《数学分析》课程教学课件（讲稿）换元积分法和分部积分

§2换元积分法和分部积分 上页 返回

§2换元积分法和分部积分

王王王王王王王 一、基本内容 问题 ∫xed=? 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数， (uv)=u'v+uv,uv =(uv)-u'v, 王王王王 ∫w&=w-∫t,∫uw=w-∫d 分部积分公式

问题  xe dx  ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u  u(x)和v  v(x)具有连续导数, uv  uv  uv ,  uv uv  uv,    uv dx uv u vdx,       udv uv vdu.     分部积分公式 一、基本内容

例1 求积分∫xcosxdx. 解（一） 令u=c0sx, xdx==dv jms-osx+写 显然，心，y'选择不当，积分更难进行 解（二） u=x,cos xdx=dsinx=dv ∫cos.xdx=-∫xdsin=xsinx-∫sin.cde =xsinx+cosx+C

例1 求积分 cos .  x xdx 解（一） 令 u  cos x, xdx  dx  dv 2 2 1  xcos xdx    xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u ,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u  x, cos xdx  d sin x  dv  xcos xdx   xd sin x   xsin x  sin xdx  xsin x  cos x  C

例2 求积分∫x2e. 解 u=x2, e*dx dex-dv, x2ed=x2e-2∫xe*d (再次使用分部积分法)u=x,e'dc=dw =x2e-2(xe'-e)+C. 总结若被积函数是幂函数和正（余）弦函数 或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函 数为山，使其降幂一次（假定幂指数是正整数）

例2 求积分 . 2  x e dx x 解 , 2 u  x e dx de dv, x x    x e dx 2 x   x e  xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x     （再次使用分部积分法） u  x, e dx dv x  总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

例3 求积分∫xarctan x, 解 令u=arctan x, xdx=d _=dv ∫arctan达-若aretan-∫2 dfarctan 2 x2 2 arctan x- (x-arctan x)+C. 上页 回

例3 求积分 arctan .  x xdx 解 令 u  arctan x , dv x xdx  d  2 2  xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x    dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2       ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x    

例4 求积分∫rlnx. 解 u=Inx,x'dx=d=dv, jel加d-nx-ru 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为u

例4 求积分 ln . 3  x xdx 解 u  ln x, , 4 4 3 dv x x dx  d   x ln xdx 3   x x  x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4  x x  x  C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u

例5求积分∫sin(nx)c, 解 ∫sin(In)ak=csin(nx)-∫xdIsin(In.x)] -xsin(lnx)-Jxcos(n.x). =xsin(Inx)-xcos(Inx)+xd[cos(Inx)] x[sin(Inx)-cos(In)]-[sin(lnx)de ∫sin血x)k=)Isin(n)-cos(nxl+C, 上页

例5 求积分 sin(ln ) .  x dx 解  sin(ln x)dx    xsin(ln x) xd[sin(ln x)]     dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )     xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)]     x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx  sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x   

例6 求积分」esinxd. 解 je'sin xde-∫sinxde =e'sinx-∫e*d(sinx) -esinx-fe*cosxdx-e*sinx-fcosxde -e*sinx-(e*cosx-Je*dcosx) -e(sinx-cosx)-fe"sinxdx 注意循环形式 je产sint-26ix-cos)+C

例6 求积分 sin .  e xdx x 解  e xdx x sin   x sin xde    e sin x e d(sin x) x x    e x e xdx x x sin cos    x x e sin x cos xde     e sin x (e cos x e d cos x) x x x     e x x e xdx x x (sin cos ) sin  e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x    注意循环形式

例7 球积公丁产行 解（ ∫e=aaua+e =1+x2 arctan x-[v1+x'd(arctan x) =i+artans-小+1么 上贡 回

例7 求积分   . 1 arctan 2 dx x x x 解   , 1 1 2 2 x x x         dx x x x 2 1 arctan    2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x      dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1       

令x=tant j7e-∫itn,e=-小sc In(sect+tant)+C=In(x++x2)+C =V1+x2arctan x-In(x+v1+x2)+C

dx x x x      2 2 1 1 1 arctan 令 x  tant dx x   2 1 1    tdt t 2 2 sec 1 tan 1   sectdt  ln(sec t  tant)  C  ln( x  1 x )  C 2    dx x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2   ln( 1 ) . 2  x   x  C