第二节定积分的性质 中值定理 一、基本内容 二、小结思考题 返回
一、基本内容 对定积分的补充规定： (1)当a=b时，∫f(x)dk=0 (2) 当a>b时，∫心fx)=-fx)c. 说明； 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小. 上页 返回
对定积分的补充规定: （1）当a b时， ( ) 0 b a f x dx ； （2）当a b时， a b b a f ( x)dx f ( x)dx. 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容
性质1fx)±g(x)ld=f)k±0g(x) 证 fw)±gxd =im∑Lf(5)±g(5:)lAx 2→0 =m2J八5，)Ax±2g△ 0 i=1 =f(x)dk±g(x). (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
证 b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i f g x lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i f x lim ( ) 1 0 i i n i g x lim ( ) 1 0 b a f (x)dx ( ) . b a g x dx b a [ f (x) g(x)]dx b a f (x)dx b a g(x)dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1
性质2 f()k=Kf(x)kk为常数. 证 wd=m2时5Ax =g空f5,A=k=2GA, -k["f(x)dx. 回
b a b a kf ( x)dx k f ( x)dx (k 为常数). 证 b a kf (x)dx i i n i kf x lim ( ) 1 0 i i n i k f x lim ( ) 1 0 i i n i k f x lim ( ) 1 0 ( ) . b a k f x dx 性质2
性质3 假设a<c<b f(x)=j后fx)+心f(x) 补充：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立 例若a<b<c, ()d(d+f(de 则fx)=Efx)c-∫fx)c =0fx)+f)& (定积分对于积分区间具有可加性) 上页
b a f ( x)dx b c c a f ( x)dx f ( x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx c b b a f (x)dx f (x)dx b a f (x)dx c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a c b
性质4心1.k=心c=b-a. 性质5如果在区间a,b]上f(x)20, 则∫f(x≥0.(a<b) 证 .f(x)≥0，.f(5)≥0，(i=1,2,n) △x,≥0，·∑f传：)△x,≥0， i=1 2=max{△c1,△x2,△xn} m2fGA,=foe)k≥0. 回
dx b a 1 dx b a b a . 则 ( ) 0 f x dx b a . (a b) 证 f (x) 0, ( ) 0, i f (i 1,2, ,n) 0, xi ( ) 0, 1 i i n i f x max{ , , , } x1 x2 xn i i n i f x lim ( ) 1 0 ( ) 0. b a f x dx 性质4 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x) 0
例1比较积分值ec利。x的大小 解 令f(x)=e'-x,x∈[-2,0] fx)>0,.∫，(e*-x)k>0, edk>以， 于是e*k<x, 上页
例 1 比较积分值 e dx x 2 0 和 xdx 2 0 的大小. 解 令 f (x) e x, x x[2, 0] f (x) 0, ( ) 0, 0 2 e x dx x e dx x 0 2 , 0 2 xdx 于是 e dx x 2 0 . 2 0 xdx
性质5的推论： (1)如果在区间a,b]上f(x)≤g(x), 则fx≤g(x.(a<b) 证 :f(x)≤g(x),.g(x)-f(x)≥0， ·.∫g(x)-f(x)k≥0， g(x)-∫心fx)d≥0， 于是fxk≤g(x. 上贡 回
性质5的推论： 证 f (x) g(x), g(x) f (x) 0, [ ( ) ( )] 0, g x f x dx b a ( ) ( ) 0, b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x)
性质5的推论： (2)心fx≤fxk.a<b 证 -f(x)≤f(x)≤fx9 -fx)≤fxw)≤fx) 即f(x≤fx), 说明：1f(x)川在区间4，b]上的可积性是显然的
f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . (a b) 证 f (x) f (x) f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a 即 f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 性质5的推论： （2）
性质6 设M及m分别是函数 f(x)在区间a,b]上的最大值及最小值， 则m(b-o)≤f(x)c≤M(b-o). 证 .'m≤f(x)≤M, .≤fx)≤Ma, m(b-m)≤fx)c≤M(b-a) (此性质可用于估计积分值的大致范围)
设M及m分别是函数 证 m f (x) M, ( ) , b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a （此性质可用于估计积分值的大致范围） 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a . f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 性质6