《数学分析》课程教学课件（讲稿）分部积分法（三）

§5分部积分法3

§5 分部积分法3

一、分部积分公式 设函数u(x)、v(x)在区间a,b]上具有连续 导数，则有udw=uw-心da. 定积分的分部积分公式 推导 (w)-uvruv,(uydx=[wvT [uvl=∫ddce+∫uwd, S'udv=fwv]-frdu

设函数u( x)、v( x)在区间a,b 上具有连续 导数，则有       b a b a b a udv u v vdu. 定积分的分部积分公式 推导 uv  uv  uv ,  ( )   , b a b a uv dx uv      ,       b a b a b uv a u vdx uv dx   .      b a b a b a udv uv vdu 一、分部积分公式

例1计算 arcsin xdx. 解令 u=arcsin x,dv=dx, 则du= dx 1- V=X, Farsi resin =+x- +明=6*1

例1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u  arcsin x, dv  dx, , 1 2 x dx du   v  x,  2 1 0 arcsin xdx   2 1  xarcsin x 0    2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1    (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x     12     2 1 0 2  1 x 1. 2 3 12     则

2计算1+co2x x 解，1+c0s2x=2c0s2x, 4流s-o流-uny =can刘月-2 tan xdx -gg0asoc明-12

例2 计算 解 . 1 cos 2 4 0   x xdx 1 cos2 2cos , 2   x  x     4 0 1 cos 2x xdx    4 0 2 2cos x xdx d x x tan 2 4 0     4 0 tan 2 1   x x tan xdx 2 1 4 0     4 0 lnsec 2 1 8     x . 4 ln2 8   

例3计算 +出 0(2+x2 解y=-a1+92+ =-[a+2++刘 2+a1+x0-l2+s9-2-ln3

例3 计算 解 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2   dx x x   1  0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x      1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 )           x x     1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2   dx x x      1 0 1 1 2 1 x  x   2 1 1 1   1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2     x   x ln2 ln3. 3 5  

4设fe)=Fn,求 解 因为sin‘没有初等形式的原函数， 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 fee=fxaxe) =2efwl-ee =f0-2f

例 4 设 求 解   2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 因为 t sin t没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx   10 2 ( ) ( ) 21 f x d x  10 2 ( ) 21  x f x   10 2 ( ) 21 x df x ( 1 ) 21  f    10 2 ( ) 21 x f x dx

f)-snk,f=小sni=0, F(x)-S 2sinx2 t? xs=fu-few xsinx'de -fsin.e =2eosx]-（cos1-lh

  2 1 , sin ( ) x dt t t  f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f  x     1 0 xf (x)dx (1) 2 1  f    1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx    1 0 2 2 sin 2 1 x x dx    1 0 2 2 sin 2 1 x dx   1 0 2 cos 2 1  x (cos1 1). 2 1   0, sin (1) 1 1  dt  t t f

例5证明定积分公式 I=fisin"xdx=ficos"xde n-1n-331元 n为正偶数 n n-2 422? n-1n-342 为大于1的正奇数 n-2 53 证设u=sin"x,dw=sinxdx, du=(n-1)sin"2xcosxdx,v=-cosx

例5 证明定积分公式       2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n                    n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3    为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n  dv  sin xdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n   v  cos x

I[-sin"-xcosx(-1)fsin"-2xcos'x 0 1-sinx I =(n-1)f sin"2xd-(n-1)f sin"xd =(n-1)lm-2-(n-1)ln 1="1n 积分I关于下标的递推公式 n-3 .,直到下标减到0或1为止 n-2

I  x x n x xdx n n n          2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos x 2 0 1 sin I n xdx n xdx n n n       2  2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n n (n 1)I (n 1)I   2   2 1   n  n I n n I 积分 I n 关于下标的递推公式 2 4 2 3     n  n I n n I  , 直到下标减到0或1为止

2m-12m-3531 I2m= 2m2m-2 642 (m=1,2,.) 2m2m-2642 L2m*1=2m+12m-1 753 1,=在=交=sin=1 于是n-2n-1.2m-353.1元 2m2m-26422' 2m2m-2642 L2m+1= 2m+12m-17531

, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m           , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m            (m  1,2, ) , 2 2 0 0      I dx sin 1, 2 0 1     I xdx , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2            m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1            m m m m I m 于是