方向的交角 72 2.3正交曲线族和正交轨线 73 2.4曲面域的面积.74 2.5等距变换.76 2.6保角变换.79 §3曲面的第二基本形式.82 3.1曲面的第二基本形式.82 3.2曲面上曲线的曲率.87 3.3迪潘(Dupin)指标线.9引 3.4曲面的渐近方向和共轭方向.93 3.5曲面的主方向和曲率线.96 3.6曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率100 3.7曲面在一点邻近的结构 .105 3.8高斯曲率的几何意义 .109 §4直纹面和可展曲面.115 4.1直纹面.115 4.2可展曲面.120 4.3线汇.129 S5曲面论的基本定理.131 5.1曲面的基本方程和克里斯托费尔(Christoffel)符号.132 5.2曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因 纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式.135 5.3曲面论的基本定理.140 §6曲面上的测地线. .146 6.1曲面上曲线的测地曲率.146 6.2曲面上的测地线
6.3曲面上的半测地坐标网 152 6.4曲面上测地线的短程性 .154 6.5.高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式. .158 6.6曲面上向量的平行移动. 161 ”6.7极小曲面.167 S7.常高斯曲率的曲面.172 7.1常高斯曲率的曲面.172 7.2伪球面.174 7.3罗氏几何.178 第三章外微分形式和活动标架 .185 S1外微分形式. 185 1.1格拉斯曼(Grassmann)代数 .185 1.2外徽分形式. .190 1.3弗罗贝尼乌斯(Frobenius)定理.199 S2活动标架.214 2.1合同变换群.214 2.2活动标架 .217 2.3活动标架法.226 S3用活动标架法研究曲面.229 3.1曲面论的基本定理.229 3.2曲面的第一和第二基本形式.230 3.3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率.231 3.4曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率.234 3.5曲面上向量的平行移动.236 3.6闭曲面的高斯-波涅公式.239 第四章整体微分几何初步 .24 §1平面曲线的整体性质.24 1.】旋转数. 245 1.2凸曲线.251