第三版前言 华东师范大学数学系编写的（数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家 评审，列入“九五”教委级重点教材；并承高等学校数学和力学指导委员会基础数 学教学指导组对教材修订提出具体指导意见，我系数学分析编写组对本书在第 二版使用基础上进行修订. 此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见，召开了使用教材情况的座 谈会，许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意 见.在此基础上，我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调 整和增删：同时考虑到近代数学分析教材发展潮流，适度地反映这方面的进展情 况，以适应对21世纪新教材的需求 关于实数理论，不少同类教材由小数出发叙述实数理论，这种方式比较容易 理解，并且与中学数学教学衔接得比较紧密，我们在第一章中采用由小数引进实 数的方法，并由此证明确界原理，希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原 理 在单变量徽分学中，除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外，同 时也由极值问题引入稳定点概念，并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密 积分理论方面，在引入定积分基本概念后，提前出现牛顿一莱布尼茨公式， 这样能较早接触定积分计算，对于可积分条件先作直观描述，并用来证明某些函 数类的可积性，难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节，可根据需要 选用.根据使用院校意见，反常积分和含参量积分各自独立成章。 二重积分的变量变换公式在较强的条件下，利用格林公式进行证明；一般条 件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出，对希望了解一般条件 下严格证明的读者可能有益，这个证明放在重积分最后一节 在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重 视，在应用数学中也日见其重要性，在前二版有关内容的基础上，我们使用迭代 法证明反函数定理，并由此证明隐函数定理及求导法，使得相应内容比较容易接 受；外积运用了浅近的解释，使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内 容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容，供选学用。 对于加“米”的章节，教学中可灵活选用，也可作为读者进一步阅读的内容或 作为选修课的内容，以使本书适合多种层次的需求
第三版前言 附录I徵积分学简史.由张莫宙教授作了修订，读者可从此附录了解微积 分学发展的线素 附录Ⅱ实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比 较直观、优美，仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近， 在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应， 附录Ⅲ积分表。 在这次修订中，我们审查了全部习题，适当进行了调整和补充，希望能更好 符合教学的需要】 这次修订由吴良森任主编， 上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写；第五、六章由庞学诚编写：第八、 九、十、十一章由毛羽辉编写，上册由毛羽辉负责编写组织及修改。 下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写；第十六、十七、十八、二十三 章由吴良森编写：第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写，下册由魏国强 负责编写组织。 最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件， 程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿 并提出了宝贵的意见，对他们的鼓励和支持深表感谢， 郑英元教授对修订提了许多积极的建议， 高等学校数学和力学指导委员会成员，吉林大学孙善利教授对本书修改提 供了宝贵的意见 陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大 学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见，在此致 以深切的谢意. 华东理工大学谢国瑞教投和交通大学孙藏荣教授仔细审阅了本书上册的稿 件，高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件，提出许多宝贵意见，在此表 示感谢 第三版中还会有许多不足之处，恳切希望读者批评指正 编者 1999年9月
目 录 第一章实数集与函数 S1实数 .1 一实数及其性质.+.1 二绝对值与不等式 .3 S2数集·确界原理 4 区间与邻域. 二有界集·确界原理 5 §3函数概念. 10 函数的定义. 1 函数的表示法.11 三函数的四则运算 11 四复合函数. 12 五反函数.13 六初等函数. 14 §4具有某些特性的函数 16 有界函数. 2 三 奇函数和偶函数 1 四周期函数. .19 第二章数列极限 §1数列极限概念 23 §2收敛数列的性质 .28 S3数列极限存在的条件. .35 第三章函数极限 §1函数极限概念 .42
月录 x趋于∞时函数的极限 42 x趋于x0时函数的极限 4+t*+.0.43 S2函数极限的性质 .48 S3函数极限存在的条件.52 S4两个重要的极限. .56 证明m的上-=1 二 证明m(1+上广=e .56 §5无穷小量与无穷大量 59 无穷小量. 二无穷小量阶的比较.60 三无穷大量. 62 四曲线的渐近线 44*64 第四章函数的连续性 §1连续性概念 一函数在一点的连续性.69 二间断点及其分类 4471 三区间上的连续函数： .72 §2连续函数的性质 .74 连续函数的局部性质. 二 闭区间上连续函数的基本性质.75 三反函数的连续性. 78 四一致连续性. §3初等函数的连续性 44 82 一指数函数的连续性. 二初等函数的连续性. 44483 第五章导数和微分 S1导数的概念 87 导数的定义 .87 二导函数 90 三导数的几何意义.。 S2求导法则. 4495 一导数的四则运算 95
录 二 反函数的导数. .97 三复合函数的导数 .98 四 基本求导法则与公式 101 §3 参变量函数的导数 103 S4高阶导数. 106 S5微分 110 微分的概念. 110 二 微分的运算法则 *.112 高阶徽分. 113 四 微分在近似计算中的应用 .114 第六章微分中值定理及其应用 S1拉格朗日定理和函数的单调性. 119 一罗尔定理与拉格朗日定理 119 单调函数，. 123 §2柯西中值定理和不定式极限. 125 柯西中值定理。 125 二不定式极限 127 S3泰勒公式. .134 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 .134 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 138 在近似计算上的应用. 4*.+.140 §4函数的极值与最大（小）值 .l42 极值判别. 142 二最大值与最小值. .144 §5函数的凸性与拐点 148 S6函数图象的讨论： 154 S7方程的近似解. .155 第七章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理.l61 一区间套定理与柯西收敛准则. 161 二 聚点定理与有限覆羞定理. 163 ·三实数完备性基本定理的等价性 166 S2闭区间上连续函数性质的证明. 168
4 目 录 S3上极限和下极限. .172 第八章不定积分 S1不定积分概念与基本积分公式.176 原函数与不定积分 .176 二基本积分表. .179 S2换元积分法与分部积分法.182 换元积分法. 182 分部积分法 S3有理函数和可化为有理函数的不定积分.190 有理函数的不定积分.。 190 二三角函数有理式的不定积分 .194 三某些无理根式的不定积分. 195 第九章定积分 S1定积分概念.200 一问题提出. .200 二定积分的定义. .201 S2牛顿一莱布尼茨公式. 204 §3可积条件. 207 可积的必要条件 207 可积的充要条件.208 三可积函数类. 209 S4定积分的性质. 213 定积分的基本性质.213 二积分中值定理 217 §5微积分学基本定理·定积分计算（续 4220 变限积分与原函数的存在性 .220 换元积分法与分部积分法 24 三 泰勒公式的积分型余项 227 ·§6可积性理论补叙 231 一上和与下和的性质 23 二可积的充要条件·.*“. 4233
第十章定积分的应用 S1平面图形的面积.239 S2由平行截面面积求体积.243 §3平面曲线的弧长与曲率 .247 平面曲线的孤长 247 250 S4旋转曲面的面积 253 徽元法. t*253 一旋转曲面的面积.+****“ 254 S5定积分在物理中的某些应用. 255 一液体静压力 255 引力.256 三功与平均功率.257 ·§6定积分的近似计算 .259 一梯形法. .260 二抛物线法. 260 第十一章反常积分 S1反常积分概念.26叫 一 问题提出. .264 二两类反常积分的定义 265 S2无穷积分的性质与收敛判别. 270 无穷积分的性质 270 一出较判别法+ 271 三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法. .273 §3瑕积分的性质与收敛判别 276 附录I微积分学简史. 281 附录Ⅱ实数理论. 289 建立实数的原则. 289 二分桥. 290 亡分划全体所成的有序集*”“” 292 四R中的加法 294 五R中的乘法 295 六R作为Q的扩充 .297
6 录 七实数的无限小数表示 .299 八无限小数四则运算的定义.300 附录Ⅲ积分表.303 含有“的形式 . 303 二 含有a十hx的形式.303 三含有a2士x2,a>0的形式. 304 四含有a+bcx2,b2≠4a的形式. +304 五含有√a+bx的形式.304 六含有V2士2，a>0的形式.305 七 含有√a2-x,a>0的形式 .306 八含有inx或c了的形式. 306 九含有anx,cotx,工，cx的形式. 307 十含有反三角函数的形式. 308 十一含有的形式. 308 十二含有nx的形式. .309 习题答案. 310 索引 330 人名索引. .334
第一章实数集与函数 §1实数 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此，我们先简要叙述 实数的有关概念. 实数及其性质 在中学数学课程中，我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可 用分数形式2(p,9为整数，q≠0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环 小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实 数. 为了以下讨论的需要，我们把有限小数（包括整数）也表示为无限小数.对此 我们作如下规定：对于正有限小数（包括正整数）x,当x=a0:a1a2.a,时，其 中0≤a,≤9，i=1,2,.,n,an≠0，a0为非负整数，记 x=a0.a1a2(am-1)9999., 而当x=a0为正整数时，则记 x=(a0-1).9999., 例如2.001记为2.0009999；对于负有限小数（包括负整数）y,则先将-y表 示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为-7.9999；又规 定数0表示为0.0000.于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系， 定义1给定两个非负实数 x=a0a1a2an.,y=b0-b1b2.bn., 其中ao,b为非负整数，ak,b(k=1,2,.)为整数，0≤a≤9,0≤b≤9.若有 ak=bk,k=0,1,2,., 则称x与y相等，记为x=y;若ao>b或存在非负整数l,使得 ak=bs(k=0,1,2,.,l)而a1+1>b+1, 则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x
2 第一章实数集与函数 对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与xx).另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数. 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此，先给出如下 定义. 定义2设x=a0a1a2.an.为非负实数.称有理数 xn=a0a1a2“an 为实数x的n位不足近似，而有理数 工n=xm+10 称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,. 对于负实数x=-ao.a1a2.an.,其n位不足近似与过剩近似分别规定 为 五=-a0a1a2a,10与z=-aa1a2a 1 注不难看出，实数x的不足近似xm当n增大时不减，即有x0≤x1≤ x2≤.，而过剩近似xn当n增大时不增，即有x0≥x1≥x2≥. 我们有以下的 命题设x=ao.a1a2.与y=b0.b1b2.为两个实数，则x>y的等价条 件是：存在非负整数n,使得 In >yn, 其中xn表示x的n位不足近似，yn表示y的n位过剩近似. 关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定义，可参阅本书附 录Ⅱ第八节. 例1设xy为实数，x<y.证明：存在有理数r满足 x<r<y. 证由于x<y,故存在非负整数n,使得xn<y.令 r=(In +y), 则r为有理数，且有 x≤xn<r<yn≤y, 即得x<r<y 0 为方便起见，通常将全体实数构成的集合记为R,即 R=xx为实数 实数有如下一些主要性质： 1.实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个