《数学分析》课程教学课件（讲稿）不定积分的概念和基本积分公式

第八章 不定积 分 上页 下页 返回

第八章 不 定 积 分

§1不定积分的概念和基本积 分公式 ·原函数和不定积分 ·基本积分公式表 ·不定积分的线性运算法则 上页

§1 不定积分的概念和基本积 分公式 • 原函数和不定积分 • 基本积分公式表 • 不定积分的线性运算法则

一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的 导函数为f(x),即Hx∈I,都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)d,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)dx在区间I内原函数 例 (sinx)=cosx sinx是cosx的原函数 (ax=x>0) lnx是在区间(0，+o)内的原函数

例 sin x  cos x  sin x是cos x的原函数.   ( 0) 1 ln    x x x ln x是 x 1 在区间(0, )内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F( x)的 即x  I ，都有F(x)  f (x) 或dF( x)  f ( x)dx，那么函数F( x)就称为f (x) 导函数为 f ( x)， 或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念

原函数存在定理： 如果函数f(x)在区间1内连续， 那么在区间I内存在可导函数F(x), 使Vx∈I,都有F'(x)=f(x): 简言之：连续函数一定有原函数， 问题：()原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 例(sinx)=cosx (sinx+C)=cosx (C为任意常数)

原函数存在定理： 如果函数f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 sin x  cos x  sin x C  cos x   （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x) ， 使x I，都有F(x)  f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？

关于原函数的说明： (1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数， 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证 ·[F(x)-G(x)]=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0 ·.F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 到回

关于原函数的说明： （1）若 F(x)  f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x)  C都是f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) G(x)  C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x)  F(x)  G(x)     f (x)  f (x)  0  F(x) G(x)  C （ C 为任意常数）

不定积分的定义： 在区间1内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间I内的 不定积分，记为f(x). ∫e)dF()+C 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 任意常数

任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内，  f (x)dx  F(x)  C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx

例1求∫xd. 解)=心 6*C 即求十 解. (arctan x)=1 1+2 j1十e=ar+C 上页 返回

例1 求 . 5  x dx 解 , 6 5 6 x x          . 6 6 5 C x  x dx    解 例2 求 . 1 1 2   dx x   , 1 1 arctan 2 x x     arctan . 1 1  2     dx x C x

例3设曲线通过点（1,2)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解 设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 =2x, dx 即f(x)是2x的一个原函数 ∫2xd=x2+C,.f()=x2+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1

例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y  f (x), 根据题意知 2x, dx dy  即 f (x)是2x 的一个原函数. 2 , 2   xdx  x  C ( ) , 2  f x  x  C 由曲线通过点（1，2）  C  1, 所求曲线方程为 1. 2 y  x 

函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线， 显然，求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义，可知 fxd]-f,a可f=fwt ∫F'(x)=F()+C,∫dF(x)=Fx)+C. 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的

函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知  f (x)dx f (x), dx d   d[ f (x)dx]  f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx  F x  C ( ) ( ) .  dF x  F x  C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的

二、 基本积分表 实例 （rr- (4≠-1) 启示1 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式

实例    x x           1 1 . 1 1 C x x dx         启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. (  1) 二、 基本积分表