第五章数学公式 数学是TX的灵魂。就是由于排版数学公式是那么得复杂,在通常的打字 机上根本无法进行, Donald Knuth才开发这个文本格式化系统。另一方面 IX的灵魂是文档设计。不但如此,所有TX的强大数学排版功能IIX也 都具备,而且提供了相当好的组合。我们在本章所讲的绝大部分(并不是全 部)内容都适用于TX,因此要把它们两者区分开,有时是很困难的。我们 因此经常指出命令和环境是属于IIX的,即使它也同样适用于TX 数学公式是通过输入特殊的描述性文本来生成的。这就意味着必须告诉 ITX要把下面的文本解释成一个数学公式,而且也能告诉它数学公式已结 束,返回正常的文本状态。数学文本的处理是通过切换进入数学模式(1.5.3 节)实现的。数学环境就是为了这个目标而引进的 §5.1数学环境 数学公式可以出现在一个文本行中,如(a+b)2=a2+2ab+b2,也可以 与正文分开,如 f(x)dx≈ie"f(xi) 这两种形式分别被称为正文公式和显示公式 正文公式或者方程是用如下环境生成的 beginimath}公式文本\ end-fmath 由于正文公式通常都很短,有的时候只有一个字符,因此也可以用一个更方 便的版本,即\(公式文本\)。如果还嫌它长,那可以用更短的形式$公式 文本串。所有这三种形式是等价的,虽然内部具有某些差别,如\(是脆弱 的,而$就比较牢靠 公式的内容公式文本是由数学构造组成,我们将在下面几节中介绍这些 构造。 显示公式或方程是用下面的环境生成的: begintdisplaymath}公式文本\ endidisplaymath begintequation}公式文本\ endfequation} 这两种环境的差别在于 equation环境会自动给公式加上一个顺序的公 式编号。 display math环境也可以用方便形式\[公式文本Ⅵ给出。 在默认方式下,显示公式是水平居中的,而且如果有公式编号的话,编 号会显示在右页边。通过选择文档类选项f1eqn(3.1.1节),公式就会左对 齐,而且可以具有一个能调整的缩进。这个选项在整篇文档中有效,而缩进量 可以用命令\ setlengthtmathindent}缩进量}来改变 的缩进量就
✦✧ ★ ✩✪ ✫✬ ✭✯✮✱✰✳✲✡✴✶✵✸✷✺✹✱✻✽✼✿✾❀✰❂❁❄❃❆❅✱❇✱✭✱✮❉❈✯❊✱✰✱❋✱●✱❍❆■✱❏❉❑✿▲✱▼❆◆❉✷P❖✱◗ ❘✯❙❯❚✱❱✱❲✱❳❯❨✱❩❉❑❭❬❫❪✛❴✡❵❜❛❞❝❢❡❣❴✗✖✢☞❤❥✐✯❦✱❧✱♠❯♥✱♦❱❯♣✱❊✱q❯r✱s❉✼✉tP✈✱✇❯①❉❑ ②④③✲✡✴✔✵⑤✷⑥✹⑦✻❆✰♦⑦⑧❆⑨⑦⑩✼❢❶❆❷⑦❸✱❹❺❑❼❻✱❽❾✲✡✴✶✵✸✷✺❿✱➀❯✭✱✮❯❅✱❇✱➁❺➂ ②④③✲➃✴✶✵➅➄ ➆➈➇❯➉❺❑❢➊⑦➋❯➌⑦➍✽➎➐➏❺➑➐➒✽✷➐➓❯➔❉✼✺→❯➣❯▲⑦❱✱↔❯❻❯↕❉✷➐➙❯➀✱➛❯➜ ➝✛➞⑦❶❯✰✱➟ ➛❺➠➢➡✺➤✱➆⑦➥❆➦⑦❃❾✲✴✵❺❑➨➧➐❹❆➩⑦➫✱➭❯➣✱➯❯➲❉➳➈➜❦❑❼❽❺➵P✰⑦➸✽➺➐➻❺✷✱✼❢→✱➣ ➧✺❹❆➼⑦◆✱➽❺➾P➚❯➪✱➶❯➹⑦➘✱✰❯➴✱❃ ②③✲✡✴➷✵⑤✷➈❑✟➬P➮❯➭⑦➄❉➱➈✃✱➥❯➦✱❃❾✲✡✴❐✵❺✼ ✭➈✮❉❈➈❊✱✰❯▼✱❒❯❮⑦❰✱Ï❯Ð❉✷➈Ñ✱Ò❯Ó♦❱❯Ô✱Õ❯Ö❉✷❯✼ ♠✾❯×✱Ø❯Ù✱Ú⑦Û❆Ü⑦Ý ②③✲✡✴✔✵➅➩❀➫❯Þß①à✷♦❱❯áßâ⑦Öß✈♥✭ß✮❺❈ã❊❺❑✺➊ß➋❯➄à➂ãÜ❯Ýß➭⑦✭❯✮ä❈➈❊æå❄ç è❆❑❢é❉ê❯ëP◆❺✷♦❱❆ì⑦í❉✼❢✭❆✮♦❱❺✷Pî✱ï❯✰✱▼❯❒✱ð❯ñ✱❨⑦❰❆✭⑦✮✱ò❯❊ó➝ ✛ô④✣✖ô④õ ö➠ø÷✱ù❺✷✱✼✺✭❯✮⑦➹❆➘⑦✾✱✰❯ú❉➎♠✱♥üû✸ý➊❺þP❨❺✷✱✼ ÿ✁✄✂✆☎ ✝✟✞✡✠☞☛ ✭➈✮❉❈✯❊✍✌✏✎➈➾Pù✱▲❯✈♥❯♦❱✱❩✒✑✱❑✸❸✔✓✖✕✘✗✚✙✜✛✆✢✤✣✥✕✦✢✧✗ ✄ ✕✦✙★✗✩✙✜✢ ❑ ➄✪✌✏✎ ✫❯ë♦➜❦❑✺❸ ✬✮✭✯✱✰ ✓✖✲✳✛✵✴✦✲✷✶ ✹✺✼✻✾✽✧✿ ✸ ✺❁❀❃❂❅❄ ✰ ✓✖✲ ✺ ✛ ♠➯❇❆✍❈✱❊❯➜✥❉✪❊✥❋❯ú❍●✍■✥❏✒❑æ➶❍▲✥▼✪❏◆❑ ✼ ë♦❈➈❊✥❖❯➲✱✇✪P⑦✰✱➦❯❸✱Þ❯➹✱➘❯Õ⑦Ö❉✷✪◗ ❘❚❙❱❯❚❲★❳❩❨✵❬❪❭✳❫❚❴✦❵✵❛ ❏✪❑❜■✥❝ ❘✦❯❚❨❡❞✵❬❢❭✳❫❚❴❡❵✵❛ ❁✉❃❺ë♦❈➐❊❆▼⑦◆✱➆❯➸✪❣❉❑✺❽❺✷⑦➵✩❤✍✐❯❽✱✈♥◗✍❥❺❑✯➧➈❹⑦➄✪✌✏✎✺➦⑦✈♥✪❦✇ ❧✷✯❇⑦❱❉❑✯➬ ❘✾♠ ❏❇❑❜■✥❝ ❘♦♥ ✼✸❸✪♣✥q✍r❆➭✍s❉❑❢❋✪✌✏✎✺➦❦❣❉✷t❈❆❊✔✉✷❏❇❑ ■❜❝✈✉✯✼ø❻⑦❽♠✪✇❆✪❈⑦❊❯✰✪①✍②❺✷⑦❑④③✍⑤ ➡✺➛ß➇⑦❽✥⑥✪⑦✪⑧✍❉❺❑✺❸ ❘✾♠ ✰✮⑨✍⑩ ✷➈❑⑥➊❶✉➨✾✒❷❹❸✍❺✥❻❺✼ ❈❢❊à✷✽➡➨➤❼❏◆❑❽■❇❝ ✰❂❁❢✭✱✮✥❾✥❿❯➓✱Ö❉❑✍→✱➣✥➀❆▲✱Þ⑦①❇➁ö✑❽➂✪➃♠⑦ ❾❜❿✽✼ ➄❜➅❈➈❊✥❖❯✇✥P❯✰⑦➦✱Þ❯①❉✷➈➹✱➘❯Õ⑦Ö❉✷✪◗ ❘❚❙❱❯❚❲★❳❩❨✵❬❅❞★❳❚➆❪➇✵➈❡❫❚➉❚❭✳❫❚❴❡❵✦❛ ❏✪❑✩■✍❝ ❘✦❯❚❨✦❞❱❬❚❞★❳❚➆❪➇❱➈✦❫❚➉❚❭✳❫❅❴✦❵✵❛ ❘❚❙❱❯❚❲★❳❩❨✵❬❡❯❚➊✦➋✵❫❚❴♦❳❪➌❚❨✵❛ ❏❇❑❜■✥❝ ❘✦❯❅❨✦❞✵❬✦❯❚➊❡➋✵❫❚❴★❳❪➌❅❨✵❛ ♠➯✪❆⑦➹❯➘❺✷t⑧✪❉⑦▲❯❃ ❯❚➊✦➋❱❫❚❴★❳❪➌❚❨ ➹✟➘✍➍➏➎➑➐✍➒❺❈➐❊✪➓❯❙⑦✈♥✍➔✪→✷⑦❈ ❊❜➣↕↔⑦✼ ❞★❳❚➆❪➇❱➈✦❫❚➉❚❭✳❫❅❴✦❵ ➹➈➘✱➄✪✌✏✎✺➦⑦✇❧❈✱❊ ❘➛➙❏◆❑❜■✥❝ ❘❚➜ ➒❆➾❯✼ ▲❜➝✪➞⑦✇❆❊⑦Þ❺❑ ➄✪➅❈➈❊⑦✰✪➟✥➠✪➡➢✑✱✷❯❑✺➊❯➋❯❸✥♣⑦❽❺❈➈❊✥➣➢↔❯✷❜➤❉❑➥➣ ↔➥➍➄✪➅▲✍➦✪➧✪➨à✼❢▼❯❒✍➩✪➫♦✱⑧✍➭➩✪➯❶➲ ➈✦❯❅➊✦❨ ➝ õ✖ô❞☎ô ö➠❜❑✟❈➐❊❯✾✍➍✪➳✥➵ ➸❆❑✍➊✱➋✥✌✏✎✺➇✱❽✱✈♥➂t➺❇➻❉✷❽➼✱❨❺✼ ♠✱♥➩✥➯✱▲❇➻✍➽♦❆⑧✑P❽✪➾❉❑✍➊✥➼✱❨✥➚ ✌✒✎✺➦❯➚⑦➪ ❘➪➆❅❯❚❴✵➈❡❯❚❨✦❲✦❴✦❵❱❬✦❘❢❭✳❫❚❴❡❵★❳❩❨✦❞✵❯❪❨✦❴✵❛❡❬❢➶④➹✪➘➴❛ Ô✪➷❜➬à❑ ♠✍➮✷ ➶✮➹✍➘ ✾ ✂✁☎õ
第五章数学公式 是所要定义的长度。除此之外,文档类选项1eqno会使得整篇文档中公式编 号显示在左边界。 最后提一下,可以用如下环境创建多行公式 begin{ eqnarray}公式文本\end{ eqnarray} beginteqnarray*}公式文本\ endteqnarray* 这里的标准形式会给每行公式都加上一个顺序的公式编号,而*-形式则 没有公式编号。 85.2数学公式的主要组 82TEX量与变量 出现在公式中的数字称为常量,而,A变量只由一个字母表示。S5大 多数的数学排版中是用罗马字样显示常量,用斜体显示变量。LIXs数学模 式中也是自动遵守这个规则。s源文本中为了使作者容易读而加的空格都被 忽略。S常量、变量和类似于+,-,=这样的动算符之间的距离是由I取X自 动处理的。例如$z=2a+3y和z=2a+3y$都生成z=2a+3y s键盘上存s对应字符的数学符号有: []() 它们都可以直接用s数学公式中 号{}用来表示公式的逻辑组合,因 此不能作为可直接显示的字符。为了s公式中显示大括号,就必须如通常文 本中那样用命令\和\} M(s)<M(t)<|M|=mH(8)<K(t)<|H=m串 cAfly,y(a)+g(a) sy1=c\ff Ly,y(x)]+g(x)\A 准备工作:创建一个新的EX文件,名称为math.tex,它只是由 documentclass{ artic1e},\ beginidocument}和\ endidocument}命令组 成 练习51:用你自己的练习文件生成下面的文本: The derivative of the indirect function flg(a) is flg(a)l'=f'lg(a)ls(a). For the second derivate of the product of f(a) and f(a)g"() 注意:高阶导数是用多个符号生成的:1)串的结果为y 8522指数和指标 在数学公式中经常可以见到指数和指标,即把字符相对于公式的主要文 本所在行进行提升或下降,并以小号字体显示出来。虽然它们的数学意义可 能不同,上标和下标在印刷上分别与指数和指标是完全一样的。甚至指数本 CTEXGuru, August 15, 1999
✂✁❢➱ ✃➥❐✪❒ ❮✪❰✩Ï➢Ð Ñ❜Ò↕ÓtÔ✥Õ✒Ö❽×✪Ø◆Ù❜Ú✪Û❽Ü✒Ý✥Þ❜ß✩à➢á❽â✪ã ➈✦❯❚➊❡❨✵➌ ➍✯➮❯❍✥➻✪➽♦❯⑧✑⑦❈✯❊✍➣ ↔➄❇➅▲✥➳✪➨✥ä❺✼ å❜æ➌❯✈✱Þ❺❑➥✌ç✎➨➦❯❸✱Þ⑦➹❆➘✍è✪é◆ê➈❩❉❈➐❊↕◗ ❘❚❙✵❯❅❲★❳❩❨✵❬✦❯❅➊✦❨✵❫❚ë✦ë❱❫❚➉✵❛ ❏ì❑❽■✪❝ ❘❡❯❚❨✦❞✵❬✦❯❅➊✦❨✵❫❚ë✦ë❱❫❚➉✵❛ ❘❚❙✵❯❅❲★❳❩❨✵❬✦❯❅➊✦❨✵❫❚ë✦ë❱❫❚➉îí❅❛ ❏✪❑❽■✪❝ ❘✦❯❅❨✦❞✵❬✦❯❚➊❡❨✵❫❚ë✦ë✵❫❅➉îí❅❛ ♠✩➮✷ý✥ï❈❆❊✥➍✍➒❇ð✱❩❉❈➈❊✱➆✥➓❯❙✱✈♥✪➔✥→✷✱❈➈❊✥➣◆↔❯❑ ➊✟ñ✜òó❈➈❊✥ô õ❽✽❈➐❊✥➣✒↔✱✼ ÿ✁✄✂÷ö ✝✟✞↕ø☞ùûúýü↕þ☞ÿ✁ ✂☎✄✝✆✟✞✝✆✡✠ ☛✌☞✎✍✑✏✒☞ ➾✺ù❯▲❉❈➈❊➢✑✱✷➈✭❯◗✥❋⑦ú❯◆✥➚❺❑❢➊✔✓✑✕✪➬✥➚✍✐ ❁➨✈♥◗✗✖✙✘➅✛✚✢✜✤✣✑✥ ê✌✦✛✧✒✦✑★✑✩✑✪✬✫✮✭✑✯✗✰✑✱✑✲✤✳✑✴✑✵✑✶✑✷✎✸✹✯✗✺✙✻✑✴✗✵✑✼✑✷✚✾✽❀✿❂❁❄❃✝❅❆✜✦✑★✑❇ ❈✤✫❊❉✙✭●❋■❍✑❏✎❑▼▲✤◆✙❖✑P✚✢✜✗◗✙❘✑❙✫▼❚✎❯▼❱✤❲✙❳✑❨✎❩▼❬✤❭✑❪✎✧▼❫✙❴✗❵✙❛ ❜✗❝✚❞✜✶✑✷✎❡❞✼✑✷✤❢✑❣✑❤✑✐❦❥■❧♥♠♦❧q♣r▲❊✳s✧❊❍✑t✑✉✤✈✛✇✑✧▼①✤②✑✭④③ ✽✿❁❄❃✝❅ ❋ ❍❊⑤✤⑥✛✧ ✚⑧⑦✑⑨❦⑩☎❶❸❷q❹❸❺❼❻❾❽❼❿q⑩ ❢ ❶ ❷ ❹✤❺ ❻ ❽✗❿➀⑩ ❵❊➁✑➂➄➃➅♣✤➆☎➇➈❥➊➉☎➋ ✚ ✜✒➌✑➍✤➎✑➏✤✜✑➐✤➑✲✑✉✎✧▼✦✤★✑✉✎➒✮➓✛➔ ❻➀→r❷➀➣✑↔✤↕➛➙ ➜ ➝ ➞➠➟➢➡➥➤➠➦ ➧✒➨✗❵✙➩④➫✢➭✑➯✤✯✜✦✑★s➲✒❈✛✫ ✚✢✥✑➳➒➸➵✬➺➻✯✾➼✑➽✤✵s➲▼❈✎✧▼➾✤➚✑➪✤➶✛✸✒➹ ➘✒➴✎➷▼❲✤❚✙➩✗➭✙➯✤✴✑✵✎✧▼✲✙✉✚ ❚✎❯✜➲▼❈✎✫✮✴✑✵✥✑➳➒✙✸✌➬✤➮✤➱⑨✑✃✶❘ ❙✫❊❐✙✳✑✯✤❒✑❮Ï❰❸➵✢❢➸❰❸➺ ✚ ÐsÑÓÒÕÔ×Ö✑ÐsÑ✟ØÙÔ×Ö➀ÚÐÛÚ ♣✤Ü ⑩❼ÝÞ➤àßá➦Õ➣❼ÝÞ➤Ùâ♥➦Õ➣×➞ãÝ❞➞➻❷✑äá⑩ ➋æå❀å✝♣✑çÕèæé♥ê❀➋æåìëÙ➋ ÑÓí❄Ôãî ❥✮ï ÑÓí❄Ôñð ⑩❼❿×➝ò➝ó❷❄ô ❰❸➵☎õ ➟ó❿×➝☎ö÷❿Þ➤ñø♥➦ù➡❊❻✙úÞ➤ñø♥➦ ❰❸➺ ⑩ û✒ü✑ý❲✛➔➊þ✙ÿ✁✑◆✁✂✛✧ ✽✿❁✝❃✝❅❘☎✄✸✝✆✟✞✗❚ ä❺❼â✡✠☞☛óâ✍✌❼ø ✸ ➧✁✎✑✭ ③ ❰✑✏✓✒ ô✕✔❼ä✖✌✑✗òâ❄ô✙✘❸❺ ßòß è ❺✙✚❼â✜✛☎ô✙✘✡✌ ð ✸ ❰✑✢ ✌❼ú✣✛✤✗ ➵✑✏✓✒ ô✕✔❼ä✖✌✑✗òâ ➺➻❢ ❰ ✌✑✗✏q➵✑✏✓✒ ô✥✔❼ä✖✌✑✗❸â ➺⑧❒✒❮✑➪ ➂✁✦ ✧✩★✫✪✭✬✯✮✙✰ ✯☎✱●❋✳✲❊✧✳✴✶✵❘✷✄➁✑➂✷✸✷✹✛✧❘❙➔✳✺❁✼✻✭✽✿✾✭✽❁❀❃❂✯❄✙❅✕❆❇❂✯❄✙✽❉❈✕❊✖❆❇✻✓✽☞❂●❋✭✾✓❂✯❀❃✽❁❍❁❆ ❊❏■✓❋✭❍❁❆❃❂✯❈✙❋ é♥êï ÑÓí❄Ôãî ❂●❑ è é êï ÑãíáÔ î ð å ♣✁éqåóêï ÑãíáÔ î ïòå ÑÓí❄Ô ✬▼▲❈✑❀◆❆❇✻✓✽❖❑❇✽❁❍❁❈✙❋✭✾P✾✭✽❁❀❃❂✯❄✙❅✕❆❇✽❖❈◗❊❘❆❃✻✓✽ ❙❀❇❈❚✾✭■✓❍❁❆❯❈✕❊ é ÑÓí❄Ô ❅✕❋✓✾ ï ÑãíáÔ ❈✙❋✓✽▼✻✖❅◗❑ ê❀é ÑÓí❄Ô ï ÑÓí❄Ôãî å❀å ♣ éå❀å ÑãíáÔ ï ÑãíáÔ ❥✛➆☎éå ÑãíáÔ ïòå ÑÓí❄Ô ❥ é ÑÓí❄Ô ïòå❀å ÑãíáÔ ✬●❱ ❲❨❳➔❬❩❪❭❴❫✮✦✤✭✑✯❛❵▼◆ ➝ ✉✗➒✒➁✤➂✛✧✙➔ ⑩❼❿×➝❸➝ò➝÷⑩ ✧❝❜✁❞✑❚ ➋å❀å❀å❡✦ ❢✙❣✜❤✯✐✜❤●✐ ❥☎❦✁❧✷❥✁♠ ♥✦✑★✎➲▼❈✎✫✳♦✤✶✙➩④➫q♣✷r✁s✑✦✤❢✷s✟t✎✸❨✉☎✈✙✲✑✉✁✇➐✐✛➲✒❈✛✧❪①✩②❘ ❙❨③♥✷④✁⑤✟④✩⑥✟⑦✷⑧✸❛⑨✑✸q⑩ ➫❪❶✗➒✮✲✤✻✑✴✤✵✶❷✮➼❛✦❝❸✁❹✙➧✤➨✛✧✒✦✙★❳✁❺➩ ➷✢➴❛❻✑✸ ➎t✤❢✷✸✁t♥✶❼❨❽➎✁❾✟❿✩➀s✁➁✑❢✁s✟t✑✭✁➂✷➃✁✙✳✬✧✟✦✝➄✟➅✷s✁➁❙ ➆❬➇✖➈❇➉➋➊☞➌✑➍❏➌ ❍ ❧✓➎■✭➏✙■✓❑❇❆ ✮➐✪ ❧ ✮✤➑✙➑✑➑
幼臁编号公[的]默认水 1 居还话以右页编边页选择类项左对齐调整缩篇效量边下缩进量的多改变里而 已齐 X和TX以5种简单的方式,某供了以适当字体尺寸创建任i长几和 长标组合的方法:字符命令~把紧接来的字符做为长几(某些),而字符命 令把紧接来的字符做为长标(脆) 当长几和长标5起比现时,它们的顺序是无关紧价的。上>最后那个例子也 可以用x_)+来生成 姻长几差长标的内容不以5个字符,那么就必须用大括号{}把这组 符号包围起来 rn x2+ [2y J A ),j,k}[-+2} 也可以)长几和长标中h次然行某些差脆操作 gi:某些和脆命令和_以能用)几学模式中, 8知候分更 比较小的构几,尤其是正文公式中的构几最好用斜杠字符/表示,如 艹+m)/2$表示(n+m)/2。对于较复杂的构几,命令 frac{分子}分母} 可以用来把分子放分母上∑:而且中间有适当长度的水平线 r+y a-b\[\rac{a2-22}{a+2}=a-2\] 构几也可以嵌套示任何层次 \D frac(\fraca]x-y)+ \fracx+y) 1+\rac{a-2}{a+2}}\ IAEX把构几中的构几有较小的字样显示比来。)552节中介绍了当 凵TX的选择不很好时,如何修改这种自动字样尺寸 8矩候方根 方根是用如命令显示的 sqrt[开方数参数} 例如:$sqrt[3]8}=2串生成 2。如d不写可省参几开方数,就会 生成平方根:$\sqrt{a}$得嫌 方根符号的尺寸和长度是自动将参数大小匹配的 sqrt{x2+y2+2xy}=x+y串y2+y2+2xy=x+y,差者 //2平386878/种g文文 Emal种g文刘263称种
➒❁➓✡➔ →❴➣✁↔✳↕❛➙✷➛✁➜✟➝✳➞✁➟ ✮➐➠✑✪ ➡❨➢❛➤✶➥q➦✟➧➣✟➨➧✁➩❛➫❝➭➲➯✁➳❪➵❴➸❨➺❨➻➲➼✳➽✁➾✁➚➨➲➪✩➶❪➹✁➘✶➛✁➴❪➷✷➬✁➮❛➱ ✃ ➸ ✽❀✿❂❁❃❅❢ ❁❃❅ ➫❐✷❒✷❮✷❰✎✧✳Ï✑❈✛✸ ⑥✷Ð❯✛➫ÒÑ✶Ó▼✲✗✻✟Ô✷Õ✗þ✑ÿ✷Ö❳s✷➁✑❢ s☎t✤➪✑➶✛✧❨Ï✷×s➔♦✲✑✉✑❒✤❮ÙØ❐✈☎Ú✤➯✷✸✤➼✛✧▼✲✤✉✷Û✑❚✁s✷➁ÝÜ⑥✁⑦ßÞ ✸ ❭✑✲✤✉✑❒ ❮áàâ✈❬Ú✑➯✟✸✗➼s✧▼✲✤✉✁Û✑❚✟s✩t Ü✙✸✶⑨ Þ ✦ í✖ã ø Ø ❹ ➇✑ä ❺à ✗ í äå ø Ø ✗ à ✛ Óqs✁➁✑❢✁s✟t✩✟æ✶❷❨ç❛è✑✸✢➧✤➨s✧☎é✟ê✤✭✷ë✁ì✷Ú✟②❛í✷✦ ➎✹✁î✷ï✤❐✙◆⑦✁ð❉ ➩✎➫✌✯ ø à ✛ Ø ✗ ➼❊➁✤➂➲✦ ⑨❞✷s✁➁⑧s✷t❛í✶ñ➢❨✗➴✟✎✷✤◆✑✲✤✉✛✸✌❐✷ò✤➬✑➮✤➱✑✯✟ó➳➒ ➵s➺❐✈✒▲✑➪ ✉✤➒☎ô➲õ✳æ✤➼✛➔ í✖ã ä ø Øæ➵ ❹✑✗ ➺ í ã❇ö ø à❸➵ ❹❼❿ ➺ ÷❐ø ä✭ù ã å ú û❁ú ü ý àò➵ ✛✝öÿþÞö✁ ➺ Øæ➵ →✙✗❆➜ó❹ ➺ ❉✒➩④➫♥s✁➁✑❢✁s✟t✛✫✁❵✄✂⑤✷④✁⑥✟⑦✷⑧✸✶⑨✆☎✑❲✎➔ í✓ö✞✝ ø Ø ➵ ❿ Ø ❹ ➺ í✓ö✞✟ ø Øæ➵ ❿ à✡✠Õ➺ ÷☞☛ ✝✌ û ✝✁✍ ✍✏✎✒✑ ý Øæ➵ ø à ✛ Ø ❹ ➺✡à❸➵ þ Ø ➵ ❹✑✗➺✡à❸➵ ✗ öãä➺❸➺ ❲❨❳➔ ⑥✁⑦❢✟✸❴⑨✮❒✤❮áØ■❢ à❯✎✗➷✒✯♥➁✙★✗❇✙❈✛✫✁✦ ❢✙❣✜❤✯✐✜❤✔✓ ✕☎❦ ✖✘✗❶ í❾➁✸✚✙✜✛✙✭✣✢❘ ➲✒❈ ✫ í❾➁î✜✤✤✯✔✺✜✥✔✲✤✉ ↕ ➽✑✵✎✸ ⑨ ⑩ ➤ÿ✗ò❻❼ä ➦Õ↕❸❹ò⑩ ➽✒✵ Ñ✧✦ ❥✒ÜÔ✩★ ➆❝✦ ➐✐✗✫✪✭✬í❾➁✎✸✢❒✗❮ ❰❼õ ✚q❺ ô ➵✯✮✱✰Ï➺❸➵✲✮✱✳Ï➺ ➩✎➫✌✯✙➼✷✈✴✮✫✰✴✵♥ ✮✫✳ ➎✹✎✸✢❭✷✶✎✫✙✇❊➓✟✷Ñ❛Ó✄✸✫✹✶í✆✺✭✻✷✼❛✦ ✮ í ❥ ➋ ✽ ➟ ✽ õ ✚q❺ ô è✾✠ ð è øò❻❸❿ ð ✽ ➡ ➇ ã ♠✆✿ ã ➇ ❥❀✿ ♣✙➇ ♠✄✿ ✽ ➟ ✽ õ ✚q❺ ô è ❺ Ø ❹✒→ ✢✣Ø ❹ ð è ❺❼❻✢ ð ❷✤❺ò→ ✢ ✽ ➡ ❾➁✗❉✙➩④➫❂❁✷❃✁➅✷Ö✫❄✭❅✷✂✎➔ ❆ ☛ ø ö ❥ ❇ ☛❉❈ ö ✮ ❥ ❆ ø ❇ ❆ ❈ ❇ ✽ ➟ ✽ õ ✚q❺ ô è ✽ õ ✚q❺ ô è ❺ ð è øq→❼❿ ð ❻ ✽ õ ✚q❺ ô è➐✢ ð è øò❻❸❿ ð☎ð è✾✠ ❻ ✽ õ ✚❾❺ ô è ❺❸→ ✢ ð è ❺☎❻✢ ð☎ð ✽ ➡ ✽✿❁❃❅✈❾➁✫✁í❾➁✔➓✗❶ í✲✤✳✔✴✔✵❷➼✦ ♥ ✪✓✬ ✪✭✬ ➆✄❊✫●❋✭❍ ❯ Ó ✽❀✿ù❁á❃❸❅í✚■✭❏✗➴✭❑✷✤❛è✑✸ ⑨❄✫▲◆▼✒▲✷❒ ❋➻❍✙✲✤✳✷Ô✁Õ✶✦ ❢✙❣✜❤✯✐✜❤P❖ ◗✱❘ Ï✆❙✑✭✤✯⑨✸✑❒✤❮✙✴✑✵❛í✑➔ ❰ ß❯❚✡✚❸â×➟✧❱❳❲✫❨➡ ➵❂❩❨ ➺ ⑦❊⑨ ➔ ⑩ ❰ ß❯❚✡✚❸â×➟÷❽☎➡ ➵❭❬❸➺ ❷✔❹❸⑩ ➁❊➂ ❫❪ ❴ ♣✙➆❖✦ ⑨❞✤➴✷❵✙➩❜❛✭❝✷➁ ❱✫❲✷❨ ✸ ➬✷❞ ➁✒➂❜✻✟Ï✷❙✎➔ ⑩ ❰ ß❉❚✡✚❸â ➵ ❺➺ ⑩❢❡r ❫➇q✦ Ï✆❙✑✉✎➒✷í❨Ô✷Õ✤❢✭✸✷✹✤✭●❋■❍➀ ❩❨ ó✶❶✭❣✆❤✶í✤➔ ⑩ ❰ ß❯❚✡✚❸â ➵ ø Ø ❹✾❻✑❿ Ø ❹➠❻✔❹☎ø❸❿ ➺ ❷✤ø❸❻ò❿q⑩ ✐í ã ❥➠➋ã ❥✒➆ í ➋➻♣ í ❥✾➋✢✸ ⑧❳ ✻✡❆❃❆ ❙ ✰✒❥❦❥ ➆ ➠ ➆ ✬ ➉ ❴ ✬✒❧ ❴ ✬ ♠ ❴ ❥❆❃✽♦♥❚➏✑■✓❀❃■ ❃q♣❅◗❂sr ✰ ❆❃✽✏♥✡➏✙■✭❀❃■✉t➆ ❧ ➉ ✬ ❋✓✽❁❆
106 第五章数学公式 +u2n \[\sqrt In]f\fracixn-yn][1 +u"2n5] I 方根也可以嵌套至任何层次 9+92+p3 \r \sgrt [3lt-g+ \sgrtig2+p.3))\ 8525求和与积分 求和与积分符号是用命令\sum与\int生成的,根据其所在的是正文公 式还是显示公式,它们可以有两个不同的大小 求和与积分通常都有上下限。这可以用指数和指标命令和-来得到 上下限的位置也要看其所在的是正文公式还是显示公式而定 在一个正文公式中串\sumi=1}n和串\ int ab$的结果是∑=1和 广,而在显示公式中它们的形状如下面左边所示 而有些作者喜欢把积分的上下限也放在积分号 的上方和下方,就如同求和符号中那样。这可以 在积分符号后面紧接Ⅵ imits命令来得到 \int\limits_[x=0-x=1 在求和与积分符号前后的其它公式文本会与它们适当对齐的。 \[2\sum_[i=1} \int"b 2∑“/f(aia)d f-i(x)g_i(x)\,dx \I 在类似于∫ydx和∫f()d这样的积分中,微分运算符dx和d应与 前面的被积函数之间有很小的空档。只是输入一个空格,并不能实现这个目 标,因为在数学模式中空格都被忽略:$\ int y dx$的结果为∫vydr。我们 可以用在3.5.1节中提到的小间距命令\,来做到这一点。因此串inty\,dx$ 和$intf(z)\,dz会得到所希望的结果∫vdx和∫f(2)dx。在5.5.1节中 给出了更多的可用于数学公式中的间距命令 526连续点一省略号 公式中有时会包含一串点.,表示等等。若只是简单地在一行中输入 三个句号会得到不是想要的结果:…,即点靠得太近了。因此IX提供了 几条命令 dot 偏下的点\ cdots 中间点 竖直点 对角点 以生成正确间距的点。最好地说明前两条命令差别的例子是:a0,a1,,a an,它们分别是用$a_0,a_1,1dots,a_n$和$a0+ a_1+\ cdots+an$生成的。 \dots命令也可以用在普通的文本模式中,而其余三条命令则只能用在 学模式中。在文本模式中,\dots命令可以代替\dots,它们的作用 Guru, August 15. 1999
✮➐➠✈❧ ✇❂①✫② ➣✁↔☎↕➲➙ ✍③④⑥⑤⑧⑦✄⑨❉⑤ ⑩❷❶✆❸❺❹ ⑤ ❻❽❼✚❻⑥❾❯❿❭➀❭➁➂❼✁➃➅➄➇➆❭❻✈➈❭➀✾➉⑥➊❦➆✈➋✉➌✞➃●➍➏➎✡➌✞➃➇➐❭➆➒➑➔➓✷→➒➌❉➆➅➣✈➃➇➐❭➐❭➐✷❻✈➄ ↔✆↕❜➙✭➛➝➜❂➞✷➟✫➠✷➡✫➢✭➤✷➥➧➦ ➨➩ ⑦➭➫ ❶❜➯➫ ❹❷❶✚➲⑥➳ ❻❽❼➵❻⑥❾❉❿❭➀➅➁➂❼➺➸✈➄➇➆➅➍✈❿❀➓✭❻⑥❾❉❿❭➀➅➁➇➆✈❿➒➌❉➣✆➓✫➻➒➌❉➸➅➐❭➐✷❻✈➄ ➼❦➽➒➾s➚➒➾✔➽ ➪✱➶➧➹✄➘✫➴ ➷✆➬✷➮❜➱✭✃✷❐➧❒✄❮✫❰✷Ï✫Ð ❻⑥❾❉→✈Ñ ➮ ❻❺Ò✞➃❭➁ÔÓÖÕ◆×✫Ø ↕✷Ù✫Ú✷Û✭Ü×❮◆Ý✆Þ◆ß à✆á❮✭â✷ã➧ßà Ø❂ä✫å➛æ➜èç✭é❜ê✭ë➧ì ×✆í◆î✭ï ➷✆➬✷➮✫➱✷✃✷ð✫ñ✷ò✫ç✷ó✫ô◆õï÷ö➛➝➜❂❰✷ø✷ù✫➬✷ø✫ú✷Ï✫Ð ➌ ➬ ➍èû✱ü✫ý◆ï ó✆ôþõ×✄ÿ✁➙✁✂☎✄✫Ú✭Û✷Ü×❮➧Ý✄Þ➧ßà✷á❮✷â✫ã◆ßà☎✆✞✝ï Ü✠✟✭ê➧Ý●Þßà☛✡✌☞ ❻➇❾❉→✈Ñ✎✍❭➆✉Ò✑✏ ➑✞➐❺➌ ➃ ☞ ➬ ☞ ❻❺Ò✞➃❭➁✒✍❭➉❺➌✑✓ ☞ ×✕✔✗✖❮ ✘⑤✙✛✚✢✜ ➬ ✣✥✤✦ Ø ✆Ü✷â✫ãßà✧✡ä✫å◆×✩★☎✪✁✫ô☎✬✁✭☎✮✫Û✷ã➧➦ ⑤✯ ✙✛✚✢✜✱✰ ✤ ✦ ✆ç✧✲✴✳✧✵✴✶✴✷✧✸➱✃ × óô õ❜➙☛✹þÜ✣➱þ✃ ❒ ×ó◆↔➬✜ô◆↔Ø✕✺✻✫ ì●➷➬◆❐✣❒ ✡✽✼✗✾ ï❂ö➛ ➜ Ü◆➱✃❐ ❒❀✿✴✬❂❁✴❃ ❻❅❄✉Ò♦Ñ Ò✞➁❺❾ ÏÐ ûü ý ➦ ❻❺Ò✞➃❭➁✾❻❅❄❺Ò♦Ñ Ò ➁❺❾❆✍❭➆✈➋❇✏❉❈❭➐❺➌ ➆✈➋❅✏ ➑ ➐ ❊ ✚✢✜ ✰ ❊ ✚●❋ Ü✆➷✷➬✫➮✷➱✫✃✷❐➧❒■❍☎✿ ×Ú äßàÞ☎❏✁❑✷➮ä✷å✁▲◆▼■❖✁P◆×✫ï ◗ ⑤✯ ✙✛✚✢✜❙❘ ✙ ✰ ✤ ✦✠❚ ✙❱❯ ④❳❲❩❨✙❱❯ ④❳❲❉❬❭④ ❻❽❼❂➣❭❻⑥❾❉→❦Ñ✎✍❭➆❺Ò✑✏ ➑✞➐❺➌✞➃●➉❅✍❺Ò✆❻❺Ò✞➃➅➁➒➌✑✓❉✍❭➉ ➈❉✍❺Ò❳❭ ➋❙❪❴❫❉✍❺Ò✎❭ ➋❙❪✞❻✥❵❜❛✈➋●❻✈➄ Ü✩❝✁❞✞❡❢✣ ⑨❣❬❭④ ➬❤✣ ❚ ❯❩✐ ❲❉❬❭④ ö✾ ×➱✷✃✡ Ø✕❥✃✁❦☎❧✭❐ ❬❭④ ➬ ❬✐♥♠➮ ❍✩✬×✱♦➱✧♣✱ù✞qsr✄ç✁tî✭×✩✉☎✈➧ï✕✇❮☎①✁②☎✟✭ê✉☎③➧Ø✕④ë◆⑤✩⑥✞⑦öê⑨⑧ ú Ø❶⑩❶❷Ü✷ù✁❸☎❹à◆✡✉☎③ò ♦✞❺◆❻➦ ☞ ❻❺Ò✞➃❭➁✷➎☎❛❭➋ ☞ ×✕✔✁✖☎❷ ✣ ⑨❆❬❭④ ï❽❼✷å ➛þ➜❂❰✷Ü❿❾❉➀➂➁➃➀ ⑩➅➄✡✩➆ý◆×❜î r✱➇❜Ï✭Ð ❻✥❵➭û❶➈✫ý✷ö✟s➉ ï❽⑩❶➊ ☞ ❻❺Ò✞➃➅➁✜➎➇❻✥❵➋❛❭➋ ☞ ➬ ☞ ❻✉Ò✞➃❭➁✜➈✥❭❱➌➍❪✞❻✥❵➋❛❅➌ ☞ ❑ ü✫ýÛ✞➎➐➏×✱✔✁✖ ✣ ⑨❣❬❭④ ➬➑✣ ❚ ❯➒✐ ❲❉❬❭④ ï Ü➓➁➃➀➂➁❉➀ ⑩➔➄✡ →✁➣➐↔■↕◆➙ ×➛✫❰☎❡✫ù✞❸◆ßà◆✡ × r✩➇✭Ï✷Ðï ➼❦➽➒➾s➚➒➾➜➛ ➝❶➞✁➟➡➠ ➢✁➤✩➥ ßà◆✡ç◆➦✩❑☎➧✁➨☎✟✧➩➐➉➭➫➯➫✑➫ Ø❽➲ã➵➳☎➳ ï➺➸☎✇❮☎➻✁➼☎➽✭Ü➐✟✞➾✡①☎② ➚ê➐➪❒✱❑ü✷ýë✷❮✁➶☎✂×❶✔✞✖➦➹➫➘➫➜➫ Ø➷➴ ➉❶➬ü☎➮✁➱↔ ï❶⑩✱➊➓✃➂❐❴❒✎❮●❰➆✩Ï◆↔ Ð✩ÑÏ✭Ð◆➦ ❻❅❄Ò❛✒Ó✈➁❺❾ ➫✑➫➯➫ÕÔ✱ô× ➉ ❻➇➊Ö❛❉Ó✈➁❺❾ ×✑×➯× ✡r☎➉ ❻ÒØ❅❛✒Ó✈➁❺❾ ➀ ➀ ➀ Ù❶Ú✧➉ ❻❆❛❅❛❉Ó✈➁❺❾ ➀ ➀ ➀ ❖ÜÛ ➉ ➜Ó✫ÕÝ✱Ý✧r✩➇× ➉ ïßÞ✞à➽✞ásâ■❍❜éÑÏ✭Ð➐ã✞ä ×■å➐æ❮➧➦ ❘ ❋Öç ❘ ✜➯ç ➫➯➫✑➫ ç ❘ ⑤ ➬ ❘ ❋ ❶ ❘ ✜ ❶ ×➯×✑× ❶ ❘ ⑤ Ø÷ä✭å✃✞ä✫❮✫❰ ☞ ➉❇✍❅❈✥❵✚➉❅✍➒➑❳❵✚❻❅❄❆❛❉Ó✈➁❺❾❙❵➵➉❅✍✈➃ ☞ ➬ ☞ ➉ ❈❀➓ ➉ ➑✱➓ ❻⑥➊Ö❛❉Ó❦➁❺❾✆➓✜➉ ➃ ☞ Ó✱Õ➧×✷ï ❻❅❄❆❛❉Ó✈➁❺❾ Ï✆Ð❜➙✷➛ ➜➵❰✷Ü✞è❜ð×Þ✁❏☎❹às✡ Ø ✆Ú☎é➚ÑÏ✷Ð✁ê✇ ⑤✆❰✷Ü ù✩❸✁❹à✧✡ ï Ü✫Þ✞❏✁❹à✧✡ Ø ❻Ò❛✒Ó✈➁❺❾ Ï✆Ð✫➛ ➜✕ë✁ì ❻❇❄Ò❛❉Ó✈➁❺❾èØ ä✫å×✳✫❰✞✟ îÜï✎ð➋ñ❣òôóÒõ➒ó❅ö❉÷ùø➃ú❆ø❉û➋ü í ⑩ ➁ ö ⑩✑ý❆ýÒý
§5.3数学符号 107 样 练习52:生成下面的结果: The reduced cubic equation y+3py+2q=0 has one real and two complex solution when D=92+p3>0. These are given by Cardan's formula as y1=u+,y2 ere +√q2+p3 注意:在显示公式中不同部分之间的空档是用空档命令quad和\ qquad 得到的 练习53:选择文档类选项1eqn,并把定义\ setlengthtmathindent}Lcm 放在导言中。重新排版上面的三个y公式,每个都利用 equation环境单独 做为一个显示公式,而不是用这里的 displaymath或\[.J括号 练习54:生成下列的文本 Each of the measurements 1 <a2 <...<ar occurs P1, P2, .. Pr times The mean value and standard deviation are then 章 练习55:虽下面这个公式看起来常1+,但得到它不会有任何a难: (az+3 同样生成公式1(dv)=号(2+12)=152 a 在数学文本中有当多的符号,其中只有很一部分可以直接从盘上 输入得到。IIX提供了通常用的几所有可以想方得到的数学符号。可以 用符号根可前以命令字符丶来得到。而它们的根可就是来拉于其数学含义 85.至任何层次 小写 t七七 http202.3.6.7 Email: texguruv263net
þ ÿ ✁ ✂☎✄✝✆✟✞✡✠ ⑩☞☛✍✌ ✎✝✏ ✑✝✒ ➁➃➀ ◗✔✓ Ó✱Õô➐✬×✱✔✁✖➦ ❒✖✕✔✗✖✘✙✗✛✚ø í ✗✜✚ íø✔✢✔✣ í ✗✜✤ø✦✥ü✙✣★✧✪✩ ⑨➳ ❶ ❾➲⑨ ❶➺◗ ➫✬✫ ☛ ✕ ✥Öû✭✧✍✩✗✮✘✯✗ ✥✱✰✲✥✱✩✚ ü✴✳✵✧ í✧✍✶✸✷✔✰ ✗✜✹ û✙✧✍✰➘ø❉ü✙✣★✧✪✩✺✳✕✔✗✩✼✻ ✫✭➫ ❹ ❶❳➲➳✾✽ ☛ ➀ ❒✖✕✿✗û✗ ✥ ✘✙✗ ú✍✣★❀✗✩✺✢❂❁❄❃✖✥✘✯✚✥✱✩❆❅ û❈❇❉✧✘✶ø✔✰❊✥❋✥Öû ⑨✜ ✫ ❸ ❶❍● ç ⑨ ❹ ✫✜⑦ ❸ ❶■● ◗ ❶ ❑❏ ◗❆▲❾ ❯ ❸ ⑦ ● ❲ ç ⑨ ➳ ✫✜⑦ ❸ ❶■● ◗ ⑦ ❏ ◗✲▲❾ ❯ ❸ ⑦ ● ❲ ✳ ✕✔✗✜✘✯✗ ❸ ✫ ➨➩ ⑦☞➫ ❶ ➯➫ ❹q❶➔➲➇➳ ç ● ✫ ➨➩ ⑦➭➫➭⑦ ➯➫ ❹❷❶➔➲⑥➳ ▼❖◆➦ Ü✷â✷ã◆ßàs✡ë◆ì◗P✷✃☎qsr ×✱✉➐✈❮✷❰✉☎✈Ï❜Ð ❻✈❿➅→➇➉Ò❛ ➬ ❻✈❿❭❿❭→✾➉Ò❛ ü✆ýþ×✭ï ✑❘✒ ➁➃➀ ❾ ✓❚❙❖❯Þ ✈❝❙❲❱ ➈❉❄❨❳❦❿❭➃❳Ø✒④✸✝❘❩ ❻➇❾✪❳✈➁❉❄❨❳❦➃❅❫❭➁❨❬➇➆➅❻Ñ✉➉✈➁❨❬✡Ò✞➃❅❛✔❳✈➃➅➁➇➐❭➆❭➣⑥➊Ñ✉➐ ✹✆Ü✡❭◗❪✡ ï❴❫✝❵❜❛✝❝ó✞✬×➚ê ⑨ ßà Ø❴❞ê✭ò✝❡✫❰ ❳❦❿❭→➇➉✈➁➒Ò Ó✈➃❣❢◗❤➼❜✐ ➈✩❷✟✭ê✷â✫ã◆ßà Ø ✆ë✫❮✷❰ö❘❥×Õ❛➒Ò✈❾❉➻✒❄❭➉✈➎✈Ñ✉➉❦➁❨❬❧❦ ❻❷❼❨♠❨♠❨♠➺❻❦➄✺♥❒ ï ✑✝✒ ➁➃➀ ♦ ✓ Ó✱Õô❘♣×Þ✁❏◆➦ ❮✥ í✕ ✧q❇❣ü✕✿✗ ✶ ✗ ✥û❜ø✘✯✗✶ ✗✩❇ü➋û ④ ✜✾r ④ ❹ r ×✑×✑× r ④✿s ✧ ííø ✘ û ➲ ✜ ç ➲ ❹ ç ➫✑➫✑➫ ç ➲s ü✙✣★✶✗ û ➀ ❒✖✕✔✗ ✶ ✗ ✥✱✩✸❀✪✥q✰➘ø✗ ✥q✩✚ û❜üt✥q✩✚ ✥ ✘✙✚❄✚✔✗❀❨✣❊✥Öü✯✣✉✧✍✩✈✥✘✙✗ ü ✕✔✗✩ ④✇✫ ⑩① s ✯ ✙✛✚✢✜ ➲ ✙ ④ ✙ ç ② ✫ ③④ ⑤④ ⑩① s ✯ ✙✛✚✢✜ ➲ ✙❜❯ ④ ✙ ⑦ ④❳❲ ❹ ✳ ✕✔✗✜✘✯✗ ① ✫ ➲ ✜ ❶❳➲❹ ❶ ×✑×✑× ❶➔➲s ➀ ✑✝✒ ➁➃➀➂➁ ✓❈⑥❖⑦ô➐✬öê➧ßà✄❜⑧û❜⑨ñ✝⑩❲❶Ø❴❷✫ü✷ý✫äë✞❑❜ç✭➡✫➢❹❸◗❺◆➦ ✰ ➯❯ ❘ ④ ❶◗❻ ❲ ➳ ④ ❬❭④✇✫ ◗➯❯ ❘ ④ ❶◗❻ ❲ ➳ ❾ ❶✠◗✪❻▲❘ ④ ❶◗❻q❶❍❻ ❹ ✰ ❬❭④ ④▲❘ ④ ❶◗❻ ì✾Ó✭Õßà ✣✵❼❽ ✜ ❯ ❬❭④❿❾ ➨▲ ④❳❲➀✫ ➳ ❹ ❯➂➁ ❹➄➃✩➳ ❶✫⑩ ❹t➃✩➳ ❲✭✫ ⑩ ➁ ❾ ◗ ï ➅➇➆✮➈❉➉ ➊➌➋➎➍❑➏ Ü✆ù☎❸✫Þ☎❏✡ç✝➐ ▼ ➙ ×❐➧❒ Ø Ú✡✇ç☎t✝➑☎✟❜P✫✃✷➛æ➜Ú✁❃❲➒❜➓❘➔✭ó ①❶②ü✫ý◆ïÜ✃❐❒✎❮✢❰➆❶Ï◆↔ð✷ñ❜→❜❰ ×Ð❲➣Û✷ç✷➛➝➜➶❜↔ü❜ý◆×ù✁❸✷❐◆❒ ï ➛➝➜ ❰✆❐þ❒➙↕❲➛✁❍❲➜✫Ï✷Ð✝➝✷❐ ❻èû✆ü❜ýï ✆ ä✫å◆×↕❲➛✺❮ û➟➞❡✫Ú✷ù✁❸☎➨❩ ï ➼❦➽➒➾★➠➒➾❊➡ ➢❖➤✝➥❲➦ î❴➧➝❜➨ ✕ ü❜ü✯✷ ✓➫➩✪➩❆◗✍☛❆◗ ➀ ❾ ➁ ➀➫➭ ➁ ➀ ✌ ➁ ➩ü ✗✛✹úÒø✘ø ❮✶✈✥q✣★✰ ✓ ü ✗✜✹ú❆ø✘ø✦➯◗ ➭Ò❾❉➀ ✩ ✗ ü
第五章数学公式 oo n varthe 入\1 ambda \varrho x \chi zeta s \varsigma w \omega 大写字母 A Lamb ADe1ta三\xi T \Upsilon $2 \Omega e \Theta II \Pi Φ\Phi 要得到希腊字母,只需要在字母名称前面加上命令字符\就可以了。大 写字母的区别在于名称的第一个字母是大写的。没有列在上面清单的希腊字 母一定是与某一个拉丁字母一样。例如,大写的p与拉丁字母的P一样,因 此就没有特殊符号 在数学公式中的大写希腊字母通常用的是罗马(直立)字样。如果需要 斜体字样,可以用数学字体样式命令\ mathnorma 得到 串 mathnor ma1 Gamma\ Pi\Phi}串生成T更 (这条命令取代了用在Fx209中的数学字样声明n2,原来的用法 是mit\ Gamma、Pi\Phi。) 希腊字母只能用在数学模式中。如果要用在普通文本中,那么必须把命 令用$.$括起来 853.2花体字母 在数学公式中也可以用26个花体字母 A, B,C, D,E, F, g, H, L,J,k, L,M,N,O,p,2,R,s, T,u,v,w,t,y, z 调用方法是用数学字体样式命令\ lathcal□2 smathcaltA, B, c, Z}$ (也可以用等价的声明\ca20)。 85.3.3二元运算符 数学中通常把两个量用一个符号组合起来,生成一个新的量,这个符号 称为二元运算符。可以用做二元运算的符号有: CTEXGuru, August 15, 1999
⑩☞☛ ➁ ➲❴➳✝➵ ✄✝✆❖➸➻➺ ➼ ❻❭➉❅❄✈➻❨❬✾➉ ➽ ❻✈➁❨❬✔❳✈➁✾➉ ➾ Ó ➚ ❻✈➁➇➉✈→ ➪ ❻Ò✓✔❳✈➁➇➉ ➶ ❻ÒØ➇➉✈➀❭➁❂❬✔❳✈➁➇➉ ➹ ❻✈➻✡Ò ➘ ❻✈→❭➻❺❾➇Ò ❄❅Ó✈➃ ➴ ❻Ò❫➇➉Ñ❭Ñ⑥➉ ➷ ❻❺ÒÖÓ✈➁➇➉ ➬ ❻ÒØ✾➉✈➀❭➻➒Ò ➮ ❻✈➻❨❬➒Ò ➱ ❻Ò❛✔❳❅❄✈➁✾➉ ✃ ❻q❐✉➉✈➻❭➻✾➉ ❒ ❻✈➀❂❬❉Ó ❮ ❻ÒØ➇➉✈➀❭➻❂❬➒Ò ❰ ❻❨❳✈➻❺❾➇Ò ❄❅Ó✈➃ Ï ❻❅❄❭➉Ñ❉✓❇❛➇➉ Ð ❻ÒØ✾➉✈➀❭➀❨❬❉Ó Ñ ❻⑥➊✱❬➒Ò Ò ❻ÒØ➇➉✈➀✔❳❦➻❺❾➇ÒÖ❄❅Ó❦➃ Ó ❻Ñ➇→ Ô ❻⑥❾✾Ò✑❫✈Ñ✉➉ Õ ❻✈➻❺❾➇Ò Ö ❻Ò➌✔❳✈➁➇➉ × ❻✈➃❭→ Ø ❻ÒØ✾➉✈➀❺❾➇Ò✑❫❦Ñ✉➉ Ù ❻❅ÓÑ✦❳Ò❫✾➉ Ú Û ❳✍Ü✔Ý Þ Û✍ß Ò í◗➧➝❜➨ à Û✪á ÝÑ❭Ñ✦Ý â Û✍ã ÝÑ❉✓❇❛✔Ý ä Û❨å Ò➯❫✈Ñ✦Ý æ Û✍ç✦è Ò é Û✱ê ❳❅❄✍Ü✔Ý ë Û✍ì Ò í Ûqî➻ è ÒÖ❄❅Ó✍ï ð Û❨ñÑ✦❳Ò❫✔Ý ò Û✪ó❬✔❳✍Ü✔Ý ô Û✍ç Ò õ Û✍ç ❬✡Ò ✂ ü✷ý➎❲ö✝➝❲➨Ø✕✇❲÷✂❲ø✝➝❲➨❜↕❘➛✞❍✁✬❲ù✝ú❲û❜ü❘➝❜ý Û✺þ■ÿ✁✄✂✆☎✞✝ ✟✄✠☛✡✌☞✆✍✄✎ø✑✏✆✒✑✓☞✕✔✑✖✆✗✑✠✆✡✑✘✝✟✙☞ ☎✛✚✢✜✆✣ø❲ú✑✤✆✥✑✦☞★✧☛✩✢✠ ✡✪✖✑✫✆✘✢✬☛✭✢✖✆✗✑✮✆✯✑✠✆✡✑✖✆✰☎✲✱✑✳✵✴✶✝✟✙☞✸✷✹✬✪✮✑✯✑✠✆✡✵☞✻✺☛✖✪✰✴✽✼ ✾þ☛✚✢✜✆✿✑❀ý✙❁ ☎ ø✄❂✑❃✌❄✪❅✌❆ ☞✝✟✢✧✑✩✆✠✑✡✢❇✑❈✆❉✙☞★✘✑❊✆❋ ●■❍✑❏▲❑▼✠✑✰☎✛✳✢◆✑❖✆P ◗✄❘✠✢✰✴✼ÿ▲❉❂✑❃✠❘✰❅❘û❜ü❚❙❱❯❳❲❩❨❭❬❫❪❵❴❩❛❩❯❜❲❫❝ ❞❢❡ ❣✐❤✆❥✙❦ ❧ ❙♠❯❳❲❩❨❫❬❫❪♥❴❩❛❩❯❳❲❫❝❭♦❫❙❩♣❵❲❱❯❭❯❵❲❫❙■qsr♠❙♠q❫❬sr♠t ❧✈✉✐✇②①④③⑥⑤ ☎ ●⑧⑦✑⑨û❲ü✑⑩✆❶✂❉✆❷❹❸❻❺❽❼❳❾➀❿➂➁❜➃➅➄■➆ ❆☞❂☛❃✠✆✰☛➇✌➈ ❙❱❯➉r➊❨ ❞➌➋ ➍➏➎ ✴➑➐❣☞✄❉✆➒ ✘ ❧ ❙♠❯➓r➊❨➔❙❩♣❵❲❱❯❫❯❜❲❫❙❩qsr♠❙■q❫❬sr ❧ ☎ ❑ ✧✄✩✑✠✆✡✑→✌➣✕❉✑❷❂✆❃✢↔✑❅✵❆ ☎✶✳↕◆✆P❉✆❷✢➙✑❇✆➛✑➜❆ ✴✞➝✑➞✢➟✆➠✑➡û ü❉ ❧➤➢❫➢❫➢➥❧▼➦✪➧❣☎ ➨■➩s➫➯➭s➫➳➲ ➵✪➸✑➺✆➻ ❷❂✆❃✙❄✕❅✙❆✕➼ÿ▲❉❚➁❩➽➾✗✄➚❘✠✢✡❦ ➪✶➶❢➹➘➶❢➴➷➶➮➬✶➶❢➱✃➶❢❐✶➶❢❒✈➶❰❮✽➶ÐÏ➘➶➥Ñ➾➶➥Ò✲➶❢Ó④➶➥ÔÕ➶ÐÖ✢➶➏×⑥➶❰ØÙ➶ÛÚÜ➶❰Ý✽➶➮Þ➘➶➥ßà➶ÐáÙ➶➏â✈➶⑧ã✵➶➏ä✛➶❢åæ➶➏ç è✄❉☛é✢➒✆✘✑❉❂✑❃✠❘✰❅✝û❲ü❚❙❱❯❳❲❩❨❭❬ëê■❲❫❝ ❞❢❡ ❦ ❧ ❙❱❯❳❲❩❨❭❬ëê■❲❫❝❫♦■ìîí❢ïîí➏ð➷í ➢❫➢❭➢ í➏ñ■t ❧ ●➼ÿ▲❉✑ò✆ó✙☞✕➇✙➈ ❙❵ê■❲❫❝ ❞➌➋ ➍⑧➎ ❑ ☎ ➨■➩s➫➯➭s➫➳➭ ô✪õ✑ö✆÷✑ø ❂✄❃✙❆❇✑❈➡✆ù✗✑ú✆❉✢✖✑✗ý✙❁✕û✑ü➧❣✴ ✉✑✇✖✑✗✢ý➔☞★ú✴ ⑦✢✗ý✵❁ ✓✄þ☛ÿ✁✄✂✆☎❲ý☎❴ÿ ❉✆✝ÿ✁✞✂✁☎☞ý✙❁✜❦ ✠☛✡✌☞✎✍✑✏✓✒✕✔✖✒✘✗✚✙✜✛✣✢✤✛✚✥✎✦★✧✪✩✣✗✌✧ ✟ ➆■➆❩➆
§53数学符号 109 ∩\cap \cil ○\ bigcirc x times ( \uplus o \diamond Diamond Adiv 和\not<的结果为≠, 和大 这样下面的符号可以如此否定。注意最后两个符号not\in和\ motin并 的:g和g。后者比前者更好看些 htp://202.38.68.78/ texgur Email:texguru(@263.net
✫✭✬✘✮✰✯✲✱✆✳✵✴✷✶ ✧ ➄❩➆ ✸ ❙✕✹■❯ ✺ ❙❜ê■❲✕✹ ✻ ❙❜ê❵r➊❛❳ê ✠ ❙✕✼sr✾✽❳ê❵r➊❛ëê ✿ ❙❱❯❀✹ ❁ ❙❜ê❃❂✘✹ ❄ ❙✕✼✘❂❵❝❭❝✘❅❩❨ ❆ ❇❱ï♥❴✕❈ ❉ ❙❩❨ r➌❯✌❅✣❊ ❋ ❙✕❂✘✹❵❝✤❂●❊ ❍ ❙✕■sr♠❲♠❯❳❴❩❪✘■ ❏ ❇▲❑➉r♠❲❱❯❳❴❩❪▼■ ◆ ❙✕■ r✾❖ P ❙✣❊❃◗ëê❱❲✕✹ ❘ ❇❩❝■❬✘■ ❙ ❙✕✼sr✾✽❭❨❫❛sr♠❲❩❪▼✽❵❝✘❅✕❂✘✹ ❚ ❙❜ê▲■❵❴❩❨ ❯ ❙✣❊❃◗ëê▲❂✘✹ ❱ ❇❱❛❭❬✘■ ❲ ❙✕✼sr✾✽❭❨❫❛sr♠❲❩❪▼✽❵❝✘❅✕■❵❴✤❳❫❪ ❨ ❙❫❲✚❊♠❨ ❩ ❙✕❖✚❅✘❅ ❬ ❇❭❂❭❪❵❝❩❬✘■ ❪ ❙❩❨❫❛sr ❲❩❪✘✽❵❝✘❅❭❝✘❅✕❫❫❨ ❴ ❙✣❊ ❨❵❲❩❛ ❵ ❙✕❳✚❅✕■▼✽✚❅ ❛ ❇❭❂❭❪❫❛❫❬✘■ ❜ ❙❩❨❫❛sr ❲❩❪✘✽❵❝✘❅■❛sr✾✽❫❬❫❨ ❝ ❙✕■♥❲✕✽✘✽✚❅❩❛ ❞ ❙❫❴✕✹❵❝✤❂●❊ ❡ ❙❫❴✣❊■❝❭❲✣❊♠❬ ❇ ❙✣❊✤❅❩❨■❯➓r➊❪✘❂●❊ ❢ ❙✕■▼■❵❲✕✽✘✽✚❅■❛ ❣ ❙❫❴❱❯➓rÛ❪✘❂●❊ ❤ ❙❫❴✕■❵❴■❨ ✐ ❙✕❳❫❛ ❥ ❙❫❲♠❯❳❲❫❝✕✽ ❦ ❙❫❴❩❨sr❽❯✌❅✣❊ ❧♥♠✙❦♣♦✑✤ ♣q✄r✤✣✆s❆✄✒✢✓✆t✆✉✄✈✁✇ ☞ý✌❁→✌➣✄❉✆❷ ❸❺❼❳❾s❿✛➁❃① ❆✴ ②♥③❖✢Pè✑❉✄④✆⑤✄⑥ ❝❫❲❩❨✚❅✕❈✌❊❃⑦❩❯ ●⑨⑧❵➃⑩⑧❜➃ ❶❸❷➔❑ ☎ ➨■➩s➫➯➭s➫✰❹ ❺❼❻✄ö✆÷✑ø✁❽✄❾✆❿✄➀ ➁P➃➂➅➄✑ù✗❂✑❃ú➇➆✴✼þ✢P❉✁➈✆➉✂✆☎❲ý➡✆➊✄➋✆➌✁➍➧❣☎ ❉✏✆➎✄➏ ➂➐➄❆➒➑➇➓♥➔✄→➈✄➉✂✁☎❲ý✜❦ ➣ ↔❃↕❃➙ ↔❃↕❃➙✾➛ ➜ ↔✾➝✤➙ ↔✾➝✤➙✾➛ ➟➞ ↔➡➠▼➙✾➛ ➢ ↔❃➤✘➥✎➦ ➧ ↔❃↕❃↕ ➨ ↔✾➝❃➝ ➟➩ ↔✾➫✤➭✾➯✤➙✾➛ ➲ ↔❃➤✘➥✎➦▼➙✾➛ ➳ ↔❃➤➡➵❃➸▼➤❃➙✾➯ ➺ ↔❃➤➡➵❃➻▼➤❃➙✾➯ ➼ ↔❃➽➡➻❃➻✤➾✤➭✾➚ ➪ ↔❃➽❃➤✾➶✾➦❃➻ ➹ ↔❃➤➡➵❃➸▼➤❃➙✾➯✤➙✾➛ ➘ ↔❃➤➡➵❃➻▼➤❃➙✾➯✤➙✾➛ ➢ ➟ ↔❃➴❃➭➡➠✤➝ ➷ ↔❃➤➡➦✌➥✭↕❃➙ ➬ ➮ ➤✾➛✤➤➡➵❃➸▼➤❃➙✾➯ ➱ ➮ ➤✾➛✤➤➡➵❃➻▼➤❃➙✾➯ ✃ ↔❃➙✾➛✾➵✌➥❒❐ ❮ ↔✾❰❃➾✤➭✾Ï✾➠ Ð ↔❃➤✾➛✤➤➡➵❃➸▼➤❃➙✾➯✤➙➡➛ Ñ ↔❃➤✾➛✤➤➡➵❃➻▼➤❃➙✾➯▲➙✾➛ Ò ↔➡➻✤➾✤➭➡➻✤➯✤➭ ÓÕÔ ↔➡➸▼➭✾Ï❃➯✚➥✭➙ Ö ↔✘➥✎➠ × ↔➡➠✌➥ Ø ↔➡➻✤➾✤➙❃➴ Ù ↔❃➤➡➵▼➴❃➴ Ú ↔✾❐❃➫✤➽❃➤➡Û Ü ↔✾➫✤➽❃➤➡Û✤❐ Ý ↔➡➻✤➾✤➙❃➴❃➙✾➛ Þ ↔❃➤➡➵▼➴❃➴❃➙✾➛ ß➟ ↔➡➦▼➭✾➫✤➙❃↕❃➤ à ↔➡➻▼➙✾➾✾➻ á ↔➡➻▼➽✾➾✤➽❃↕❃↕❃➙❃↕â↔äã ß ↔➡➦✌➥❒➫åã ❷♦✑✤☞ý✙❁↕❆✜✆æ✗ÿ ➑→✑❉↕✖✢✗✒✢✓è✑❉ ☎✛✱✢✳✙✴èç➎ÿ❉ ❙❭❝✘❅➅é ❙❫❝✘❅✤◗ ✉✐✇☎ ②ê➈ë➉✂ë☎ý ☞íìëîéëïëð✫↕❷❂↕❃❆✘↕❉↕✖↕✗◗ëñëòôóý ❁②❤↕❥ ☞❦ ✳ õ÷ö õ÷sêù ø ò✏ö➑ò✏ ☎ ② õ✸✜ø ✖✢✗✿↕❀☞íúëû ❙❩❪✚❅✕◗ ☎❸ü✘ ý➋✝ÿ✁❷♦✆✤☞ý✌❁✕✒☛✓✁þ✆✤❉ ❙■❪❵❴❩❨ ✴ ÿ◗✇òó✁❜ý➔❁ ☎✛✼✾ ❙❩❪♥❴❩❨❵❙ër➊❪ ❤✄❥ ✂ø ☎ ⑦➓✰➼☎✄❉✏✝✆☎✞✠ý✴✞✳ ❙■❪❵❴❩❨✠✟ ✗ ❙❩❪♥❴❩❨☛✡ ö ❙■❪❵❴❩❨☛☞ ☞✍✌◆þ õø ✗ ✎ø ö ✏ø ☎ ⑦✪✰✉✑✤☞ý✵❁ÿ ⑥✳✾ð✫☎ ❧✄♠✒✑r✆ù✗ý✵❁▲❙■❪❵❴❩❨❵❙ërÛ❪ ö ❙❩❪❵❴❩❨srÛ❪✔✓ ➑✘☛✖✢✰✵☞ ❦ ✂ø ö✖✕✂ ☎❸rï ➂þ✁ï✒✗✝✘✒✙✝✚☎ ✛✦ ✦✢✜✤✣✦✥✧✥ ➁❩➄■➁❜➃ ❶✕⑧❵➃➅➽✤⑧❜➃ ★✕⑧ ✥✾✦✪✩✬✫▼✢✕✛☛✭✛ ❾✯✮✱✰✳✲✵✴ ✣ ✦✪✩✶✫✘✢✤✛✷✭✛✹✸➁■➽✕❶❵➃ ✺✩✭✦
110 第五章数学公式 x \not> x \not\ 7 \not\sim Z not\subseteq 2 \not\supseteq f \not\cong Z \ not\sqsubseteq 2 \not\sqsupseteq x \not\as ymp d not\in notin 853.5箭头与指针 在数学文稿中通常会有箭头符号,它也称为指针。可用的箭头符号有下 g E \ Leftarrow E \ Longleftarr 介\ Uparrow \rightarrow \ te Rightarrow H Longrightarrow +, \leftrightarro f) \longleftrightarrow t \updowmarror 4 \ Leftrightarrow \Longleftrightarrow I \Updowmarrow H, \longmapsto \ hookrightarrow \leftharpoonup \swarrow \leftharpoondown ghtharpoondo人 narrow Vrightlef harpoons 这里符号→和←也可用名称\to和\gets来调用。而\ Longleftrightarror 命令也可以用\iff来代替,但是后者(←→)与前者(←→)相比,在两边要 多一点空档 8536其它各类符号 在IX中无疑包括了在数学文本中所有可能出现的符号。然而,不但 如此,BEX还提供了下面这些符号。(这里与前面的表格有些重复,之所以 如此,就是为了使相关符号列在一起。) ti \hbar o \emptyset 3 \exists \imath V \nabl △\ triang1e \imath b \flat 6 \clubsuit rtial 4 ◇\dia T 9 heartsuit U mho \ backs1ash∞ infty CTEXGuru, August 15, 1999
✧✤✧ ➄ ✻✽✼✝✾ ✱✆✳❀✿❂❁ ❃➞ ↔➡➠▼➭✾➯✧❄ ❅➞ ↔➡➠▼➭✾➯✧❆ ➟➞ ↔➡➠▼➭✾➯❈❇ ➣➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃↕❃➙ ➜➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔✾➝✤➙ ✃➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➙✾➛✾➵✌➥❒❐ Ø➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔➡➻✤➾✤➙✾➴ Ù➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤➡➵▼➴❃➴ ➢➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤✘➥✎➦ Ý➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔➡➻✤➾✤➙✾➴❃➙✾➛ Þ➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤➡➵▼➴❃➴❃➙➡➛ ➲➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤✘➥✎➦▼➙✾➛ ➳➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤➡➵❃➸✤➤❃➙✾➯ ➺➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤➡➵❃➻▼➤❃➙➡➯ ➼➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➽➡➻❃➻✤➾✤➭✭➚ ➹➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤➡➵❃➸✤➤❃➙✾➯▲➙✾➛ ➘➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤➡➵❃➻▼➤❃➙➡➯✤➙✾➛ ➢ ➟➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➴❃➭➡➠✤➝ Ð➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤✾➛✤➤➵❃➸▼➤✪➙✾➯✤➙➡➛ Ñ➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➤✾➛✤➤➡➵❃➻✤➤❃➙✾➯▲➙✾➛ ➪➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔❃➽❃➤✾➶✾➦❃➻ Ö➞ ↔➡➠▼➭✾➯✤↔✘➥✎➠ Ö❉ ↔➡➠▼➭✾➯✚➥✎➠ ➨■➩s➫➯➭s➫➳➩ ❊❀❋❍●❏■✝❑ ❷❂✑❃➛✝▲❆❇✑❈✝▼✜☎◆✝❖ý✙❁ ✴♣➊➼✑✓✆þ☎P✝◗☎✼ÿ❉✙☞◆✝❖ý✵❁✜✉ ✤⑦✚✌❦ ❘ ↔❃↕❃➙✾❰❃➯✤➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ↔✾➝✤➙✾➯✤➤ ❘❚❙ ↔❃↕❃➭➡➠✤➝✤↕❃➙✾❰❃➯✤➽✾➾✾➾✤➭✭Ï ❯ ↔➡➵❃➻▼➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ❱ ↔❈❲❃➙✾❰❃➯✤➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ❱➟ ↔❈❲❃➭➡➠✤➝✤↕❃➙✾❰❃➯✤➽✾➾✾➾✤➭✭Ï ❳ ↔✬❨❃➻▼➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ❩ ↔✾➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ↔✾➯✤➭ ❙❬❩ ↔❃↕❃➭➡➠✤➝❃➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽➡➾❃➾▲➭✾Ï ❭ ↔✾➫✤➭✾Ï✾➠▼➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ❪ ↔❴❫✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ➟❪ ↔❈❲❃➭➡➠✤➝❃➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽➡➾❃➾▲➭✾Ï ❵ ↔❴❛✤➭✾Ï✾➠▼➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ❜ ↔❃↕❃➙✾❰❃➯❃➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽✭➾❃➾❃➭✾Ï ❘❝❩ ↔❃↕❃➭➡➠✤➝✤↕❃➙✾❰❃➯❃➾✚➥✎➝✾Û▲➯✤➽✾➾✾➾✤➭✭Ï ❞ ↔➡➵❃➻✤➫✤➭✾Ï✾➠▼➽✾➾❃➾❃➭✾Ï ❡ ↔❈❲❃➙✾❰❃➯❃➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽✭➾❃➾❃➭✾Ï ❱❚❪ ↔❈❲❃➭➡➠✤➝✤↕❃➙✾❰❃➯❃➾✚➥✎➝✾Û▲➯✤➽✾➾✾➾✤➭✭Ï ❢ ↔✬❨❃➻✤➫✤➭✾Ï✾➠▼➽✾➾❃➾❃➭✾Ï ❣❩ ↔➡➦▼➽➡➻▼➤✾➯✤➭ ❣❙❬❩ ↔❃↕❃➭➡➠✤➝✾➦▼➽➡➻▼➤✾➯✤➭ ❤ ↔➡➠▼➙❃➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ❘❝✐ ↔➡Û▼➭❃➭✬❥▼↕❃➙✾❰❃➯✤➽✾➾✪➾✤➭➡Ï ❦❩ ↔➡Û▼➭❃➭✬❥✤➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤➽➡➾❃➾▲➭✾Ï ❧ ↔❃➤❃➙❃➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ♠ ↔❃↕❃➙✾❰❃➯✾Û▼➽✾➾✾➻▼➭❃➭❒➠❃➵✾➻ ♥ ↔✾➾✚➥❒➝✾Û✤➯✾Û▼➽✾➾✾➻▼➭✾➭➡➠✪➵❃➻ ♦ ↔❃➤✾Ï✤➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ♣ ↔❃↕❃➙✾❰❃➯✾Û▼➽✾➾✾➻▼➭❃➭❒➠✤➫❃➭✾Ï✾➠ q ↔✾➾✚➥❒➝✾Û✤➯✾Û▼➽✾➾✾➻▼➭✾➭➡➠▲➫✤➭✾Ï➡➠ r ↔➡➠✤Ï✤➽✾➾❃➾✤➭✾Ï ♥ ♣ ↔✾➾✚➥❒➝✾Û✤➯✤↕❃➙✾❰❃➯✾Û❭➽✾➾➡➻▼➭❃➭➠▼➤ s ➮ ↕❃➙❃➽✾➫✤➤✾➯✤➭ ⑦❀tý✵❁✈✉ ö①✇ ➼ÿ❉✒✆✓ ❙❩❨❵❴ ö ❙✕✽✚❅❩❨●❊④❣è✆❉ ☎ ② ❙③②❵❴■❪✘✽❵❝✘❅✕❫❭❨❫❛sr✾✽❫❬❭❨❵❲❩❛❫❛❵❴✤❳ ú❼û➼ÿ▲❉ ❙❳r✾❫✘❫⑥❣✄❶✒④✴ ü✘rï ⑤⑦⑥⑨⑧ ❲ ✬þ✄ï⑩⑤❶⑥⑨⑧❲ ì ➂✪✴ ❷ù✝❷✆P ❸✖❺❹❼❻✒❽ ☎ ➨■➩s➫➯➭s➫❿❾ ❾➁➀➃➂✒➄✑ø☎➅ ❷ ❸❺❼❾❿❆✍➆☎➇⑥➦❍➈❷❂✢❃➛✑➜❆➃➉✜✝➊➣☎➋➃➌✌☞➃➍❁☎➎➐➏②✴ ➑ü ✳✾✴ ❸❺❼❾❿➒➑❀➓✒➔➈✉✆✤⑦✚➍❁✒➎ ●❱⑦➁t✆✬þ☛✤☞s➁→✆✜✚➁➣✒↔❂↕➛➙✝➉➝➜ ➞➃➟❺↕✽➠✝➡✒➢ ➈❀➤☎➥✝➦➍❍➧❏➨☎➩➁➫☎➭❍➯✯➲ ➳ ➵❈➸❈➺❈➻✬➼❈➽ ➾ ➵✬➼✧➚☛➪✢➶❬➻ ➹ ➵❴➘✧➴❴➚✧➸❈➺❈➺ ➷ ➬✬➮✧➴❴➱ ❐✃ ➵✬➽❈❒❬➸❴➚ ❮ ➵❈➻✬➶❈➼✧❰❈Ï✧Ð❈➻❴❰ Ñ ➵❈➻❴➱☛➪✶Ð❴❰✧Ð Ò ➬ÔÓ☛➪✶➸✬➶❬➴✬Õ✧Ö × ➵✠➪✢➶❬➸❴❰❴➽ Ø ➵✬Õ❬➸✬❒❬➺❈➸ Ù ➵✬Õ❬➻❴Ú Û ➵❴❰❈➚☛➪✶➸✬Õ✧Ü✧➺❈➻ Ý ➵❈Þ✬➶❬➸❴❰❴➽ ß ➵❈Ð✬à✧➚❈Ö á ➵❴➘✧➺❈➸❴❰ â ➵❈ã❈➺✬à❈❒❬Ð✬à✹➪ä❰ å ➵❈➻❈➺❈➺ æ ➵✬➼❬➸❴➚❈❰☛➪✶➸❈➺ ç ➵✬Õ❬➸❴❰❴à✧➚✧➸❈➺ è ➵❴Ö☛➪✶➸✬➶❬➴✬Õ✧Ö✧Ðéà✹➪✪❰ ê ➵❴ë❴➼ ì ➵❴❰✧➴✬➼ í ➵❈Ð✬➽❬➸❴➚❴➼ î ➵✬➽❬➻❈➸❴➚❈❰✧Ð✬à✹➪✢❰ ï ➵❴ð✧➻ ñ ➵✬❒❬➴❴❰ ò ➵ôó õ ➵❈Ð✬➼❬➸❴Ö✧➻❈Ð✬à✹➪✢❰ ö ➵③÷ä➶ ø ➵❴ù❈Ö✧➸❈Ð✬➽ ú ➵❈➸✬Õ✧Ü✧➺❈➻ û ➬✳üý➴✠➪✢Õ þ ➬ä➶❈➽❬➴ ÿ ➵❴Ö✧➸❈Ð✬➽✧ù ➬ ➵✬❒❬➸❈ã✁❬Ð❈➺❈➸ýÐ✬➽ ✂ ➵✠➪✢Õ✧➘❈❰❈Ï ☎✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌✏✎✑✌✓✒✕✔✗✖✙✘✚✖✕✛✡✜✣✢✥✤✙✒✟✢✧✦✚✦✏✦ ✄
§5定数样符, 111 因此特号数学寸中符号 (据所处为正需斜\还是m示斜a下列符号h以不同。大rm示出 ∑∑:∩∩如gca生⊙成 godot L 凵T为得cu生 V办ig9在出 来o生od∧∧ 我们在配面节能已介绍了符号:和nt。在那把我们演示了如何给起 85符号.3下限;同样a用移位也6·和_也可以给3面所有符号.3下 限。有些符号。3下限位置h视所处为正需斜、还是m示斜而发生变化。 正如在面节能指出。那样a如果3下限只是放在符号旁边时a可以用也6 为:i待可强迫3下限放在符号o3方和下方。类似地a当3下限o标准位 置是3方和下方时a可以用相反也61i:i得使得3下限只是位调符号o 旁边 int^nfty_B炎int和:i得籼 nfty_B和 IⅡ等难n.籼远算01:得如运算 853符量数名 在数为斜、能普遍使用。标准是运用斜体m示变量a而用罗○字体m示 函数名。如果我们在数为模、能只是简单地写出函数名s,或 ngg a tAIS X就 h运3为数们是变量得in和1oga从而m示为{和pb。为了告诉 tAX我们uo是一5函数名a那就uu在函数名前面.3也6字符来 tAX口下面起些函数 cco得来o得为在籼nf九i:得生*.an 桌c得n来o米:来在 来在anx 桌ctan来otx在生g n 来得老cd和i 来o得.在来o:和i:inf夹i 生 在起些函数能有几5也可以在m示时÷3n下)限。起只u在函数名△面 指标也6就可以了:如:D尢 o inft算在正模\、能是'i寸 下面起些函数名可以用指标也6.3-5下限 在cd籼nf和i:和i:infi:得生来aD夹in h侑松D2.时是H一 8p沁每是H,有
★✪✩✓✫✭✬✯✮✱✰✳✲✵✴ ✢✚✢✏✢ ✶✚✷✹✸✻✺✹✸✽✼ ✾❀✿✵❁✳❂✱❃❅❄❇❆❉❈❋❊ ●■❍❑❏❑▲➢◆▼P❖❘◗P❙❑❚➡❑❯❑❱❘◗P❙❘❲❨❳➨❑❩➝➧P❬ ➜❪❭◆❫❑❴P❵❘❛P❯❑❱❘❜ ❝✱❞ ❡ ❢ ❣✙❤❥✐✏❦ ❧ ♠ ❣✏♥✹♦✧♣rqts✏✉ ✈ ✇ ❣✏♥✹♦✥♣✕①✏②✕①✏③ ④ ⑤ ❣r♦✧⑥✓③ ⑦ ⑧ ❣✏♥✹♦✧♣rq⑨✐✓✉ ⑩ ❶ ❣✏♥✹♦✥♣✕①✏③✹♦✁❦✙❷✙❤ ❸ ❹ ❣✓①r♦✧⑥❺③ ❻ ❼ ❣✏♥✹♦✧♣r❤⑨❽rq❥✐✓✉ ❾ ❿ ❣✏♥✹♦✥♣✕①✏✉✕➀✏✐✟❤ ➁ ➂ ❣✏✉✓➃✕①✚② ➄ ➅ ❣✏♥✹♦✧♣✓➆➇❷✓❷ ➈ ➉ ❣✏♥✹♦✥♣✓✐✓✉✕➀✏✐✟❤ ➊ ➋ ❣✙q✚①✏✉❺➃✕①✏② ➌ ➍ ❣✏♥✹♦✧♣✓➎➇❷✏②✓♣✕❷ ➏❉➐➩ ✤✙➑➓➒✕➑➓✤→➔✱➣✵↔➙↕✱➛➝➜❩❂➧ ❣✕❤❥✐✏❦❀➞➟❣r♦✧⑥✓③ ➯ ➩✱➠✱➡➏✱➐❅➢➤❱➜➞❅➥✱➦❋➧ ➨❉➩❩❂➧✳➫✱➭❳✵➯❋➲❀❫✳➳✵❲➸➵❋➺✱➻❋➼❅➽➚➾ ➞➶➪➸➹❀➘➷➴➦➭❋➬❏❋➮❩➧➱➫✱➭❳ ➯➯ ➮❋✃❩➧ ❴➭❳❇➯❉➻❋❐❬❅❒❏❅▲✒➢✵▼✳❖✵◗✳❙✱❚☎➡❋❯✱❱❇◗❉❙❋❮✱❰❋Ï❅Ð➤Ñ➯ ▼✱➞➩ ✤✙➑ ➒✙➑➓✤Ò➔➤➣❉Ó❜❋❴➠➳❇❲➛➞✱Ô➭❳✵➯✳Õ✒➡✱Ö➩❋❩❍➧✳×❋Ø✵Ù❲ ➘Ú➴➵✱➼❋➽ ❣✓➀r♦✪❦Û♦✧③r❤Ü➘✝Ý❅Þ➭❳✵➯❉Ö➩❅❩❍➧ ❴➭✱ß➞❳ß❍➯❨à✱á❅â❲❉ã➭❳➝➯✱❴➱ä➤å❅➻ ❐❀➡➭❋ß➞❳ß❇Ù❲ ➘➷➴➵➥❋æ➼❋➽ ❣✏⑥✕①❺➀r♦✁❦Û♦✧③✟❤ ➤❀ç➭❳✵➯✳Õ☎➡➤➻❅è❩❍➧ ❴ ×❉Ø❺➯ ❹❉éê ❹é ê ❣ìë➸❣✓①✟♦✧⑥✓③ ➾ ❣✟♦✧⑥✓í✓③✓î➇➪✓ï✝❣❺①r♦✧⑥✓③✕❣❺➀r♦✁❦Û♦✧③✟❤ ➾ ❣r♦✧⑥❺í✓③✏î➇➪✓ïð❣✏ñ ò➂ ó❥ô ê ➂ò ó⑨ô ê ❣ìë➸❣✏✉❺➃✕①✏② ➾ ⑥➇➪✓õ✓❣✏⑥✓✐❺ö✕ï✓÷❉❣✏✉✓➃✕①✏②➇❣✏⑥✕①✓➀r♦✪❦Û♦✧③r❤ ➾ ⑥✕➪✏õ❺❣✏⑥✓✐✓ö❺ï✓÷ ❣✏ñ ✶✚✷✹✸✻✺✹✸ùø ú➸û✱ü ➩❉ý❋þ◗✳❙➣✳ÿ✁➤➵✵❴✳ä✱å✒➡✁✂❋➵☎✄✁✆❋❯✱❱❋Ð✁✝❇❲❨❮✱➵✟✞✁✠✟✡☎✆➤❯❅❱ ☛ý✁☞ ➯✍✌Ô❋➏➤➐➩❋ý✱þ✟✎❙➣Õ✝➡✟✏✟✑â✟✒ ❜ ☛ý✁☞✔✓✖✕✘✗✚✙✜✛✣✢✥✤ ❲✧✦✩★✖✪✬✫✮✭➠ ❬✂✰✯✝➢✁✱❑➐☎➡✱Ð✰✝ ❤❅♦❉⑥ ➞ ➀✱①■♣ ❲✳✲❑❮✱❯❅❱➢ ✴✶✵✸✷ ➞✺✹✸✻✽✼ ➯ ➢ ➜✿✾☎❀ ✦★✪✫✭➏■➐✁❁☎❂✵❴➃➡➫➩☛ý✰☞ ❲ ➠➠☎❁✁❂➩☛ý✰☞☎❃✱➬❅➫✱➭➼❅➽✁✡❩ ❣ ➯ ✦★✪✫✭❅❄❇❆❅❳➬➧❋✃☛ý❞ ❣❺s✏➃rq✓q✚①✕❤ ❣✙qt①✙❤❉❈ ❣✚②✕❷✏③ ❣r♦✧⑥❺í ❣✓➀r♦✁❦❤❥✐✓✉ ❣❋❊✓➃ ❣✏③✕s✏⑥ ❣❺s✏➃rq✓❤✕♦✥⑥ ❣✙qt①✏③ ❣✚②✹♦✁❦ ❣❍●✟❷✚➃ ❣✓➀✏⑥ ❣✙❤✚❷✙q ❣✏③✕s✏⑥■❈ ❣❺s✏➃rq❥③✕s✚⑥ ❣✙qt①✏③❏❈ ❣❺❷❋❑✓✉ ❣✓➀✏♣ ❣✓➀✓①✏♣ ❣✙❤✕♦✧⑥ ❣❺s✏➃✓♣ ❣✙q❺❤✓q ❣✚♣rq❥② ❣✓➀r♦✪❦ ❣t❦✟s❋❑ ❣✙❤✕♦✧⑥❏❈ ❣✕q✚①✙❤ ❣✏②➇❷✏♣ ❣▲❈✕①t❦ ❣✓➀r♦✪❦Û♦✧⑥✓í ❣t❦Û♦✧⑥ ❣✙❤❥✐✓✉ ➩➧❅✃☛ý➣➮✁▼❋➩➹❋➘ ➴➩❯➤❱Ù❖◆❋➭◗P❳ ➲ ➯➯ ➧❅Õ❘❂➩☛ý✁☞✟❙❋➬ ❄Óä✱➼❋➽✒➠➘ ➴ ➜ ❞ ✌ ❣✓➀r♦✁❦✟➪❺õ❋❑➝❣✚③✕①❋❣r♦✧⑥✓í✓③❺î❋÷ ➩▼✳❖✎❙➣➡✜❚✣❯✣❱❳❲❩❨ é ❲ ❮➩❯❅❱✎❙➣➡ ❚❬❯✣❱❲❉❨ é ➯ ❳➬➧✱✃☛ý✟☞➘➷➴➵Óä✱➼❋➽ ➪ ➫❉➭✒➫➩❋❳✵➯❞ ❣✚②✕❷✏③ ❣✏♣rq❥② ❣✟♦✧⑥✓í ❣✓➀r♦✁❦ ❣✓➀✟♦✁❦Û♦✧⑥✓í ❣✓➀r♦✁❦❤❥✐✓✉ ❣❥❦✟s❋❑ ❣t❦Û♦✥⑥ ❭✜ ✜❫❪❵❴✩❛▲❛✚➒❋❜✚➒✙➑ ❝❋❞✕➑✩❡▲❞✙➑ ❢❋❞▲❛✧✜❤❣✽✐❺✘✏✖❦❥✖ ✫❱♠❧❍❯✣❚ ❴ ✜❤❣✖✐✓✘✚✖♥❥✖♣♦Ò➒▲❡❋❝✕➑ q❦❣✪✜
第五章数学公式 APr \sup 最后要提一点,函数命令\bmd和 pmodt参数都生成函数mod,但却 是两种形式 a mod b或者 $y、pmod{a+b}$y(moda+b)。 539数学重音 在数学模式中可以用下面这些数学重音 a hat\ta a brevefah Abar[ah \checkfa a \acutefah \tildetal a \veca Adot[aa ah 当要给字母i和j要重音时,应该去掉它们的点为此,需要用符号\ imath 和与 jmath代替直接字母输入,如 veci\imath]+ \tilden\maths: 2+3 对于\hat和\tide,还存在一种宽的版本,名称为分别是 widehat和 widetilde。这两种符号可以被放在一个公式上: 1-a=-y s\widehat[1-x=wwidehatt-y ]s s\widetildeixyz]s 练习56:两个集合A和B的并就是所有至少在其中一个集合中的元素全 体,并A∪B表示。这种操作是可交换的,即AUB=B∪A,也是可结合 即(AUB)UC=AU(BUC)。如果ACB,那么AUB=B。而且有 4∪A=A,AU{0}=4和了UA=3。 练习57:应用 HOpital法则,我们有: x→0tan丌x→0丌/cos2丌 练习58: Gamma函数r(x)的定义为 T(x)≡lin +1)(x+2)…(x+n-1) 这里的积分只有当x>0时才有意义(第二Euer积分)。 练习59:从练习5.3中的文档类选项中去掉f1eqn选项,重新得到输出 练习5.10 a E=io, aBt= Baa, (a+P)E=ai+BE, a(i+2=a2+ay v=,但是xy=-×,z⊥d时E=0,到时xx=0 练习5.11:生成下节中的公式5.1和52 CTEXGuru, August 15, 1999
✢✚✢✧➒ rts✁✉ ✮✱✰✇✈②① ❣▲❊✓➃ ❣✙❤❥✐✓✉ ③❙❂❘④➫✧⑤ ❲ ☛ý➼✱➽ ❣✚♥✏❦✟①✏② ➞ ❣✚✉✏❦✟①✏②✕õ❉⑥⑧⑦❋÷⑩⑨Ï✟❶☛ý❸❷❳❹❏❺ ❲❼❻✟❽ ❾❉➨❘❿☎➀❋❙❞ ➁ s➤❣✚♥✏❦✟①✏②❋♥ ➁ ➂ ❱➄➃❏➅✍➆ ✙❇➇ ➁ î✱❣✚✉✏❦✟①✏②✕õ❺s❋➈✓♥✕÷ ➁ ➉ ➊❱➄➃❏➅ ➂➌➋ ➆✖➍ ➯ ✶✚✷✹✸✻✺✹✸❬➎ û✇➏✁➐✧➑ ➩❉ý❋þ✁✎❙➣➘ ➴➵❋❳➬➧✱✃ý✱þ☎➒✟➓❞ ➂➔ ❈✕s✚③✕❣✓õ✓s✓÷ ➂→ ❣✚♥✓➃✕❷✏➆✕❷❺õ✓s✓÷ ➂➣ ❣✏♣❺➃✕s✏➆✕❷✓õ❺s✓÷ ➂↔ ❣✏♥✕s✚➃✕õ✓s✓÷ ➂↕ ❣✙q❩❈✕❷✙q✶●✟õ❺s✓÷ ➂➙ ❣❺s✙q❥✐✓③✕❷❺õ✓s✓÷ ➂➛ ❣✏③ ♦❥➀✏②✕❷✓õ❺s✓÷ ➂➜ ❣✏➆✕❷✕q✚õ✓s✓÷ ➂➝ ❣✏②➇①✏③✕õ✓s✓÷ ➂➞ ❣❺õ✓s✓÷ ã♠❂❋➦✟✡✟➟➠✵ ➞➢➡ ❂➒✟➓Ù❲➥➤✟➦❘➧✟➨✟✱❋➐✯❴ ⑤✒➯➢✟➩❇❲➫❁✟❂■➵❩➧ ❣r♦✁❦✟s✚③❏❈ ➞ ❣❏➭❥❦✟s✏③❏❈❳➯✇➲✁➳❄☎✡❘➟☎➵✟➸✵❲ ✌ ➁ ❣✚➆✕❷✙q✚õ✓❣✟♦✁❦✟s✏③❏❈➇÷➺➈ ❣✏③✹♦❥➀✏②➇❷✓õ✓❣❏➭t❦✙s✏③❏❈✕÷ ➁ ❴ ➜➻ ➋ ➛ ➼ ➽❀è ❣❋❈✕s✏③ ➞ ❣✏③✹♦❥➀✚②✕❷ ❲ ❚☎➾➩➁➫❿②➚➤❴❖➪✟➶✵❲ ☞✟➹➢✁➘✟➴✟❾ ❣✏➎ ♦✧②✕❷❋❈✕s✚③ ➞ ❣✏➎✹♦✥②✕❷✏③✹♦❥➀✚②✕❷ ➯ ➧❋➨✁❿❩❺➧➘Ú➴t➷Ö➩✒➫➩➝◗✳❙➭❞ ✢➱➮❖✃❒❐❰❮ ➬ ➮ ➉ ➁ ❣✏➎✹♦✧②✕❷▲❈✕s✏③✕õ✮Ï➫Ð❋❑✕÷✏ö✕❣✚➎✹♦✧②❺❷❋❈✕s✏③✕õ▲Ð✏î✕÷ ➁ ✃Ñ➉▲Ò ➁ ❣✏➎✹♦✧②✕❷✚③✹♦❥➀✏②✕❷❺õ❋❑✓î❏Ó✕÷ ➁ Ô✁Õ ✤✕➑✩❡❦❴ ➨■➩✁Ö✰×ÙØ ➞✺Ú ❴ÜÛ☎Ý✰❾✱❏❅➮✰Þ✁ß➩✁à➣➫➩✰Ö☎×➣ ❴âá✰ã☎ä ✆✱❲ÜÛåØçæ Úéè❱➯ ➧☎❿✁ê☎ë✁❾➘✁ì☎í❴❅❲❇îïØðæ Ú ❐ Ú æñØ ❲ ➹❾➘✁ò× ❴❉❲❇î ➊Ø➢æ Ú➍❵æ❒ó ❐ Øðæ ➊Ú æ❳óô➍ ➯✳✌ÔõØ➢ö Ú ❲ ➠✁÷ Øøæ Ú ❐ Ú ➯ ❮✁ù❋➮ Ø☎æñØ ❐ Ø ✒ Ø✰æÜú❉û❏ü ❐ Ø ➞✜ý æñØ ❐ ý ➯ Ô✁Õ ✤✙➑✩❢❦❴ ➤❀➵å❚ÿþ➃➔ ❪❯ ✜ ❧❉❚✂✁☎✄➝❲ ➏❅➐➤➮❞ ✆✞✝✠✟ ✡☞☛✍✌ ✆✞✎✑✏✒✝✞✎✔✓✖✕ ✆✞✎✗✏✒✝✞✎✑✕✙✘ ✆✞✝✠✟ ✡☞☛✍✌ ✓✍✚✒✛✢✜✤✣✡ ✜✦✥ ✧★✣✡ ✚✒✛✢✜ ✡ ✜✦✥ ✧ ✡ ✘ ✆✞✝✠✟ ✡☞☛✍✌ ✓✪✩✢✫✬✎✑✕ ✩✢✫✤✎✭✓✮✕✯✘ ✆✞✝✠✟ ✡☞☛✍✌ ✓✱✰✳✲✵✴✶✏✸✷★✕ ✓★✰✹✲✺✴☞✏ ✷ ✓✖✕✻✘ ✆✞✝✠✟ ✡☞☛✍✌ ✲✺✴☞✏✼✷✳✓✖✕ ✲✵✴☞✏ ✷ ✕✙✘✾✽ Ô✁Õ ✤✙➑✩❞❦❴✗✿❧❉❱❒❱➄❧ ☛ý❁❀ ➊ ✃ ➍ ❴❃❂❅❄❇❆ ❈❊❉❋✕★●✂❍■✆✞✝✠✟ ❏❑☛✗▲ ❏◆▼P❖ ➂ ◗✵❘✖✌ ❙❯❚✞❙ ✡☞▼P❖ ✕✔❱❳❲ ✘ ✆✞✝✠✟ ❏❑☛✗▲ ❙❯❚ ❙ ✡✶▼❯❖ ✕P❉❋✕✔❱ ✽ ●✸❉❋✕✔❱❩❨✶●✮❬✵❬✺❬✵❉❋✕❭❱ ❙❫❪ ✽ ● ❍ ⑤ ▲ ✌❵❴ ▼★❛✒❜❋✡☞▼❯❖❞❝❡❜ ➧➡❴❣❢✟➘✱Õ❋➮➝ã ✃✐❤é❜ Ù❦❥➮❅❧❅❄ P♥♠❅♦ ✫q♣❚ ❣✖❥ ❢❇➘sr❡t Ô✁Õ✈✉ ➑✞✇❦❴ ✲☎①③②✈✉ ➑✩❝❨➣❣④❣⑤⑦⑥à⑦⑧❅⑨➣➧✁➨ í✕➀✖⑩✚❽✖❶ ⑧❣⑨❸❷t➒❅❹ç⑦❺➵❼❻❅t Ô✁Õ✈✉ ➑❾❽➫❜❦❴ ❿ ✃⑩❐➜ ✃➜❿✑➀❵❿✂➁✃❒❐➜ ➁❊❿ ✃➜ ➀ ➊ ❿ ➋ ➁➍ ✃❒❐➜ ❿ ✃➜ ➋ ➁✃➜ ➀❵❿ ➊ ✃➜ ➋ ➉➜➍ ❐ ❿ ✃➜ ➋ ❿ ➉❯➂ ➜ ✃➜➉➜ ❐ ➉➜✃➜➂ ❻✇❾ ✃➄➃ ➜ ➉➜ ❐ð➮ ➉➜ ➃ ✃➜➂ ✃❦➅➜ ➉➜ Ù ✃➜ ➉➜ ❐✁❜ ➂ ✃✂➆ ➜ ➉➜ Ù ✃➄➃ ➜ ➉➜ ❐✁❜ t Ô✁Õ✈✉ ➑❾❽❡❽▲❴ Ïâ❶⑦➇➔✵➣⑦④❇➈☎➉ ✉ ➑❾❽ ➞ ✉ ➑➓➒ t ➋➍➌P➎✸➏✑➐➒➑➔➓→➑ ➊ ➂★➣♣✱↔❡♣★↕✸➙ ❽ ✉ ➂ ❽☞✇❡✇➔✇