CH4、控制系统的分析方法 早期的控制系统分析过程复杂而耗时,如想得到一个 系统的冲激响应曲线,首先需要编写一个求解微分方 程的子程序,然后将已经获得的系统模型输入计算机, 通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据,然后再 编写一个绘图程序,将数据绘制成可供工程分析的响 应曲线。 > MATLAB控制系统工具箱和 SIMULINK辅助环境的出 现,给控制系统分析与设计带来很多方便。 控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析 频域分析及根轨迹分析 20212/23
2021/2/23 1 CH4、控制系统的分析方法 ➢ 早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个 系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方 程的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机， 通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再 编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响 应曲线。 ➢ MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出 现，给控制系统分析与设计带来很多方便。 ➢ 控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、 频域分析及根轨迹分析
第一节控制系统的稳定性分析 、系统稳定及最小相位系统判据 口系统特征方程的一般形式为 D(s=as" +a,"+.+a n-13+ a. S 0 口对于连续时间系统,如果闭环极点全部在S平面左半平面, Re(p)<0,i=12,…,n则系统是稳定的;否则系统是不稳定的。 口对于离散时间系统,如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内, p<1.i=1.2,…,n则系统是稳定的。 口若连续时间系统的全部零点都位于S左半平面;或若离散时间系 统的全部零点都位于Z平面单位圆内,则系统是最小相位系统。 Re(z)<0,t=1,2,……,m <1=12 20212/23
2021/2/23 2 第一节 控制系统的稳定性分析 ❑系统特征方程的一般形式为 ❑对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面， 则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。 ❑对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内， 则系统是稳定的。 ❑若连续时间系统的全部零点都位于S左半平面；或若离散时间系 统的全部零点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。 一、系统稳定及最小相位系统判据 = − − − = + + + + = = n i n i n n i n n o D s a s a s a s a a s 0 1 1 ( ) 1 ... 0 Re(zi ) 0,i =1,2, ,m Re( pi ) 0,i =1,2, ,n pi 1,i =1,2, ,n zi 1,i =1,2, ,m
、系统稳定及最小相位系统的判别方法 1、间接判别(工程方法) 劳斯判据:劳斯表中第一列各值严格为正,则系统稳定 如果劳斯表第一列中出现小于零的数值,系统不稳定 胡尔维茨判据:当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维 茨矩阵为正定矩阵时,系统稳定。即系统稳定的充要条件 a.>O 特征方程的各阶古尔维茨行列式D(k=12,…,m全部为正 2、直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数,因此可 以直接根据零板点的分布情况对系统的稳定性及是否为最 小想位系统进行判断
2021/2/23 3 2、直接判别 MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可 以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最 小相位系统进行判断。 二、系统稳定及最小相位系统的判别方法 1、间接判别（工程方法） 劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定， 如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维 茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。即系统稳定的充要条件： 特征方程的各阶古尔维茨行列式 ( =1,2, , )全部为正。 0 D k n a k i
2 例exp040 2630 已知某系统的模型如右所示: x+ 47-8-5 y=[ +7l 要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。 例exp0402m 系统模型如下所示,判断系统的稳定性,以及系统 是否为最小相位系统。 3s3+16s2+4ls+28 G(S) s6+14s5+110s4+528s3+1494s2+2117+112 20212/23
2021/2/23 4 例exp04_01.m 已知某系统的模型如右所示： y x u x x u 2 5 6 1 7 1 0 0 1 7 2 1 6 4 7 8 5 2 6 3 0 1 2 1 2 = − + − + − − − = 要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。 例exp04_02.m 系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统 是否为最小相位系统。 14 110 528 1494 2117 112 3 16 41 28 ( ) 6 5 4 3 2 3 2 + + + + + + + + + = s s s s s s s s s G s
find(条件式) 用来求取满足条件的向量的下标向量,以列向量表示。 例如exp0401m中的条件式为rea(p>0),其含义就 是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下 标,并将结果返回到i向量中去。这样如果找到了实部 大于0的极点,则会将该极点的序号返回到i下。如果 最终的结果里ⅲ的元素个数大于0,则认为找到了不稳 定极点,因而给出系统不稳定的提示,若产生的ⅱ向量 的元素个数为0,则认为没有找到不稳定的极点,因而 得出系统稳定的结论 pzmap(p, z) 2根据系统已知的零极点p和绘给制出系统的零极点图
2021/2/23 5 ii=find(条件式) 用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。 例如 exp04_01.m中的条件式为real(p>0)，其含义就 是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下 标，并将结果返回到ii向量中去。这样如果找到了实部 大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。如果 最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳 定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量 的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而 得出系统稳定的结论。 pzmap(p,z) 根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图
第二节控制系统的时域分析 、时域分析的一般方法 系统仿真实质上就是对系统模型的求解。对控制系统来 说,一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示 个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述 响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对 象的响应,因此在仿真过程中,一般以某种数值算法从 初态出发,逐步计算系统的响应,最后绘制出系统的响 应曲线,这样可分析系统的性能。 控制系统最常用的时域分析方法是,当输入信号为单位 阶跃和单位冲激函数时,求出系统的输出响应,分别称 为单位阶跃响应和单位冲激响应 20212/23
2021/2/23 6 第二节 控制系统的时域分析 一、时域分析的一般方法 系统仿真实质上就是对系统模型的求解。对控制系统来 说，一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示。 一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。 响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对 象的响应，因此在仿真过程中，一般以某种数值算法从 初态出发，逐步计算系统的响应，最后绘制出系统的响 应曲线，这样可分析系统的性能。 控制系统最常用的时域分析方法是，当输入信号为单位 阶跃和单位冲激函数时，求出系统的输出响应，分别称 为单位阶跃响应和单位冲激响应
对一阶系统 微分方程:n+c(0)=r( dt 闭环传递函数:c(5=20)k+1(中7。1 um(s) K 参数:时间常数T 性能指标: 调节时间ts 超调量σ% 20212/23
2021/2/23 7 对一阶系统 微分方程： 闭环传递函数： 参数：时间常数 T 性能指标： 调节时间ts 超调量 σ % ( ) ( ) ( ) c t r t dt dc t T + = ) 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) K T Ts s K den s num s G s = + = + = = （其中
对二阶系统 微分方程:r2d(+2ema+0)=r(0) 闭环传递函数 num(s) G(S) 其中a=1 den(s) 54+250, s+o 参数:阻尼比 无阻尼自然振荡频率on 性能指标:上升时间tr;峰值时间tp:调节时间ts 超调量σ% 在 MATLABI中提供了求取单位阶跃和单位冲激输入下系 统响应的函数 求取系统单位阶跃响应:step 求取系统的冲激响应: impulse( 20212/23
2021/2/23 8 对二阶系统 微分方程： 闭环传递函数： 其中 参数：阻尼比ζ 无阻尼自然振荡频率ωn 性能指标：上升时间tr；峰值时间tp；调节时间ts； 超调量σ% 在MATLAB中提供了求取单位阶跃和单位冲激输入下系 统响应的函数。 求取系统单位阶跃响应：step() 求取系统的冲激响应：impulse() ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 c t r t dt dc t T dt d c t T + + = 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) n n n den s s s num s G s + + = = T n 1 =
1、step(函数的用法exp0403m y=step(num,dent):其中num和den分别为系统传递函数 描述中的分子和分母多项式系数,t为选定的仿真时间向 量,一般可以由t0 step: end等步长地产生出来。该函数 返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵 口yxt]-step(num,den):此时时间向量t由系统模型的特性 自动生成,状态变量x返回为空矩阵。 口yx+]=step(A,BC,D,iu):其中AB、C,D为系统的状态空间 描述矩阵,j用来指明输入变量的序号。x为系统返回的 状态轨迹 20212/23
2021/2/23 9 1、step()函数的用法 exp04_03.m ❑y=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数 描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向 量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数 返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。 ❑[y,x,t]=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性 自动生成, 状态变量x返回为空矩阵。 ❑[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系统的状态空间 描述矩阵，iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的 状态轨迹
口如果对具体的响应值不感兴趣,而只想绘制系统 的阶跃响应曲线,可调用以下的格式 step(num, den); step(num, den, t); step(A, B,C,D,iu, t); step(A, B, C, D, iu) 口线性系统的稳态值可以通过函数 again(来求取,其 调用格式为:dc= again(num,den)或de= again(a,b,c,d) 例exp04_04: 已知系统的开环传递函数:(=+8236 求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线 20212/23
2021/2/23 10 ❑如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统 的阶跃响应曲线，可调用以下的格式： step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)； step(A,B,C,D,iu)； ❑线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取，其 调用格式为：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d) 例exp04_04： 已知系统的开环传递函数： 求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。 s s s s G s 8 36 40 20 ( ) 4 3 2 + + + =