第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩
第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩
§2.1消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式
§2.1 消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式
一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程. 引例求解线性方程组 2x1-x2+2x3=4 }x+x,+2x,=1 (1) 14x1+x2+4x3=2 解： 1x,+x2+2x3=1 (1) ①&212x,-x2+2x,=4 (2) 14x,+2+4x3=2
引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 解：
ìx1+x2+2x3=1 -2①+② II -3x2-2x3=2 (3) -4①+3 +3x2-4x3=-2 ìx,+x2+2x3=1 -②+③ 1-3,-2=2 (4) II -2x3=-4 ix+x2 =-3 -③+② II -3X2 =6 ③+① (5) II -2x3=-4
- +2 3 - 3 + 2 3 + 1 -2 1 + 2 -4 1 + 3
1②+① ix1=-1 1 3② ix2=-2 =2 说明： 1.在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 (1)交换方程次序； (2)以不等于0的数乘某个方程； (3)一个方程加上另一个方程的k倍
2 1 3 2 说明： 1. 在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是，加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组。 2.上述三种变换都是可逆的. 若(A)&交(B.则(B①《①(4店 若(A)⑦(B,则(B①k(A片 若(A+k(B,则(B)DQ(A. 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组
2.上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组． 以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是,加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组
3.因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算，因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 定义2.1.1由m'n个数4j(i=1,2,L,m;j=1,2,L,n) 排成的m行列的数表 eau 412 L e L i A= 421 022 a2n e M Mú e 0ml am2 L
3. 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算,因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 定义2.1.1 由 个数 排成的 行 列的数表
称为m'n矩阵.简称m'n阵 说明： (1I)a,为A的第行第列元素 (2)a,是实数，A为实矩阵a是复数，A为复矩阵。 (3)与行列式的区别 (4)矩阵记为A=Ann=a,)。=a,) (5)矩阵的行数和列数相等时，称矩阵A为方阵 é1035ù 例如 96438 是一个2'4实矩阵
称为 矩阵.简称 阵. 例如 是一个 实矩阵
e13 6 2iu 2 2 2是一个3阶方阵 2 221 例如，一般n元线性方程组 iax+ax2+.+anx=b i421X1+a2X2+.+42nXn=b2 (8) i. amamamun=bm
是一个3 阶方阵. 例如，一般n元线性方程组
的未知量的系数可以用矩阵A=(a)mn来表示， 此时称A为方程组的系数矩阵. eau a2 as L a1nù eL LLLL u e a31a32a3L asn 方程组的系数和常数项可以用一个m'(n+1)矩阵 4112 b,ù e A=è142 u X xx ú ě0ml 双 D
此时称A为方程组的系数矩阵. 的未知量的系数可以用矩阵 来表示， 方程组的系数和常数项可以用一个 矩阵