线性代数习题集 王萼芳编著 线性方程组 机维向墨室间 行列式 矩胜 矩阵的对唐化问圆 大型 性空间与线挂度物 清华大学出版社 中A满w球t1线sa4n点s间
前 言 本书是清华大学出版社出版的《线性代数》的习题解容， 书中的习题是根据《线性代数》中的习题按章节编排的。每 节的习题统一编号。为了学习其他线性代数课本的读者也能使用 此书，在每节的开始编写了内容提要，因此，本书也可以用作学习 线性代数的参考读物。 对于同一类型的计算题，书中给出了其中几个题目的各种方 法的详细计算过程，其余的只给出答案。关于证明题，大都给出了 证明，对少数较为简单的题目只给出提示。 为了加强对读者的训练，开阔思路，提高能力，本书最后还增 加了一章补充题，其中有些题目难度较大，读者可以根据自己的情 况选做。 做习题是巩固并加深课程内容及灵活处理问意的一个重要学 习环节。和其他谦程一样，线性代数解题的方法也是多种多样的， 书中的算法及证明只是提供读者参考，希望读者能认真学习教材， 掌握基本理论及算法，通过独立思考，自己作出正确容案。 希望本书能对读者有所帮助，并希望读者对本书提出宝贵意 见，以便进一步改进。 作者 .2000年5月于北京
目 录 第上章线性方程组. a.n.eo.o 1.1消元法 1.2线性方程组的矩阵 .3齐次线性方程组. .16 1.4数城. .19 复习驱1. 第2章霜维响量空间.26 2.1算维向量及其运算.26 2.2线性相关性 29 2.3向量组的秩. 37 2.4线性方程组解的结构： 40 复习题2. 47 第3章行列式. 54 3.12阶和3阶行列式.54 3.2n阶排列. .57 3.3推阶行列式的定义.59 3.4行列式的性质. 63 3.5行列式按一行（列）展开公式. 72 3.6克莱姆法则. .79 复习题3. .85
第4矩阵.96 4.1矩阵的运算.96 4.2矩阵的分块 .105 4.3矩阵的逆.111 4.4等价矩阵 .120 复习题4. .127 第5章矩阵的对角化问题.138 5.1相似矩阵.138 5.2特征值与特征向量 140 5.3矩阵可对角化的条件.145 5.4正交矩阵.150 5.5实对称矩阵的对角化 155 复习题5.160 第6章 二次型. 167 6.1 二次型及其矩阵表示. 167 6.2 用正交替换化实二次型为标准形. 172 6.3用非退化线性替换化二次型为标准形 176 6.4 规范形. .181 6.5正定二次型 .186 复习题6.192 第7章线性空间与战性变换.204 7.1线性空间的定义与简单性质.204 7.2维数、基和坐标. .207 7.3 线性子空间.212 7.4 线性变换的定义及基本性质.214 ·
7.5线性变换的矩阵.217 复习题7.226 补充 235 补充题解答 .247 ·N
第1章线性方程组 1.1消元法 内容精要 包含？个未知量，5个方程的线性方程组可表示为 a1x1十a12x2十.十a1mxw=b1, anx1+a2x2+.十ann=b2 (1) 年。华里年年年年年卡年车年零果票果华华中华华中年 aax1+arx2十.+axw=b. 其中x1,x,.,x是n个未知量.a(i=1,2,.,5j=1,2,.,n) 称为方程组的系数：(i=1,2,.,n)称为常数项.系数a的第1 个下标：表示它在第：个方程，第2个下标方表示它是x;的系数： b,的下标i表示它是第i个方程的常数项. 线性方程组(1)的一个解是由n个数c1,c2,.,c组成的有序 数组(c1,c2,.,c,),用c1,c2,.,Cn分别代替方程组(1)中的x1,x2, “,x后，方程组(1)中的每个方程都变成恒等式.方程组(1)的解 的全体称为方程组(1)的解靠合.如果两个线性方程组有相同的解 集合，就称它们是同解的. 解线性方程组的问题就是要判断一个线性方程是否有解，有 多少个解，并在有解的情况下找出解集合。 消元法就是把线性方程组进行变换，化成一个与之同解的便 于求解的方程组，从而求出原方程组的解。 。1●
定义1下述3种变换称为线性方程组的初等变换： (1)用一个非零的数乘一个方程： (2)用一个数乘一个方程后加到另一个方程上； (3)互换两个方程的位置. 初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组， 用初等变换把方程组(1)化为同解的阶梯形方程组 fcu+.+c+.+cu,+.十x=d, C2x,十.十c2,工.十.十c2xn=d2, cr,十.十cnx.=dr, (2) 0=d,+1 0=0, 0=0. 其中c午0，(=1,2，.，r)；方<j2<.<.方程组(2)中最后 些方程0=0是恒等式，可以去掉，不影响方程组的解 因为方程组(1)与方程组(2)是同解的，所以可以通过方程组 (2)来讨论方程组(1)的解. (1)如果d+1卡0，则方程组(1)无解. (2)如果d+1=0,r=n,那么，线性方程组(1)有唯一解，并可 以由线性方程组(2)求出此解. (3)如果d+1=0,r<n,那么，线性方程组有无穷多解，此时， 为了叙述方便，不妨设1=1，j2=2,.,方，=r.将线性方程组(2)改 写成 ·2·
11z1+c1x+.十c1x,=d1-C1+x,+1-.-Cwxn, C2x2十.十c2x,=d2-c+1x+1一.-c2x.， Ent,=d,-Crr+1Zr+1-.-cmzs. 可解出 (z1=k十k+1之+1十.十k1工， x2=k2十克2+1x+1十.十k2-工u, . x,=k,+k,r+1x+1+.十k工 这组表达式称为方程组(1)的一般解.x+1,“,x.称为一组自由未 知量.任给x+1,.,x。的一组值，就可唯一地定出x1,x2,.,x,的 值，从而得到线性方程组(1)的一个解. 在进行计算时可以把x1,工2，.，x,略去不写，而把系数与常 数项列成一个表来计算， 习题1.1 1.用消元法解下列线性方程组： x1一2xz十xg十x4=1, (1) x1-2x2十xg-x4=-1, (x1-2x2十x3+5x4=5: {1+x2-3x=-1, (2) 2x1+x2-2x1=1, x1十x2十x=3, x1+2x2-3x3=1s 2x1+x2十x=2, (3) x1十3缸2+xs=5, x1十x2十5x=-7, (2x1十3x2一3x1=141 3
2x1-2x2十x1x,十x=2, x1一4x2+2x3-2x4+3x5=3, (4) 4x1-10x2+3x3-5x+7x3=8, (x1十2x2-x3十x4-2xs=-1: x1十2x2-2x+x4=0, (5)2x1十4x2十2x3-x4=0, {-x1-2x2一4x1十2x4=0. 2。求a,使线性方程组 2x1-x:+x十x4=1, x1十2-x5+4红4=2， x1+7x3-4xg+11x4=a. 有解，并求解. 3.判断a与b取什么值时，钱性方程组 [x1十x2+xa+x4+x5=1, 3x1十2x2+x3十x4一3x3=a, x2+2x3+2x4+6xs=3, 5x1十4x1十3x3+3x4-x6=6. 有解？在有解的情形，求一般解。 4.证明：线性方程组 x1一x2= 工2一x3=a2, -x4=a, x4一xs=aus (xs一x1=a5 有解的充分必要条件为 a=0. f- 4
并在有解的情形，求它的一般解。 解 ® 1.(1)解：对原线性方程组进行初等变换 x1-2x2十x3十x4=1, {x1-2x2十x3-x=一1， x1-2x2+x1十5x4=5. x1-2x2十x4十x4=1, -2x=-2, 6x4=6. {x1-2x2+x3+x,=1, x4=1, 0=0. 所以，此线性方程组有无穷多解，一般解为 {x1=2xg-x3, lx4=1. 其中x,是自由未知量 (2)解：对原方程组作初等变换 (1 1-3-1) 1-3-1 e 1一2 4 3 1 3 0 0 4 4 2 -3 1 0 1-3 -1 1 4 3 4 5 0 0 1 0 o 0 5