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1、行列式 1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2行列式 2.代数余子式的性质: ①、A,和a的大小无关 ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A| 3.代数余子式和余子式的关系:M=(-1)AA=(-1)M 4.设n行列式D:

定义10:设A,B是两个非空集合,f是A到B的 一个二元关系。若对Va∈A,都存在唯一的b∈B, 使得(a,b)∈f,则称f是从A到B的一个映射, 定义14:设A,B,C为三个集合,称从A×B 到C的一个映射为A与B到C的一个二元 代数运算,特别地,当A=B=C时, 称为A上的一个二元运算

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第四章4-3线性映射与线性变换(续) 4.3.4线性变换的定义与运算 定义线性空间到自身的线性映射称为线性变换,记Hom(V,V)为Endr(V)或End (V)。 例恒同变换 E:V→V, >a. 例投影(射影)设V=V1V2,Va∈V,a=a+a2(a1eV,a2∈V2),定义V到 V的投影P(a)=a1,V到V2的投影P2(a)=a2 定义End(V)中的运算(加法、数乘和乘法) 加法定义为(A+)(a)=A(a)+B(a)(Va∈V) 数乘定义为(kA)(a)=k(A(a)),其中k∈K; 乘法(复合)定义为(AB)(a)=A(B(a)

第一学期第二十八次课 命题如果n维空间V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则A在任一不变子空 间M上(的限制)的矩阵相似于对角矩阵。 证明若V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则V可以分解为特征子空间的直 和。记A的所有特征值为,2,2,则V=V4V,取M=nV, 断言M=M1M2⊕M,首先要证明M=M1+M2+…M “2”显然:“”a∈M,则存在a1∈V,使a=a1+a2+…+a,两边 同时用A(j=1,2,…,t-1)作用,得到表达式

第六章6-2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 证明设入∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则≠0.齐次线性方程组(e-a)X=0 在C内有非零解向量 ( a:a 显然Aa=a=a'a'=a'a'a==a'aa=aa=aa=1从而 入|=1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根=e

3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明,给定二维向量空间中的单位正交标架,设向量a,B的坐标分别 为(a1,a2)和(b,b2),则由向量a,B张成的平行四边形的有向面积为ab2-a2b,这里记 为;给定三维空间内右手单位正交标架,设向量a,B,y的坐标分别为(a1,a2,a3) (b1,b2,b3)和(1,C2,C3),则由向量a,B,y张成的平行六面体的有向体积为 (ab2-a2b1)c1+(a3b1-ab3)c2+(ab2-a2b1)C3

第三章3-1,3-2n阶方阵的行列式 3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明,给定二维向量空间中的单位正交标架,设向量a,B的坐标分别 为(a1,a2)和(b,b2),则由向量a,B张成的平行四边形的有向面积为ab2-a2b,这里记 为;给定三维空间内右手单位正交标架,设向量a,B,y的坐标分别为(a1,a2,a3) (b1,b2,b3)和(1,C2,C3),则由向量a,B,y张成的平行六面体的有向体积为 (ab2-a2b1)c1+(a3b1-ab3)c2+(ab2-a2b1)C3

4.2.2子空间的交与和,生成元集 定义4.13设a1,a2,,a,∈V,则{ka1+k2a2++ka,k∈K,i=12}是V的 一个子空间,称为由a1,a2,,a,生成的子空间,记为(aa2,,a)易见,生成的子 空间的维数等于a1,a2,…,a的秩。 定义4.14子空间的交与和 设V1,V2为线性空间VK的子空间,定义 vnv2={ VEV2},称为子空间的交 V1+V2={v+v2v∈V1,v2∈V2},称为子空间的和。 命题4.9VNV2和V1+V2都是V的子空间