设凹镜是由xOy面上曲线L:y=y(x)(y>0)绕x轴旋转而成, 光源在原点.确定函数y(x)所满足的微分方程 在L上任取一点M(x,y),作L的切线交x轴于A.点O发出的 光线经点M反射后是一条平行于x轴射线.由光学及几何原理 可以证明OA=OM

12.5全微分方程 如果P(x,y)dx+(x,y)dy恰好是某一个 函数u=u(x,y)的全微分: 那么方程P(x,y)dx+(x,y)dy=0就叫做全微 分方程

定理 如果函数f(x)在区间上的导数恒为零,那么f(x)在区 间上是一个常数 证明在区间上任取两点x1,x2(x1x2),应用拉格朗日 中值定理,就得

6.1定积分的元素法 设y=(x)≥0(x∈[a,b])在几何上,积分上限函数 A(x)=f(t)dt 表示以[a,x]为底的曲边梯形的面积.yy=x) 微分dA(x)=f(x)dx表示点x处以 dx为宽的小曲边梯形面积的近似值

积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂.为了实用的方便,往往把常用的积分公式汇集成表,这种表叫做积分表.求积分时,可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后,在表内查得所需的结果

性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则证明因为m≤f(x)≤M,所以

定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x处可导,且在x处取得极值, 那么f(x)=0. 简要证明:假定f(x)是极大值.根据极大值的定义, 在x的某个去心邻域内有f(x)