《线性代数》课程教学资源（应用案例）行列式应用案例

第一章行列式应用17个案例 案例1某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲种产品的钢材利用率为60%， 乙种产品的钢材利用率为70%，丙种产品的钢材利用率为80%.年进钢材总吨 位为100吨，年产品总吨位为67吨。此外甲乙两种产品必须配套生产，乙产品 成品总重量是甲产品成品总重量的70%还已知生产甲乙丙三种产品每吨位可获 得利润分别是1万元，1.5万元，2万元。问该工厂本年度可获利润多少万元？ 解：设生产甲、乙、丙三种钢制品分别用料为x,y,:吨，则由题意可列出方程组： x+y+z=100 0.6x+0.7y+0.8z=67 0.6x×0.7-0.7y=0 x+y+:=100 将方程组化简，得6x+7y+8z=670 3x-5y=0 111 其系数行列式D=678=13≠0 3-50 根据克莱姆法则，方程组有唯一解 解得D=650,D,=390,D,=260 所以x=50,y=30,z=20。 总利润为50×0.6×1+30×0.7×1.5+20×0.8×2=93.5万元 案例2某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表11所示，求每类商 品的销售利润率。 表 A类 B类 C类 D类 总利润 40 80 100 274 40 70 90 258 50 80 100 28.9 4月 50 60 90 29.1 解：设A,B,C,D四类产品的利润率分别为x,x,x4

第一章 行列式应用 17 个案例 案例 1 某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲种产品的钢材利用率为 60%， 乙种产品的钢材利用率为 70%，丙种产品的钢材利用率为 80%．年进钢材总吨 位为 100 吨，年产品总吨位为 67 吨。此外甲乙两种产品必须配套生产，乙产品 成品总重量是甲产品成品总重量的 70%。还已知生产甲乙丙三种产品每吨位可获 得利润分别是 1 万元，1.5 万元，2 万元。问该工厂本年度可获利润多少万元？ 解：设生产甲、乙、丙三种钢制品分别用料为 x y z , , 吨，则由题意可列出方程组： 100 0.6 0.7 0.8 67 0.6 0.7 0.7 0 x y z x y z x y               ， 将方程组化简，得 100 6 7 8 670 3 5 0 x y z x y z x y              其系数行列式 111 6 7 8 13 0 3 5 0 D     根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 D D D    650, 390, 260 所以 x y z    50, 30, 20。 总利润为 50 0.6 1 30 0.7 1.5 20 0.8 2 93.5          万元。 案例 2 某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表 1-1 所示，求每类商 品的销售利润率。 表 1-1 A 类 B 类 C 类 D 类 总利润 1 月 40 60 80 100 27.4 2 月 40 60 70 90 25.8 3 月 50 60 80 100 28.9 4 月 50 60 90 90 29.1 解：设 A，B，C，D 四类产品的利润率分别为 1 2 3 4 x x x x , , ,

40x+60x2+80x3+100x=27.4 40x+60x、+70x,+90x.=258 则由题意可列出方程组： 50x+60x2+80x3+100x,=28.9 50x+60x3+90x+90x4=29.1 2x+3x2+4x+5x,=137 将方程组化简，得、 4x+6x2+7x1+9x4=2.58 5x+6x+8x+10x-2.89 5x+6x、+9x3+9x,=2.91 2345 其系数行列式D= 4679 56810 =6≠0 5699 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得D=0.9,D,=0.72,D,=0.54,D=0.42。 所以x=15%,x=12%5=9%,=7%及A,B,C,D四类产品的利润率分别是 x=15%,为2=12%，x=9%,x4=7% 案例3设在一次投料生产中能获得四种产品，通过四次测试，每次测试的总成本 及产品数量如表1-2所示，求每种产品的单位成本。 表1-2 A B C D 总成本/元 第1批生产/ka 300 40 20 20 1160 第2批生产/kg 500 24 60 4380 第3批生产/kg 400 180 100 100 3400 第4批生产/kg100 120 180 40 2420 解：设A,B,C,D四种产品的单位成本分别为x,x,则由题意可列出方 [300x+40x,+20x+20x,=1160 500x+240x,+160x3+60x4=4380 程组： 400x+180x2+100x+100x=3400 100x1+120x2+180x3+40x4=2420 15x+2x2+x1+x4=58 将方程组化简，得25+12x+8x+3玩，=219 20x.+9x、+5x,+5x.=170 5x+6x2+9x3+2x4=121

则由题意可列出方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 40 60 80 100 27.4 40 60 70 90 25.8 50 60 80 100 28.9 50 60 90 90 29.1 x x x x x x x x x x x x x x x x                        ， 将方程组化简，得 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 1.37 4 6 7 9 2.58 5 6 8 10 2.89 5 6 9 9 2.91 x x x x x x x x x x x x x x x x                        其系数行列式 2 3 4 5 4 6 7 9 6 0 5 6 8 10 5 6 9 9 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 4 D D D D     0.9, 0.72, 0.54, 0.42。 所以 1 2 3 4 x x x x     15%, 12%, 9%, 7%. 及 A,B,C,D 四类产品的利润率分别是 1 2 3 4 x x x x     15%, 12%, 9%, 7%. 案例 3 设在一次投料生产中能获得四种产品，通过四次测试，每次测试的总成本 及产品数量如表 1-2 所示，求每种产品的单位成本。 表 1-2 A B C D 总成本∕元 第 1 批生产∕kg 300 40 20 20 1160 第 2 批生产∕kg 500 240 160 60 4380 第 3 批生产∕kg 400 180 100 100 3400 第 4 批生产∕kg 100 120 180 40 2420 解：设 A，B，C，D 四种产品的单位成本分别为 1 2 3 4 x x x x , , , ，则由题意可列出方 程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 300 40 20 20 1160 500 240 160 60 4380 400 180 100 100 3400 100 120 180 40 2420 x x x x x x x x x x x x x x x x                        ， 将方程组化简，得 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 15 2 58 25 12 8 3 219 20 9 5 5 170 5 6 9 2 121 x x x x x x x x x x x x x x x x                       

1521 其系数行列式D= 251283 2095 -1275≠0 5692 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得D=-2550,D,=-12750,D=-6375,D,=-3825。 所以x=2,=10,x=5,x=3.及A,B,C,D四种产品的单位成本分别是2元/kg 10元/kg、5元/kg、3元/kg 案例4江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等。 如果用两台抽水机抽水，40分钟可以抽完：如果用四台抽水机，16分钟可抽完。 如果需在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？ 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水c立方米，由此再设x台抽水机抽完水需t分 a+40b-80c=0 钟，则依题意，即得{a+16b-64c=0 a+tb-xtc=0 这是一个关于a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系 140-80 数行列式D=1 16-0晨开、得1=因为1<10所以9s10,解 11 -xt 之得：x≥6，所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台。 案例5有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克： 乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克：丙种化肥每千克含氮70克， 磷5克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾 30克，问三种化肥各需多少千克？ 解：设甲、乙、丙三种化肥各需x,x2,x千克，依题意得方程组 「x+x3+x=23 8x,+10x2+5x,=149 2x+0.6x2+1.4x3=30

其系数行列式 15 2 1 1 25 12 8 3 1275 0 20 9 5 5 5 6 9 2 D     根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 4 D D D D         2550, 12750, 6375, 3825。 所以 1 2 3 4 x x x x     2, 10, 5, 3. 及 A,B,C,D 四种产品的单位成本分别是 2 元∕kg、 10 元∕kg、5 元∕kg、3 元∕kg。 案例 4 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等。 如果用两台抽水机抽水，40 分钟可以抽完；如果用四台抽水机，16 分钟可抽完。 如果需在 10 分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？ 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为 a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为 b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水 c 立方米，由此再设 x 台抽水机抽完水需 t 分 钟，则依题意，即得 40 80 0 16 64 0 0 a b c a b c a tb xtc               这是一个关于 a,b,c 为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系 数行列式 1 40 80 1 16 64 0 1 D t xt      展开，得 160 3 2 t x   因为 t 10, 所以 160 10 3 2 x   ，解 之得： x  6 ，所以如果在 10 分钟内抽完水，至少需要抽水机 6 台。 案例 5 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮 70 克，磷 8 克，钾 2 克； 乙种化肥每千克含氮 64 克，磷 10 克，钾 0.6 克；丙种化肥每千克含氮 70 克， 磷 5 克，钾 1.4 克.若把此三种化肥混合，要求总重量 23 千克且含磷 149 克，钾 30 克，问三种化肥各需多少千克？ 解：设甲、乙、丙三种化肥各需 1 2 3 x x x , , 千克，依题意得方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 23 8 10 5 149 2 0.6 1.4 30 x x x x x x x x x              

此方程组的系数行列式D-号又0=-A=-27凸=-81 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解：x=3x=5,x=15.即甲、乙、丙三种化 肥各需3千克，5千克，15千克。 案例6今将奶糖，巧克力糖，水果糖按不同比例混合成A,B,C三种糖果。A种 糖果的混合比为4：3：2，B种糖果的混合比为3：1：6，C种糖果的混合比为 2:5:1,要从A、B、C三种糖果中各取多少千克才能做成含有奶糖，巧克力 糖，水果糖数量相等的混合糖果50kg。 解：设A种糖果xkg,B种糖果ykg,C种糖果zkg, 则依题意得方程组 后+*-9 3 |432 9108 ,其系数行列式D 910 0 2 h 50 261 5x+0y+82=3 91o 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解将A=经A=说A= 35 所以x：因此ABC三果各取智e罗才 能做成含有奶糖，巧克力糖，水果糖数量相等的混合糖果50水g。 案例7给定平面上三个点(1,1)，(2，-1)，(3,1)，求过这三个点且对称轴与Y 轴平行的抛物线方程。 c+b+a=1 解：设所求抛物线方程为y=c+bx+a2,于是有c+2b+4a=-1,其系数行列 c+3b+9a=1 111 是范德蒙行列式D=124=(3-23-1(2-1)=2,所以方程组有唯一解，易 139 得D=14,D=-16,D=4,故c=7,b=-8a=2,于是所求抛物线方程为

此方程组的系数行列式 27 , 5 D   又 1 2 3 81, 27, 81 5 D D D       由克莱姆法则知，此方程组有唯一解： 1 2 3 x x x    3, 5, 15. 即甲、乙、丙三种化 肥各需 3 千克，5 千克，15 千克。 案例 6 今将奶糖,巧克力糖，水果糖按不同比例混合成 A，B，C 三种糖果。A 种 糖果的混合比为 4：3：2，B 种糖果的混合比为 3：1：6，C 种糖果的混合比为 2：5：1，要从 A、B、C 三种糖果中各取多少千克才能做成含有奶糖，巧克力 糖，水果糖数量相等的混合糖果 50kg。 解：设 A 种糖果 xkg，B 种糖果 ykg，C 种糖果 zkg， 则依题意得方程组 4 3 2 50 9 10 8 3 3 1 5 50 9 10 8 3 2 6 1 50 9 10 8 3 x y z x y z x y z                   ，其系数行列式 432 9 10 8 3 1 5 7 0 9 10 8 80 261 9 10 8 D     根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 35 175 35 , , 24 108 27 D D D       。 所以 50 500 400 , , 3 27 27 x y z    。因此 A,B,C 三种糖果各取 50 500 400 , , 3 27 27 kg kg kg 才 能做成含有奶糖，巧克力糖，水果糖数量相等的混合糖果 50kg。 案例 7 给定平面上三个点（1,1），（2，-1），（3,1），求过这三个点且对称轴与 Y 轴平行的抛物线方程。 解：设所求抛物线方程为 2 y c bx ax    , 于是有 1 2 4 1 3 9 1 c b a c b a c b a                ，其系数行列 是范德蒙行列式 1 1 1 1 2 4 (3 2)(3 1)(2 1) 2 1 3 9 D       ，所以方程组有唯一解，易 得 1 2 3 D D D     14, 16, 4, 故 c b a     7, 8, 2 ，于是所求抛物线方程为

y=7-8x+2x2. 案例8己知直流电路如图所示，求各支路电流，2,4 解：由电路理论知，在每一结点处，流入的电流的和等于流出的电流的和：在每 一个闭合回路，电压的代数和等于电压降的代数和。 故有：(B点处与A点处方程同)。 -+=0(4点处)， 4i+2i=8(回路) 2+5=9Ⅲ回路) 此方程的系数行列式D=420=38,又 02 A=38=7%=38故得，4=号=4=会=24-号 . 案例9.某公司主管与职员两类，其月薪分别为5000元与2500元，以前公司每月 支出6万元，现在经营状况不佳，为将月工资支出减少到3.8万元，公司决定将 主管月薪降到4000元，并裁减2/5的职员，问公司原有主管与职员各多少人？ 解：设公司原有主管x人，职员y人 则依题意得方程组 04+025x0.6y=38'其系数行列式D=0:02 0.5x+0.25y=6 040.15=-0025 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得D=-0.05,D=-0.5。 所以x=2,y=20。因此公司原有主管2人，职员20人. 案例10.某商场销售三种产品，其销售原则是，每种产品销售10套以下不打折， 10套（含10套）以上打9.5折，20套（含20套）以上打9折，有三家公司采 购各种产品，其数量总价见下表：问各种产品原价是多少？

2 y x x    7 8 2 . 案例 8 已知直流电路如图所示，求各支路电流 1 2 3 i i i , , . 解：由电路理论知，在每一结点处，流入的电流的和等于流出的电流的和；在每 一个闭合回路，电压的代数和等于电压降的代数和。 故有：（B 点处与 A 点处方程同）。 1 2 3 1 2 2 3 0( 4 2 8( 2 5 9(II i i i A i i I i i             点处）， 回路）, 回路）. 此方程的系数行列式 1 1 1 4 2 0 38 0 2 5 D    ，又 1 2 3 D D D    38, 76, 38, 故得， 1 2 3 1 2 3 1, 2, 1. D D D i i i D D D       案例 9.某公司主管与职员两类，其月薪分别为 5000 元与 2500 元，以前公司每月 支出 6 万元，现在经营状况不佳，为将月工资支出减少到 3.8 万元，公司决定将 主管月薪降到 4000 元，并裁减 2∕5 的职员，问公司原有主管与职员各多少人？ 解：设公司原有主管 x 人,职员 y 人. 则依题意得方程组 0.5 0.25 6 0.4 0.25 0.6 3.8 x y x y         ，其系数行列式 0.5 0.25 0.025 0.4 0.15 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 D D     0.05, 0.5。 所以 x y   2, 20 。因此公司原有主管 2 人，职员 20 人. 案例 10.某商场销售三种产品，其销售原则是，每种产品销售 10 套以下不打折， 10 套（含 10 套）以上打 9.5 折，20 套（含 20 套）以上打 9 折，有三家公司采 购各种产品，其数量总价见下表：问各种产品原价是多少？

表1-3 甲/套 乙/套 丙/套 总价/元 1公司 20 15 21350 2公司 20 10 17650 3公司 20 30 20 31500 解：设甲、乙、丙三种产品的原价分别为为xy,:元，则由题意可列出方程组： [9.5x+18y+14.25z=21350 18x+9.5y+9.5z=17650 18r×27y+18z=31500 19.51814.25 其系数行列式D=189.59.5≠0 1827 18 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得x=400,y=500,:=600。故甲乙丙三种产品的原价分别为400元，500元， 600元。 案例11.某企业用一种材料来生产四种产品，分别为甲、乙、丙、丁四种，为了 统计每批产品的单位成本，作了四个批次的统计，如下表所示，试求每种产品的 单位成本。产品单位：(kg) 表14 甲 7. 丙 T 总成本/元 第1批生产/kg200 100 00 50 2900 第2批生产/kg 500 250 200 100 7050 第3批生产/kg100 40 40 20 1360 第4批生产/kg400 180 160 60 5500 解：设甲、乙、丙、丁四种产品的单位成本分别为为x,x元，则由题意可 200x+100x2+100x3+50x4=2900, 500x1+250x,+200x1+100x4=7050 列出方程组： 100x+40x2+40x3+20x=1360, 400x1+180x2+160x3+60x,=5500, 4x+2x2+2x3+1x=58, 化简，得 10x+5x3+4x3+2x4=141, 5x+2x2+2x+x,=68, 20x+9x2+8x+3x4=275

表 1-3 甲∕套 乙∕套 丙∕套 总价∕元 1 公司 10 20 15 21350 2 公司 20 10 10 17650 3 公司 20 30 20 31500 解：设甲、乙、丙三种产品的原价分别为为 x y z , , 元，则由题意可列出方程组： 9.5 18 14.25 21350 18 9.5 9.5 17650 18 27 18 31500 x y z x y z x y z               ， 其系数行列式 9.5 18 14.25 18 9.5 9.5 0 18 27 18 D   根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 x y z    400, 500, 600 。故甲乙丙三种产品的原价分别为 400 元，500 元， 600 元。 案例 11.某企业用一种材料来生产四种产品，分别为甲、乙、丙、丁四种，为了 统计每批产品的单位成本，作了四个批次的统计，如下表所示，试求每种产品的 单位成本。产品单位：（kg） 表 1-4 甲 乙 丙 丁 总成本∕元 第 1 批生产∕kg 200 100 100 50 2900 第 2 批生产∕kg 500 250 200 100 7050 第 3 批生产∕kg 100 40 40 20 1360 第 4 批生产∕kg 400 180 160 60 5500 解：设甲、乙、丙、丁四种产品的单位成本分别为为 1 2 3 4 x x x x , , , 元，则由题意可 列出方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 200 100 100 50 2900, 500 250 200 100 7050, 100 40 40 20 1360, 400 180 160 60 5500, x x x x x x x x x x x x x x x x                        化简，得 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 2 1 58, 10 5 4 2 141, 5 2 2 68, 20 9 8 3 275. x x x x x x x x x x x x x x x x                       

4221 其系数行列式D= 1054 2≠0 522 20983 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得x=10,x=5,x=3x=2,故甲、乙、丙、丁四种产品的单位成本分别分别 为10元/kg,5元/kg,3元/kg,2元/kg. 案例12.己知三家公司X、Y、Z具有下图所示的股份关系，即X公司掌握Z公司 50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司 ⑧ -0.7 0./ 0.5 0.2→⑧ 203Y 0.1 -0.3 控制等等。 现设X,Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每 家公司的联合收入是净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入。试确定各 公司的联合收入及实际收入。 解：依照图所示各个公司的股份比例可知，若设X、Y、乙三公司的联合收入分 别为x,y,则其实际收入分别为0.7x,0.2y0.3z.故而现在应先求出各个公司的联 合收入。 因为联合收入由两个部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对每 个公司可以列出一个方程，对X公司为 x=120000+0.7y+0.5z 对Y公司为 y=100000 对Z公司为 2=800000.3: x-0.7y-0.5z=120000. 故得线性方程组 y-0.2z=100000, -0.3x-0.1y+2=80000 1-0.7-0.5 因系数行列式D=01-0.2=0.788≠0，故由克莱姆法则知，此方程组 -03-0.11

其系数行列式 4 2 2 1 10 5 4 2 2 0 5 2 2 1 20 9 8 3 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 4 x x x x     10, 5, 3, 2, 故甲、乙、丙、丁四种产品的单位成本分别分别 为 10 ,5 ,3 ,2 元/kg 元/kg 元/kg 元/kg. 案例 12.已知三家公司 X、Y、Z 具有下图所示的股份关系，即 X 公司掌握 Z 公司 50%的股份，Z 公司掌握 X 公司 30%的股份，而 X 公司 70%的股份不受另两家公司 控制等等。 现设 X，Y 和 Z 公司各自的营业净收入分别是 12 万元、10 万元、8 万元，每 家公司的联合收入是净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入。试确定各 公司的联合收入及实际收入。 解：依照图所示各个公司的股份比例可知，若设 X、Y、Z 三公司的联合收入分 别为 x y z , , , 则其实际收入分别为 0.7 ,0.2 ,0.3 . x y z 故而现在应先求出各个公司的联 合收入。 因为联合收入由两个部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对每 个公司可以列出一个方程，对 X 公司为 x y z    120000 0.7 0.5 对 Y 公司为 y z   100000 0.2 对 Z 公司为 z x y    80000 0.3 0.1 故得线性方程组 0.7 0.5 120000, 0.2 100000, 0.3 0.1 80000. x y z y z x y z              因系数行列式 1 0.7 0.5 0 1 0.2 0.788 0 0.3 0.1 1 D         ，故由克莱姆法则知，此方程组

有唯一解。解得x=309390.86(元，y=137309.64(元)，：=186548.22（元） 于是X公司的联合收入为x=309390.86(元) 实际收入为0.7×309390.86=216573.60（元） Y公司的联合收入为y=137309.64(元) 实际收入为0.2×137309.64=27461.93元) Z公司的联合收入为：=186548.22（元） 实际收入为0.3×186548.22=55964.47（元） 案例13.（八阵图的“玄机”)有一个流传很广的游戏：任意挑选八个数字组 成个八#国，比。当这些数字分为清甜，表对湘案后进行加 减，最后结果都会是同一数字0.具体地说，第一次，相邻四个数按对角线法则相 乘取加号，第二次，相隔四数对角线法则相乘取减号，第三次，外圈与内圈各四 数也按对角线法则相乘后取加号， 啡粥书那形 =(1×9-2×53×4-6×7)-(1x6-3×52×4-7×9)+1×4-5×72×6-3×9) =30-495+465=0 能否破解这其中的“玄机”？ 解：事实上，这只要对一个值为0的行列式进行拉普拉斯展开即可。这是因为， 1237 行列式 5964=0 1237 5964 利用拉普拉斯定理将其展开，可得 1237 5964 5964 将传子典成任金人洋用配低及及]华有类微监念。 as as a as

有唯一解。解得 x y z    309390.86( ), 137309.64 , 186548.22 元 （元） （元） 于是 X 公司的联合收入为 x  309390.86( ) 元 实际收入为 0.7 309390.86 216573.60( )   元 Y 公司的联合收入为 y 137309.64( ) 元 实际收入为 0.2 137309.64 27461.93( )   元 Z 公司的联合收入为 z 186548.22( ) 元 实际收入为 0.3 186548.22 55964.47( )   元 案例 13.（八阵图的“玄机” ）有一个流传很广的游戏：任意挑选八个数字组 成一个八卦图，比如 1 2 3 7 5 9 6 4       ，当把这些数字分为两组，捉对相乘后进行加 减，最后结果都会是同一数字 0.具体地说，第一次，相邻四个数按对角线法则相 乘取加号，第二次，相隔四数对角线法则相乘取减号，第三次，外圈与内圈各四 数也按对角线法则相乘后取加号，即 1 2 3 7 1 3 2 7 1 7 2 3 5 9 6 4 5 6 9 4 5 4 9 6                        (1 9 2 5)(3 4 6 7) (1 6 3 5)(2 4 7 9) (1 4 5 7)(2 6 3 9)     30 495 465 0 能否破解这其中的“玄机”？ 解：事实上，这只要对一个值为 0 的行列式进行拉普拉斯展开即可。这是因为， 行列式 1 2 3 7 5 9 6 4 0, 1 2 3 7 5 9 6 4  利用拉普拉斯定理将其展开，可得 1 2 3 7 5 9 6 4 1 2 3 7 1 3 2 7 1 7 2 3 2( ) 0 1 2 3 7 5 9 6 4 5 6 9 4 5 4 9 6 5 9 6 4     。 将 1 2 3 7 5 9 6 4       换成任意八阵图 1 2 3 4 5 6 7 8 a a a a a a a a       都有类似结论

案例14.大学生在饮食方面存在很多问题，多数学生不重视吃早餐，日常饮食也 没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中 需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养 以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。 表1-5 [单位食物所含的营养食物1食物2食物3所需营养 蛋白质 36 51 13 33 脂肪 0 7113 碳水化合物 52 34 74 45 试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的 三种食物的量。 解：设x,x,x分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组 「36.x+51x2+13x=33 7x2+1.1x=3, 52x+34x,+74x,=45. 365113 其系数行列式其系数行列式D=071.1=15486.8≠0 523474 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得x=0.2772,x=0.3919,x=0.2332,故每天需要摄入的三种食物的量 分别为0.2772.0.3919.0.2332 案例15某药厂生产3种中成药，每件中成药的生产要经过三个车间加工。三个 车间每周的工时、每件中成药在各车间需要的工时数如下表所示，问3种中成药 每周的产量各是多少？ 表1.6 中成药1中成药2中成药3车间工时（时周） 车间1 2 40 车间2 3 2 3 75 车间3 1 1 28 解：设3种中成药每周的产量分别是x,x,x,则由题意得 +3+2x3=40 3x+2x2+3x=75, x+x2+x3=28

案例 14.大学生在饮食方面存在很多问题，多数学生不重视吃早餐，日常饮食也 没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中 需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养 以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。 表 1-5 单位食物所含的营养 食物 1 食物 2 食物 3 所需营养 蛋白质 36 51 13 33 脂肪 0 7 1.1 3 碳水化合物 52 34 74 45 试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的 三种食物的量。 解：设 1 2 3 x x x , , 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组 1 2 3 2 3 1 2 3 36 51 13 33 7 1.1 3, 52 34 74 45. x x x x x x x x              其系数行列式其系数行列式 36 51 13 0 7 1.1 15486.8 0 52 34 74 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 x x x    0.2772, 0.3919, 0.2332, 故每天需要摄入的三种食物的量 分别为 0.2772,0.3919,0.2332. 案例 15 某药厂生产 3 种中成药，每件中成药的生产要经过三个车间加工。三个 车间每周的工时、每件中成药在各车间需要的工时数如下表所示，问 3 种中成药 每周的产量各是多少？ 表 1-6 中成药 1 中成药 2 中成药 3 车间工时（时/周） 车间 1 1 1 2 40 车间 2 3 2 3 75 车间 3 1 1 1 28 解：设 3 种中成药每周的产量分别是 1 2 3 x x x , , ，则由题意得 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 40 3 2 3 75, 28. x x x x x x x x x              

112 其系数行列式其系数行列式D=323=1≠0 11 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得x=7,=9,x=12,故3种中成药每周的产量分别是7件，9件，12件。 案例16一百货商店出售四种型号的T恤衫：小号，中号，大号和加大号。四 种型号的T恤衫的售价分别为：22元，24元，26元，30元。若商店某周加大 号共售出了13件T恤衫，毛收入为320元。已知大号的销售量为小号和加大号 销售量的总和，问各种型号的T恤衫各售出多少件？ 解：设T恤衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为x,x,x,x,则根据题 x+x2+x3+x4=13 意得方程组 22x+24x2+26x,+30.x4=320 X,-X-X,=0 22x-26x3+30x=0 11111 2224263 其系数行列式D=0 仁32+0，根据克莱姆法则，方程组有唯一 220-2630 解。解得x=1,x=9x=2,x=1。因此T恤衫小号，中号，大号，加大号的销 售量分别是1件，9件，2件，1件。 案例17.一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立 一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位(1天文单位为 地球到太阳的平均距离：9300万里)。他在五个不同时间对小行星作五次观测， 得到轨道上五个点的坐标分别为 (5.764,0.648),(6.286,1.202),(6.759,1.823),(7.168,2.562),(7.408,3.360).由开普勒第 一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程。 解：平面上圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一般方程为： ax2+a,y+ay+ax+ay+a。=0,该方程还有六个待定系数，用它们之中不

其系数行列式其系数行列式 1 1 2 3 2 3 1 0 1 1 1 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 x x x    7, 9, 12, 故 3 种中成药每周的产量分别是 7 件，9 件，12 件。 案例 16 一百货商店出售四种型号的 T 恤衫：小号，中号，大号和加大号。四 种型号的 T 恤衫的售价分别为：22 元，24 元，26 元，30 元。若商店某周加大 号共售出了 13 件 T 恤衫，毛收入为 320 元。已知大号的销售量为小号和加大号 销售量的总和，问各种型号的 T 恤衫各售出多少件？ 解：设 T 恤衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为 1 2 3 4 x x x x , , , ，则根据题 意得方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 3 4 13 22 24 26 30 320 0 22 26 30 0 x x x x x x x x x x x x x x                      其系数行列式 1 1 1 1 22 24 26 30 32 0 1 0 1 1 22 0 26 30 D      ，根据克莱姆法则，方程组有唯一 解。解得 1 2 3 4 x x x x     1, 9, 2, 1 。因此 T 恤衫小号，中号，大号，加大号的销 售量分别是 1 件，9 件，2 件，1 件。 案例 17. 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立 一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1 天文单位为 地球到太阳的平均距离：9300 万里）。他在五个不同时间对小行星作五次观测， 得到轨道上五个点的坐标分别为 (5.764,0.648),(6.286,1.202),(6.759,1.823),(7.168,2.562),(7.408,3.360). 由开普勒第 一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程。 解： 平面上圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一般方程为： 2 2 1 2 3 4 5 6 a x a xy a y a x a y a       0 ，该方程还有六个待定系数，用它们之中不