§2-2齐次变换及运算 刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同 矩阵表示转动和平移,有必要引(4×4)的齐次坐标变 换矩阵 平移的齐次变换 首先,我们介绍点在空间直角坐标系中的平移 如图2-9所示,空间某一点A,坐标为(x、y、z),当它 平移至A点后,坐标为(xy、z)以及
§2-2齐次变换及运算 • 刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同 一矩阵表示转动和平移，有必要引(4×4)的齐次坐标变 换矩阵。 • 一、平移的齐次变换 • 首先，我们介绍点在空间直角坐标系中的平移。 如图2-9所示，空间某一点A，坐标为(x、y、z)，当它 平移至A点后，坐标为(x、y、z)以及
△ △ (2-9) △z 或写成如下形式: n100△x「x 100 0△y 01
A'(x',y,z) YA(x, y,2) △y △x X 图2-9点的平移变换
也可以简写为 Trans(△x,△y,△z)a (2-10) 式中, Trans(xy,z)表示齐次坐标变换的平移算子。且 100△a 010△y Trans(△x,△y,△z)= (2-11) 001△z 其中第四列元素xy,z分别表示沿坐标轴ⅩYZ的移动量。若算子 左乘,表示坐标变换是相对固定坐标系进行的假如相对动坐标 系进行坐标变换则算子应该右乘。平移的齐次变换公式(2-10) 同样适用于坐标系、物体等的变换
式中，Trans(x,y,z)表示齐次坐标变换的平移算子。且 也可以简写为 其中第四列元素x,y,z分别表示沿坐标轴X,Y,Z的移动量。若算子 左乘，表示坐标变换是相对固定坐标系进行的;假如相对动坐标 系进行坐标变换,则算子应该右乘。平移的齐次变换公式（2-10） 同样适用于坐标系、物体等的变换
例2-4有下面三种情况(图2-10):动坐标系{A}相 对于固定坐标系的X0、y0、z0轴作(-1,2,2)平移后到 A3},动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的X Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A};物体Q相对于 固定坐标系作(2,6,0平移后到Q。已知: 11 00 A 0100 1000 0010 001 1001 1301 130 11 写出坐标系{A}、{A}以及物体Q的矩阵表达式
• 例2-4 有下面三种情况(图2-10)：动坐标系{A}相 对于固定坐标系的X0、y0、z0轴作(-1，2，2)平移后到 {A’}，动坐标系{A}相对于自身坐标系（即动系）的X、 Y、Z轴分别作(-1，2，2)平移后到{A“}；物体Q相对于 固定坐标系作(2，6，0)平移后到Q’。已知： 写出坐标系{A}、{A}以及物体Q的矩阵表达式
()Y 1,0,1) Ay (-1,3,0) (1,0,1) (-1,0,0) (1,6,1) X* A" (1,6,0) (1,0,0) (1,30) 1,9,0) (3,6,1) (3,6,0) (3,9,0) 图2-10坐标系及物体的平移变换
解动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为 00 Trans(△x,△y,△z)= 001 221 000
解 动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为
A}坐标系是动系{A}沿固定坐标系平移变换得来 的,因此算子左乘,{A}的矩阵表达式为 100 A=Tans(-1,2,2)A=0102 001 010 11 0001 03 0 13
{A}坐标系是动系{A}沿固定坐标系平移变换得来 的，因此算子左乘，{A}的矩阵表达式为
A}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得来 的,因此算子右乘,{A}的矩阵表达式为 00 A"=A Trans(-1, 2, 2) 0100 000 01|10102 0012 000 0001 0 000 0
{A}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得来 的，因此算子右乘，{A}的矩阵表达式为
物体Q的平移坐标变换算子为 002 Trans(△x,△y,△z)= 0106 0010 0001 因此, 00 111-1 010600 Q=ran(2,6=01ol01100 003 0001111111 311331 666699 001100 111111 经过平移坐标变换后,坐标系{A},坐标系{A"}以及物体Q的实际情况已图解在图2-10中