一、标准正交基 定义5欧氏空间V的一组非零的向量如果它们两两正交,就称为一个正交 向量组 按定义,由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组 正交向量组是线性无关的这个结果说明,n维欧氏空间中,两两正交的非 零向量不能超过n个

对于给定的n维线性空间V,A∈L(V),如何才能选到V的一个基使关于 这个基的矩阵具有尽可能简单的形式由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相 似的因而问题也可以这样提出在一切彼此相似的n阶矩阵中如何选出一个形 式尽可能简单的矩阵这一节介绍不变子空间的概念,来说明线性变换的矩阵的 化简与线性变换的内在联系

第五章5-1双线性函数 5.1.1线性空间上的线性函数的定义 1、线性函数的定义 定义设V为数域K上的线性空间,fV→K为映射,满足 f(a+B)=f(a)+f(),va,B∈V;f(ka)kf(a),∈k,aev,则称f为由V 到K的一个线性函数(即f为V到K的一个线性映射) 如同一般的线性映射,有以下事实: i)、f:V→K是线性函数当且仅当f(ka+1B)=kf(a)+lf(B) i)、f(0)=0; i)、f(-a)=-f(a) 命题数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上 的n维线性空间

在 n 维线性空间中，任意 n 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不 同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变 化的

一、可逆矩阵的概念 在§2 我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否 也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题. 这一节矩阵，如不特别声明，都是 nn 矩阵

即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 用数学归纳法,定理1可以推广到多个因子的情形,即有 推论1设A1,A2,…A是数域P上的mXn矩阵,于是 1A1A2…AHA1‖A2|…|A 定义6数域P上的n×n矩阵A称为非退化的,如果|A|≠0,否则称为退化

第三章3-1,3-2n阶方阵的行列式 3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明,给定二维向量空间中的单位正交标架,设向量a,B的坐标分别 为(a1,a2)和(b,b2),则由向量a,B张成的平行四边形的有向面积为ab2-a2b,这里记 为;给定三维空间内右手单位正交标架,设向量a,B,y的坐标分别为(a1,a2,a3) (b1,b2,b3)和(1,C2,C3),则由向量a,B,y张成的平行六面体的有向体积为 (ab2-a2b1)c1+(a3b1-ab3)c2+(ab2-a2b1)C3

一、拉普拉斯定理 定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列( k  n )，位于这些行和列的 交点上的

准对角矩阵称为 Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵J称为 Jordan块 定理设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换.如果A的特征值全属于K, 则A在V的某组基下的矩阵为 Jordan形,并且在不计 Jordan块的意义下 Jordan形是唯 一的. 证明:对n作数学归纳法

一.(本题20分)设K为数域.给定K4的两个子空间 M={(x1,2,3,4)|21-x2+4x3-3x4=0,x1+x3-x4=0 N={1,x2,x3,4)3x1+x2+x3=0,7x1+7x3-3x4=0} 求子空间MN和M+N的维数和一组基 二(本题10分)在K4内给定 a1=(1,-1,1,1),a2=(2,-2,0,1). 令M=L(a1,a2).试求商空间K4/M的维数和一组基 三.(本题20分)给定数域K上的3阶方阵 1-11 A=24-2 3-35 1.求K上的3阶可逆方阵T,使T-1AT为对角矩阵 2.对于任意正整数m,求Am