《数学分析》课程教学课件（讲稿）第十一章 反常积分 §1 反常积分概念

第十一章反常积分 §1反常积分概念

第十一章 反常积分 §1 反常积分概念

王王王王王王 一、无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间[a,+o)上连续，取 b>a,如果极限im∫心f(x)d存在，则称此极 400 限为函数f(x)在无穷区间[M,+o)上的广义积 分，记作f(x)dc. ∫fx)&=imfx) 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散：

定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a, )上连续，取 b  a，如果极限    b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f ( x) 在无穷区间[a, )上的广义积 分，记作  a f (x)dx.   a f (x)dx    b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分

主主 类似地，设函数f(x)在区间(-o,b]上连续，取 a<b,如果极限lim∫f(x)dc存在，则称此极 限为函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积 分，记作∫”nf(x)dc. ∫fx)&=imf(x)k 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

类似地，设函数 f ( x) 在区间( ,b] 上连续，取 a  b，如果极限    b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f ( x) 在无穷区间( ,b] 上的广义积 分，记作 b f (x)dx.  b f (x)dx    b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

设函数f(x)在区间(-o,+o)上连续，如果 广义积分。f(x)和f(x)都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数∫(x)在无穷区间 (一oo,+o)上的广义积分，记作f(x)。 ∫f(x)dc=fx)+f)d -lim ()d+im()de 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

设函数 f ( x) 在区间( , ) 上连续,如 果 广义积分 0 f (x)dx 和  0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数f ( x) 在无穷区间 ( , )上的广义积分，记作   f (x)dx .    f (x)dx   0 f (x)dx    0 f (x)dx     0 lim ( ) a a f x dx     b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

例1计家义积分 解 上上+ =m+m心十女 -lim[arctan imarctan =元 到回

例1 计算广义积分 . 1  2    x dx 解     2 1 x dx    0 2 1 x dx     0 2 1 x dx      0 2 1 1 lim a a dx x      b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x      b b arctan x 0 lim    a a lim arctan     b b lim arctan    . 2 2              

脱计算广义积分广是n 解 sin sin) =-如)-[m cor -cs. 上页

例2 计算广义积分 解 . 1 sin 1 2 2   dx x x    2 1 sin 1 2 dx x x            2 1 1 sin x d x            b b x d x 2 1 1 lim sin b b x          2 1 lim cos           2 cos 1 lim cos  b b  1

例3正明广义积分广↓当>1时收敛， 当p≤1时发散， 证()p===n产+o, 因此当p>1时广义积分收敛，其值为 当p≤1时广义积分发散. 回

例 3 证明广义积分  1 1 dx x p 当p  1时收敛， 当 p  1时发散. 证 (1) p  1,  1 1 dx x p    1 1 dx x     1 ln x  , (2) p  1,   1 1 dx x p           1 1 1 p x p            , 1 1 1 , 1 p p p 因此当p  1时广义积分收敛，其值为 1 1 p  ； 当 p  1时广义积分发散

例4 证明广义积分edc当p>0时收敛， 当p0时收敛，当p<0时发散

例 4 证明广义积分   a p x e dx 当p  0 时收敛， 当 p  0时发散. 证    a px e dx      b a px b lim e dx b a px b p e            lim             p e p e pa pb b lim           , 0 , 0 p p p e ap 即当p  0时收敛，当p  0时发散

二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区间(a,b]上连续，而在 点的右邻域内无界.取e>0,如果极限 mfv)存在，则称此极限为函数fx 在区间(a,b1上的广义积分，记作∫心f(x)c (d-lim)de 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a,b] 上连续，而在 点 a 的 右邻 域内 无界． 取  0 ，如 果 极限    b a f x dx   lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f ( x) 在区间(a,b]上的广义积分，记作 b a f (x)dx.  b a f (x)dx     b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分

类似地，设函数f(x)在区间4，b)上连续， 而在点b的左邻域内无界.取ε>0，如果极限 m“)c存在，则称此极限为函数∫d 在区间4，b)上的广义积分， 记作∫fx)dc=lim∫°fx)dk. 40 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散：

类似地，设函数f ( x) 在区间[a,b) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取  0，如果极限      b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数f ( x) 在区间[a,b)上的广义积分， 记作 b a f (x)dx       b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散