《数学分析》课程教学课件（讲稿）换元积分法（二）

§5 换元积分法2

§5 换元积分法2

二、换元公式 定理 假设 (1)f(x)在a,b]上连续； (2)函数x=p(t)在@，B]上是单值的且有连续 导数； (3)当t在区间[a,B]上变化时，x=p(t)的值 在a,b1上变化，且p(a)=a、p(B)=b, 则有∫f(x)c=∫fp()]o'(t)t

定理 假设 （1） f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x  (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[,  ]上变化时，x  (t) 的 值 在[a,b]上变化，且( )  a 、( )  b ， 则 有 f x dx f t t dt b a      ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式

证设F(x)是f(x)的一个原函数， ∫f(x=F(b)-Fa, Φ(t)=F[p(t)小， Φ'(0)= F.&-fx)o'0)=flpo'o dx dt .Φ(t)是f[p(t)小p'(t)的一个原函数. PfLp(0p'(t0t=Φ(B)-Φ(a

证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a    (t)  F[(t)], dt dx dx dF (t)    f (x)(t) f[(t)](t), [( )]( )  ()  (),    f t t dt (t)是 f [(t)](t)的一个原函数

p(a)=a、p(B)=b, Φ(B)-Φ(a)=FLp(B)】-F[p(a)川 =F(b)-F(@), ∫f(x)=F(b)-F(a)=Φ(B)-Φ(a) -S"flo()Ic(tx. 注意当0>时，换元公式仍成立

( )  a、( )  b, ( )  ()  F[( )] F[()]  F(b)  F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a    ( )  () f[ (t)] (t)dt.        注意 当   时，换元公式仍成立

应用换元公式时应注意： (1)用x=p(t)把变量换成新变量t时，积分限也 相应的改变 (2)求出f[p(t)]p'(t)的一个原函数Φ(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了

应用换元公式时应注意: （1） 求出 f[(t)](t)的一个原函数(t) 后，不 必象计算不定积分那样再要把(t) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x  (t)把变量x 换成新变量t时，积分限也 相应的改变

例1计算∫cos5 x sinxd. 解令t=cosx, dt =-sin xdx, x=2今t=0,x=0→t=1, cos5 xsinxdx 8

例1 计算 cos sin . 2 0 5   x xdx 解 令 t  cos x, 2  x   t  0, x  0 t  1,   2 0 5 cos x sin xdx   0 1 5 t dt 1 0 6 6 t  . 6 1  dt  sin xdx

例2计算Vsin3x-sinx. 解f(x)=vsin3x-sim5x=cosx(inx)月 sinsincosd -[icos-(sin.x)d-cosa(sinx 2 =月(inx2 dsinx-」(6inx5 dsinx -6m-26m专

例2 计算 解 sin sin . 0 3 5   x  xdx f x x x 3 5  ( )  sin  sin  2 3  cos x sin x     0 3 5 sin x sin xdx      0 2 3 cos x sin x dx      2 0 2 3 cos x sin x dx       2 2 3 cos x sin x dx      2 0 2 3 sin x d sin x       2 2 3 sin x d sin x   2 0 2 5 sin 5 2   x      2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 

例3计算割exnx0-n0】 解 原式-了a d(Inx) 3 d(Inx) =2g dvInx VInx (1-Inx) W1-(Wnx)2 =2 reim(nxl.=君

例3 计算 解 . ln (1 ln ) 4 3   e e x x x dx 原式    4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x    4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x    4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x   4 3 2 arcsin( ln ) e e  x . 6  

例4计算 +2,a>0 小 解 令x=asint, dx acostdt, 元 x=0→t= 2’ x=0→t=0, 原式-月 acost dt asint+a2(1-sin2t) sinine 2bino

例4 计算 解     a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x  asint, x  a , 2   t  x  0  t  0, dx  acostdt, 原式      2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t     2 0 sin cos cos dt t t t             2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t   2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1       t t . 4  

例5当f(x)在-a,上连续，且有 ①f(x)为偶函数，则 ,f(x)d=2f(x); ②f(x)为奇函数，则f(x)k=0. 证，f(x)c=,fx)d&+”f(x), 在f(x)dc中令x=-t

例 5 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有 ① f ( x)为偶函数，则    a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f ( x)为奇函数，则  a a f ( x)dx 0 . 证 ( ) ( ) ( ) , 0 0      a a a a f x dx f x dx f x dx 在 0 ( ) a f x dx中令x  t