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版权所有：山东理工大学理学院 §5.2 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质 上页 下页 返回
线性代数第五章 一、特征值与特征向量的概念 定义5.2.1 设A是n阶矩阵，如果存在 数2和n维非零向量x,使得 Ax=Ax 成立，则入被称为矩阵A的特征值，向量x 被称为A对应于（属于）特征值的特征向量. 由 Ax=1xP (A-1E)x=0 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 一、特征值与特征向量的概念
线性代数第五章 说明： 1.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方 程组(A-1E)x=0有非零解的1值，即满足方程 A-1E=0 的1，就是A的特征值. 2.一个特征向量只能属于一个特征值，但 是一个特征值可能有多个特征向量： 下面讨论如何来求方阵的特征值和特征向量. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 n 说明： 下面讨论如何来求方阵的特征值和特征向量
线性代数第五章 二、特征值与特征向量的求法 特征值满足方程A-1E=0 12 L L U 024 422-1 02 =0 L L L L L 称以l为未知数的一元n次方程A-IE=0 为A的特征方程； 记f0)=A-1E, 它是l的次多项式，被称为A的特征多项式， 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 特征值满足方程 二、特征值与特征向量的求法
线性代数第五章 12 L L 由A-lE= 021 422-1 =0 L L L L L ann-1 根据行列式的定义，有 (-1y1"-1-(a,+a2z+L+am)1nL+A=0 1"-（a1+22+L+am）1nL+(-1yA=0 设n阶方阵A=(a)的特征值为l1,l2,L,ln 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 根据行列式的定义，有
线性代数第五章 根据一元次方程根与系数的关系，可得： (1)11+12+L+ln=41m+a22+L+4m; (2)1l2L1m=A. 称a11+42+L+ann为矩阵A的迹，记作Tr(A),即 Tr(A)=au+az+L+ann 版权所有：山东理工大学理学院
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线性代数第五章 é3-1ù 例1求方阵A3的特征值和特征向 解：A的特征多项式为 4-1E=33=412) A的特征值为l,=2,1,=4 下面求每个特征值对应的特征向量，即求解 线性方程组(A-1E)X=0. 对11=2，解方程组(A-2E)x=0 版权所有：山东理工大学理学腕
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 解：A的特征多项式为 解方程组
线性代数第五章 3- 2-1ùexùe1-1ùexù (A-2E)x= 8-1 3-28食11限、8 1-1ùexd 即 0,0b基础解系：八=，1IG 0 ě比2i \卫，=(1,1)伪属于特征值2的一个特征向量， 其全部特征向量为p(k10) 同理可求属于l,=4的一个特征向量为p,=(1,1)g 其全部特征向量为仰2（化k10), 版权所有：山东理工大学理学院
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线性代数第五章 e-21 1ù 刚2求方阵4=0 2 的特征值和特征向量。 413 解的特征多项式为 -2-1 A-1E= 0 2-1 0 -4 1 3-1 =-(L+1)0-2)2, 解得的特征值为11=-1,12=1，=2. 版权所有：山东理工大学理学腕
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 解
线性代数第五章 (1)当l,=-1时，解方程(A+E)x=0由 e-1 1 1ù 1 0 -1ù A+E 80 3 ® 1 ú？ 41 4日 0 0 0 é1d 得基础解系 P 1 故对应于1，=-的全体特征向量为 kp1(k10): 版权所有：山东理工大学理学院
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