线性代数第一章 §5.4实对称矩阵的相似对角形 >一、实对称阵特征值特征向量的性质 >二、实对称矩阵对角化的方法 上页 下页 北返回 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称阵特征值特征向量的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 上页 下页 返回
线性代数第五章 实对称阵特征值特征向量的性质 上节讨论了一般矩阵与对角形矩阵的相似问 题，现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正 交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理， 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 一、实对称阵特征值特征向量的性质 上节讨论了一般矩阵与对角形矩阵的相似问 题，现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正 交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理
线性代数第五章 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数！为对称矩阵的特征值，复向量x为 对应的特征向量，即 Ax=1xx10 用1表示l的共轭复数，表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ix)=1x. 转置右乘x:'Ax=x'Ix=Ix'x 由AK=IX,两边左乘配得影'Ax=x'lx=Ix'X 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 转置右乘x: 由
线性代数第五章 上面两式相减，得 (0-l)x=0. 但由于x10, 所以 x=axx,=月x10D(-7)=0, i=1 i=1 即1=1，由此可得1是实数. 即：实对称矩阵的特征值为实数 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 上面两式相减，得 即：实对称矩阵的特征值为实数
线性代数第五章 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量是正交的. 证明设p1,P,分别是的不同的两个特征值11,1， 的特征向量，即 Ap=1 P,Ap2 =12P2,QA=Ag I p=(I P)=(Ap )pCAg=p.CA, 两边右乘p得：l1pp2=pAp2=p2P2=12P,p2, b(l1-12p,p2=0. Q11112,1p,p2=0.即p与p2正交. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量是正交的
线性代数第五章 即：重特征值，对应r个线性无关的特征向量 版权所有：山东理工大学理学院
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线性代数第五章 证明设的的互不相等的特征值为11,12，L,1, 它们的重数依次为r,2,L,r,(+2+L+”,=). 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和 引理5.4.3（重根的特征值，有个无关的特征 向量)可得： 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和 引理5.4.3(r重根的特征值，有r个无关的特征 向量)可得：
线性代数第五章 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正 交，故这n个单位特征向量两两正交， 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=P'AP=L 其中对角矩阵L的对角元素含个11，L,”个1，恰 是的n个特征值. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正 交，故这n个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵P，则
线性代数第五章 二、实对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值：11,12，L,1,其重数分别为 1,2,L,r,; 2.由(A-1,E)x=0,求出A属于特征值l 对应的个特征向量； 3.将特征向量正交化、单位化； 4.以特征向量为列向量写出正交矩阵P; 则P1AP=P'AP=L. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3. 将特征向量正交化、单位化; 二、实对称矩阵对角化的方法 4. 以特征向量为列向量写出正交矩阵P； 1. 求A的特征值：
线性代数第五章 解(1)第一步求A的特征值 4-1 0 0 A-IE= 0 3-1 1 =(2-1)(4-1)2, 0 13-1 得特征值11=2,1，=13=4. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 解 (1)第一步 求A的特征值