§1平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广，它保留着一元 函数的许多性质，同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质，读者对这些新性质尤其要 加以注意.下面着重讨论二元函数，由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去。 一、平面点集 二、R2上的完备性定理 三、二元函数 四、 n元函数 前页 后页) 返回
前页 后页 返回 §1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元 函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要 加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去. 四、 n 元函数 返回 一、平面点集 二、 R2 上的完备性定理 三、 二元函数
一、平面点集 ※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集，因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念 在平面上确立了直角坐标系之后，所有有序实数 对(x,y)与平面上所有点之间建立起了一一对应 坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平 面点集，记作 E={(c,)川(c,y)满足条件P}. 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 一、平 面 点 集 ※ 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 E x y x y P = ( , ) ( , ) . 满足条件 对 ( , ) x y 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集, 记作
例如： (①全平面： R2={(,y)川-0<x<+0,-0<y<+0}.(I) m圆：C={x,y川x2+y2<r2} (2) (i矩形：S={(x,y)川a≤x≤b,c≤y≤d},(3) 也常记作：S=[a,b]×[c,d. (V)点A(,0)的6邻域： {(x,y)川(x-)2+(y-)2<62} (圆形) 与{(x,y)川1x-<6,y-|<δ}（方形)： 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例如： (i) 全平面: = − + − + 2 R ( , ) | , . (1) x y x y 2 2 2 (ii) ( , ) . 圆: C x y x y r = + (2) (iii) ( , ) , , 矩形: S x y a x b c y d = (3) 0 0 (iv) ( , ) : 点 的 邻域 A x y 与 方形 . ( , ) | | , | | ( ) x y x x y y − − 0 0 也常记作： S a b c d = [ , ] [ , ]. − + − 2 2 2 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) x y x x y y 圆形
d S (a)圆c (b)矩形S 图16-1 y (a)圆邻域 (b)方邻域 图16-2 前页 后页 返回
前页 后页 返回 图 16 – 1 C S x x y y O O a b c d r (a)圆 C (b) 矩形 S • • A A 图 16 – 2 x x y y O O (a)圆邻域 (b)方邻域
由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一 方邻域之内（反之亦然），因此通常用“点A的5 鍰”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域， 蒲记号U(46)或U(A)来表示. 点A的空心邻域是指： {(x,y)川0<(x-)2+0y-)2<62}(圆) 或 {(x,ylx-七K6,ly-oK6,(x,y)≠(x)}(方)， 并用记号U(A;δ)（或U°(A)来表示. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一 方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻 用记号 U A( ; ) 或 U A( ) 来表示. 点 A 的空心邻域是指: 2 2 2 0 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( ) x y x x y y − + − 圆 ( , ) | | , | | ,( , ) ( , ) ( ), x y x x y y x y x y − − 0 0 0 0 方 或 并用记号 U A U A ( ) ) ; ( ( 或 ) 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 并
注意：不要把上面的空心方邻域错写成：（请指出 错在何处？) {(x,y)00，使U(A;)cE,则称点A 是E的内点；由E的全体内点所构成的集合称为 E的内部，记作intE. 前页 返
前页 后页 返回 ( , ) 0 | | , 0 | | . x y x x y y − − 0 0 注意: 不要把上面的空心方邻域错写成: ( 请指出 ※ 点和点集之间的关系 以下三种关系之一: 2 AR 2 任意一点 与任意一个点集 E R 之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若 0, ( ; ) , 使U A E 则称点 A E 的内部, 记作 int E. 错在何处? )
(外点一若36>0，使U(4;6)⌒E=②，则称 点A是E的外点；由E的全体外点所构成的集合 称为E的外部. )界点一若V6>0,恒有 U(A;6)∩E≠☑且U(A;6)∩E≠☑ (其中E=R2IE),则称点A是E的界点；由E 的全体界点所构成的集合称为E的边界；记作∂E. 注E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E; E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意： 前页 返回
前页 后页 返回 (ii) 外点——若 = 0, ( ; ) , 使 U A E 则称 点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 c U A E U A E ( ; ) ( ; ) 且 (iii) 界点—— 若 0, 恒有 c 2 (其中 E E = R \ ), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 E. 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意: 称为 E 的外部
只有当OEcE时，E的外部与E才是两个相同 的集合. 例1设平面点集（见图16-3) y D={(x,y)川1≤x2+2<4(4) 满足1<x2+y2<4的一切点都 是D的内点；满足x2+y2=1 2 的一切点是D的界点，它们都属 图16-3 于D;满足x2+y2=4的一切点也 是D的界点，但它们都不属于D. 前页 返回
前页 后页 返回 E E c 只有当 时, E 的外部与 E 才是两个相同 的集合. 2 2 D x y x y = + ( , ) 1 4 . (4) 图 16 – 3 x y O 1 2 例1 设平面点集（见图 16 – 3） 于D; 满足 x y 2 2 + = 4 的一切点也 2 2 是 D 的内点; 满足 x y + = 1 的一切点是 D 的界点, 它们都属 2 2 满足 1 4 + x y 的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于D
离1与点集E的上述关系是按“内外”米区分 此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近 意否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系： ①聚点一若在点A的任何空心邻域U(A)内都 含有E中的点，则称点A是点集E的聚点. 注1聚点本身可能属于E,也可能不属于E 注2聚点的上述定义等同于：“在点A的任何邻域 U(A)内都含有E中的无穷多个点” 注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集，记 前页 返回
前页 后页 返回 点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 旁是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U A( ) 内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U A( ) 内都含有 E 中的无穷多个点”. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记
作E(或E);又称EUE为E的闭包，记作E. 例如，对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为 D={(x,1≤x2+y2≤4}=D. 其中满足x2+y2=4的那些聚点不属于D,而其余 所有聚点都属于D. ()孤立点—若点A∈E,但不是E的聚点（即 有某6>0，使得U(A;)∩E=☑)，则称点A是 E的孤立点 注孤立点必为界点；内点和不是孤立点的界点必 前页 后页 返回
前页 后页 返回 d E E ( ) ; 或 d 作 又称 E E 为 E 的闭包, 记作 E. 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为 d 2 2 D x y x y D = + = ( , ) 1 4 . 其中满足 2 2 x y + = 4 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 A E , 但不是 E 的聚点（即 有某δ>0, 使得 U A E ( ; ) ), = 则称点 A 是 E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必