线性代数第四章 第四章 线性方程组 。S4.1线性方程组的解的判别 ●S4.2齐次线性方程组的解的结构 ●§4.3非齐次线性方程组解的结构 上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 第四章 线性方程组 §4.2 齐次线性方程组的解的结构 §4.1 线性方程组的解的判别 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 上页 下页 返回
线性代数第四章 §4.1线性方程组的解的判别 n元线性方程组 i411x1+a12x2+L+41nxn=b1 az+a22x2+L+aznx=b2 (4-1) LLLLLLLLL am+am4mn=bm 记 012 L ain bù e L ǘ L22 2nú A=64 422 L A= b2 eL L L Lú eL L L L ú ě0ml m2 mn ěml L 系数矩阵 增广矩阵 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 n 元线性方程组 记 §4.1 线性方程组的解的判别 系数矩阵 增广矩阵
线性代数第四章 ex1ù eb,ù eú e ú x= èr2i b= e e Mu e Mu eú e.u exn ěbmi 于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax=b (4-2) 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩阵具有一一对 应关系，对方程组进行加减消元相当于对其增广矩阵进行初等 变换，因此求解方程组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化 问题.一般线性方程组的解可能会出现三种情况： 有唯一解、有无穷多解或无解. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 Ax = b 于是，这个非齐次方程组可以记为 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩阵具有一一对 应关系，对方程组进行加减消元相当于对其增广矩阵进行初等 变换，因此求解方程组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化 问题.一般线性方程组的解可能会出现三种情况： 有唯一解、有无穷多解或无解 . (4 — 2)
线性代数第四章 一、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组： iax+a2x2+L+ainx=b 4+0z,+L+an,=b, LLLLLLLLL (4-1) amdm22amnn=bm 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩， 即R(A)=R(A) 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 一、线性方程组解的判别
线性代数第四章 证：对于一般线性方程组 i anx+azx2++aunx=b a2+azx2+L+anx=b2 (4-1) LLLLLLLLL amx+am2x2+amnxn=bm 设 eauu e412ù eainu ebù eú eú eú 621úa,=L,0m= è42mi,b= e4ú eu e4ú eu eú eú eú e,ú edm edm2 ěLmni m 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 证： 对于一般线性方程组 设
线性代数第四章 则线性方程组（4-1)可写为 x,01+x202+4+Xn4n=b(4-3) 并且 A=1u24unǜ A=14244mbǜ 必要性 若方程组有解，则4-3)知b可由a1,42,4,an线性 表示，于是向量组a1,02,4,4n与向量组a1,42,4,an,b 等价.由性质2.3.1知秩{a1,a2,4,an}=秩{a12,4,n,b}, 所以R(A)=R(A). 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 则线性方程组（4-1）可写为 并且 必要性
线性代数第四章 充分性 若R()=R(),则向量组a1,42,4,4n与向量组u1,42) 4,m,b有相同的秩，所以向量组01，a2,4,an的最大无关 组一定是a1,42,4,4n,b的最大无关组，因此b可由向量组 41,42,4,0n线性表示.4-3)知方程组(4-1)有解. 版权所有：山东理工大学理学腕
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 充分性
线性代数第四章 推论1当R(A)1R(A)时，方程组(4-1)无解. 推论2如果方程组(4-1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R()=n. 推论3如果方程组(4-1)有解，且R(A)=R(A)<n, 则方程组(4-1)有无穷多解. 1x1-2x2+3x3x4=1, 例1判断方程组i3x,-x2+5x3-3x4=2,是否有解. 12x1+x2+2x3-2x4=3 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数第四章 解：对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， é1-2 3-11ù2-3r1-2 3 -11ù A= 83 -1 5 -3 u 5-4 0 212-2 3ǘ5-2r05-4 01 1-2 3-11ù 5 -4 0 1 I 00 00 2自 可见R()=2,R(A)=3,所以方程组无解. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 解：
线性代数第四章 1-2x1+x2+X3=-2, 例2方程组i七-2x2+x3=1,当1取何值时有解？ }x,+x2-2x3=12 并求其全部解 解：对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， 211-2《511-2120 A 81-2 1 ú è1-2 110 e11 -2 12日 2 1 1 -24 1 -2 12 + el 1 -2 ù -3 3 1-12 心 0 -3 3 ú 品 5+2 3 -3 -2+2l 0 0 0 -2+1+12 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第四章 版权所有：山东理工大学理学院 解：