《数学分析》课程教学课件（讲稿）第十一章 反常积分 §2 反常积分的收敛判别

第十一章反常积分 §2反常积分的收敛判别

第十一章 反常积分 §2 反常积分的收敛判别

一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法。 定理1设函数f(x)在区间[a,+o)上连续， 且fx)≥0.若函数F(x)=∫f)t 在a,+oo)上有界，则广义积分∫了(x)dc收敛， 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 回

一、无穷限的广义积分的审敛法 在 上有界，则广义积分 收敛． 且 ．若函数 定理１ 设函数 在区间 上连续，          a x a a f x dx f x F x f t dt f x a [ , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ , ) 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．

定理2比较审敛原理)设函数f(x)、g(x)在 区间a,+o)上连续，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤ x<+o,并且广8(x)k收敛，则了x) 也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x<+o),并 且g(x)发散，则了(x)心也发散. 证 设a<b<+o,由0≤fx)≤g(x)及g(x) 收敛，得∫)≤g(x)≤( 即Fb)=fx)在[a,+o)上有上界 上页

且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在                       a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( )               a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ， 由 及 即 F(b)   f (x)dx 在[a,) 上有上界． b a

由定理1知∫了(x)c收敛 如果0≤g()≤fx,且∫g(x)发散， 则了x)k必定发散 如果了x)收敛，由第一部分知 g(x)也收，这与假设矛盾。 例如，广文积分恋(a> 当p>1时收敛； 当P≤1时发散. 上页 回

由定理１知  收敛．  a f (x)dx ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如 果 且 发 散       a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如 果 收敛，由第一部分知     a a g x dx f x dx ( )  ( ) 例如，         当 时发散． 当 时收敛； 广义积分 1 1 ( 0) P p a x dx a p

定理3比较审敛法)设函数f(x)在区间 [a,+o)(a>0)上连续，且f(x)≥0.如果 存在常数M>0及p>1,使得w)s xP (a≤x0,使得f)≥X(u≤x<+o, 则f(x)k发散

则 发散． 常 数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如 果 定 理 比较审敛法１ 设函数 在区间                      a a p f x dx a x x N N f x a x f x dx x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3( ) ( )

例1判别广义积分 的收敛性 x4+1 解 0+1,p1 根据比较审敛法1， 广义积分六 收敛 上页 回

例１ . 1 1 判别广义积分 3 4 的收敛性  x  dx 解 , 1 1 1 1 0 3 4 3 4 4 / 3 x x x      1, 3 4 p   根据比较审敛法１， . 1 1 广义积分  3 4 收敛  x  dx

主主主王王王 定理4（极限审敛法1）设函数f(x)在区间[，+o) (a>0)上连续，且f(x)≥0.如果存在常数p>1, 使得limxf(x)存在，则了(x)c收敛； 如果limf(x)=d>0(或lim xf(x)=+oo),则 ∫了x)发散， 例2判别广义积分在 的收敛性 解 1+x=山所给广义积分收敛 1imx2.-1 X+00

发散． 如 果 或 则 使 得 存在，则 收敛； 上连续，且 如果存在常数 ， 定 理 极限审敛法１ 设函数 在区间                    a x x a p x f x dx xf x d xf x x f x f x dx a f x p f x a ( ) lim ( ) 0 ( lim ( ) ), lim ( ) ( ) ( 0) ( ) 0. 1 4( ) ( ) [ , ) 例２ . 1 1 判别广义积分 2 的收敛性  x  x dx 解 1, 11 lim 2 2      x x x x  所给广义积分收敛．

例3判别广义积分 1+的收敛性 解 limx2 H。+2+01t =十00， 根据极限审敛法1，所给广义积分发散， 例4判为广义积分的收敛性 解 lim xarctanx-lim arctanx 根据极限审敛法1，所给广义积分发散. 回

例３ . 1 1 2 3 / 2 判别广义积分 dx的收敛性 x x    解 2 2 2 3 / 2 1 lim 1 lim x x x x x x x x          , 根据极限审敛法１，所给广义积分发散． 例４ . arctan 1 判别广义积分 dx的收敛性 x x   解 x x x x x x lim arctan arctan lim      , 2   根据极限审敛法１，所给广义积分发散．

定理5 设函数f(x)在区间[a,+o)上连续， 如果f(x)收敛；则(x)也收敛， 证令p()=,f)+fx p(x)≥0，且p(x)≤f(x,f(x)收敛 ∫p(x也收敛.但f)=2p(x)-f f()d-2(d-f()d 即了x=2()-f6w). 收敛

如 果 收敛；则 也收敛． 定 理 设函数 在区间 上连续，       a a f x dx f x dx f x a ( ) ( ) 5 ( ) [ , ) 证 ( ( ) ( )). 21 令(x)  f x  f x (x)  0，且(x)  f (x), f (x)dx 收敛, a (x)dx 也收敛. a   但 f (x)  2(x)  f (x), ( ) 2 ( ) ( ) ,       ba ba ba f x dx  x dx f x dx ( ) 2 ( ) ( ) .         a a a 即 f x dx  x dx f x dx 收敛

王王王 定义； 满足定理s条件的广义积分f(x)d 称为绝对收敛 绝对收敛的广义积分∫了(x)必定收敛， 工干王二干二二王王王 例5判别广义积分esinbxd(a,b都是 常数a>0)的收敛性 ：e"sinbx≤er,而ek收敛 解 ∴e“sinbxdx收敛.所以所给广义积分收敛

. 5 ( ) 称为绝对收敛 定 义 满足定理 条件的广义积分  a f x dx 绝对收敛的广义积分 必定收敛．  a f (x)dx 例5 0) . sin ( , 0 常 数 的收敛性 判别广义积分 都 是     a e bxdx a b ax 解 sin , . 0 而  收敛     e bx  e e dx ax ax ax  sin . 0 收敛    e bx dx ax 所以所给广义积分收敛