本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论.但R上的Lebesgue测度与 Lebesgue积分仍是最重要的情形.这不仅是因为R上的Lebesgue积分具有广泛的应用,而 且因为R”上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例.本节将讨论n维欧式空间中的一些 常见的点集 用R表示n维欧式空间,即

一般说来,要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非 易事.设R是一个环,(R)是由R生成的-代数一般情况下,o()要比大得多 显然,在R上定义一个测度要比直接在(R定义容易.因此,如果我们要在o()定义 一个满足某些特定条件的测度,我们可以先

在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集.为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生了可 测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数.特别地,欧氏空间R上的 Lebesgue可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我们在讨论积 分的时候更加便利

本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节将 证明重要的 Lusin定理,它表明 Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数 逼近这个结果在有些情况下是很有用的

本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,积分的不等式性质和积分的绝对连续性等这些性质都没有涉及到积分号下取极限的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍

本节讨论直线上的 Riemann积分包括广义 Riemann积分) 与 Lebesgue积分之间的关系.同时给出 Riemann可积函数的一个判别条件

乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理 Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积 分顺序的定理Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用

1.证明以下各式 (1). AUB=(A B). (2)..-UB, =UN (A,,)

在以下各题中,可测集,可测函数和测度,除题目中已有说明的外,都是关于某一给定 的可测空间(X,)或测度空间(X,,μ)的

习题五 1.设E是R中一族(开的、闭的、半开半闭的区间的并集.证明E是 Lebesgue可测集