一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数,则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数

设函数fx)在点x的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是fx)的泰勒 公式中的余项R(x)当n->0时的极限为零,即

定理1阿贝尔定理) 如果幂级数Σaxn当x=x(x≠0)时收敛,则适合不等式 kxl的一切x使幂级数Σanx绝对收敛. 反之,如果幂级数Σanxn当x=x,时发散,则适合不等式 x>lxl的一切x使幂级数axn发散

简要证明仅就uvn(n=1,2,…)的情形证明 设级数v收敛,其和为,则级数un的部分和 S=u1+u2++unv1+v2+…+vno(n=1,2,), 即部分和数列{sn}有界.因此级数un收敛 反之,若级数un发散,则级数∑v,必发散.这是因为如果 级数∑v收敛,由已证结论,级数un也收敛,矛盾

高斯公式:=Pdydz+dx+ Rdxdy. 简要证明设Ω是一柱体,下边界曲面为1:z=z1(x,y),上 边界曲面为2:=2(x,y),侧面为柱面3;Σ1取下侧,Σ2取上侧, Σ3取外侧. 根据三重积分的计算和对坐标的曲面积分的计算得

如果曲面由方程z=z(x,y)给出,则有 Dxy 简要证明: 已知(△S)=(△),其中当cosy>0(C取上侧)时取正号, 当cosy0(取下侧)时取负号 又当(,np)是上的一点时,有5=(5,n)因此有

设P(x,y)及Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数, 则P(x,y)dx+(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充分 必要条件是等式在G内恒成立

若P(x,y)是定义在光滑有向曲线 L:x=0(1),y=0(0)(≤B 上的连续函数,L的方向与的增加方向一致,则

定理4(介值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)(b),那么,对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点5 使得=C

利用连续性求极限举例 例1求lim√1-x2. x→0 解初等函数f(x)=√1-x2在点xg=0是有定义的