§1可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性，这是多 元函数微分学最基本的概念.然后给出对单 个自变量的变化率，即偏导数.偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用 前页
前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多 元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件
一、可微性与全微分 定义1设函散z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义.对子P(x,y)=(x+Dx,+Dy)iU(P),若f在 P的全增量Dz可表示为： Dz=f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo2yo) ADx+BDy+o(r), (1) 共中A,B是仅与点P,有关的常散，r=√Dx2+D2, 0(r)是r的高阶无另小量，则称f在点P,可傲. 并称(I)式中关子Dx,Dy的线性表达式ADx+BDy
前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 内有定 义.对于 若 f 在 的全增量 (1) 其中A,B是仅与点 有关的常数, 的高阶无穷小量, 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于
为f在P的全傲分，犯（作 dz le=df(xo2 yo)=ADx+BDy. (2) 电(1)，(2)可见，岁|Dx,|Dy|克分J时，全微分dz 可作为全馆量Dz的近似值，于是有近似公式： f(x,y)》f(x,y)+A(x-x)+B(y-y).(3) 在使用上，有时也把()式写成如下形式： D=ADx+BDy+a Dx+bDy, (4) 返里lima=limb=0. (D,Dy)®(0,0)(Dx,Dy)®(0,0) 前
前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 充分小时, 全微分 这里 (4) (2) 为 的全微分, 记作 可作为全增量 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： (3)
例1考察f(x,y)=xy在任一点(x,)的可微性. 解f在点(xo,y)处的全增量为 Df(xo2Fo)=(xo+Dx)(Jo+Dy)-xoYo =oDx+xoDy+DxDy. 由于IDxD=rDxI IDyL(0,) 因此DxDy=o(r)从而f在(K,J)可微，且 df=yoDx+xoDy. 前页
前页 后页 返回 例1 考察 解 f 在点 处的全增量为 由于
二、偏导数 由一元函数傲分学知道：若f(x)在x可微，则 f(+Dx)-f(x)=ADx+o(Dx),其中A=f4x). 现在来对轮：省二元函数∫(K,y)在点(Xoy0)可傲 时，()式中的常数A,B应取怎样的值？ 为此在(4式中先令Dy=0(Dx10),这时得到f关 于x的偏增量为 D=ADx+aDx或 =A+· Dx
前页 后页 返回 二、偏导数 由一元函数微分学知道: 若 则 现在来讨论: 当二元函数 在点 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在(4)式中先令
现让Dx®0，由上式便得A的一个极限表示式 4=lim D3=1imfx+Dc,)-fa）.(⑤) Dx®0D Dx®0 Dx 容易看出，（⑤）式右边的极限正是关于x的一元函数 f(x,yo)在x=七处的导数 类似地，在(4)式中令Dx=0(Dy10),又可得到 B=lim D, =1imfm+D)fn）,6) DyR0 Dy Dy®0 Dy 它是关于y的一元函数f(x,y)在y=y处的导数， 二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自 前门
前页 后页 返回 (5) 容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数 类似地, 又可得到 (6) 它是关于 y 的一元函数 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自
变量的导数称为该函数的偏导数，一般定义如下： 定义2设函数z=f(x,y),(x,y)iD,且f(x,Jy)在 x的某邻域内有定义.则当极限 lim D3=lim f,+Dc,)-fnn） (7) Dx®OD Dx®0 Dx 存在时，称此极限为∫在点(x,y)关于x的偏导数， 记作 f(),或 f z x (x0) Ix
前页 后页 返回 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下: 则当极限 存在时, 称此极限为 关于x 的偏导数, 记作 定义 2 (7)
类似地可定义f在点(x,)关于y的偏导数： D, lim Dy®0Dy m ay) Dy®O Dy 记作 f(x),或 f z y (00) y (x0,J0) 注1这里 1,1 是专用于偏导数的符号，与一元 Ix y 函数的导数符号d相仿，但又有区别。 dx 前页页
前页 后页 返回 类似地可定义 关于 y 的偏导数: 记作 注1
注2在上迷定义中，∫在点（心，y)存在对x(或y) 的偏导数，此时f至少在 (x,y)y=yox-xokd (或{(x,y)川x=x,ly-<d})上必须有定义. 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数. 若函散？=f(x,y)在区域D上年一点(x,y)都存在 对X(或对y)的偏导数，则得到？=f(x,y)在D上 对x(或对y)的偏导函数（也简称偏导数），记作 前页
前页 后页 返回 注2 在上述定义中, 存在对 x (或 y) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数． 若函数 在区域 D 上每一点 都存在 对 x (或对y)的偏导数, 则得到 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
才（比，）或fx,)E x或f四6 y 0 也可简地写作3，或，或 1r6 Iy e 偏导散的几何意义：？=f(x,y)的几何图象通常是 三雅空向中的曲面，设P(x0,y0,0)为此曲面业一 点，其中=f(0,o).过点P作平面y=y0,它与 曲面相交得一曲线： C:y=y0,?=f(x,y). 前过
前页 后页 返回 偏导数的几何意义: 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 为此曲面上一 点, 其中 曲面相交得一曲线：