古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思 考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖 论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它归纳为六种类型,分上、中、下三个部份

《竞赛数学》课程教学资源（阅读文章）数学悖论与三次数学危机

上海交通大学：《数学史》教学资源_周智恺-悖论与集合论 Paradox & Sets

《竞赛数学》课程教学资源（阅读文章）有趣的悖论－－绞刑架与理发师的故事

《高中数学》全程设计同步配套教学课件（B版选修第二册）第三章 排列、组合与二项式定理_3.2 数学探究活动生日悖论的解释与模拟

1.1 集合的表示 1.2 集合的子集 1.3 笛卡尔积 1.4 集合的运算 1.5 罗素悖论

1.集合恒等式与对偶原理 2.集合恒等式的证明 3.集合列的极限 4.集合论悖论与集合论公理

实验1：计算超几何分布 实验2：频率稳定性实验 实验3：利用频率估计自然对数底e 实验4：蒲丰投针实验，利用频率估计圆周率 实验5：生日悖论实验

1 概率论基础 1.1 为什么需要概率空间 1.1.1 理发师悖论 (Barber paradox) 1.1.2 贝特朗悖论 (Bertrand’s Paradox) 1.1.3 非悖论, 生日问题 1.2 概率空间 1.2.1 可测空间 1.2.2 概率空间 1.2.3 条件概率 1.2.4 全概率公式和 Bayes 公式 1.3 随机变量和分布函数 1.3.1 数字特征 1.3.2 矩函数 (Moment Generating Function) 1.3.3 特征函数 (Characteristic function) 1.3.4 反演公式及唯一性定理 1.3.5 多维随机变量的特征函数 1.4 独立性与条件期望 1.4.1 独立性 1.4.2 条件期望 1.4.3 条件分布 1.4.4 一般条件期望 ⋆ 2 随机过程的基本概念与类型 2.1 随机过程的背景 2.2 基本概念 2.3 有限维分布与 Kolmogorov 定理 2.3.1 随机过程的数字特征 2.4 随机过程的基本类型 2.4.1 平稳过程 2.4.2 独立增量过程 3 Brown 运动（维纳过程） 3.1 基本概念与性质 3.2 维纳过程的分布 3.3 维纳过程的数字特征 3.3.1 二次变差 3.4 Brown 运动的鞅性质 3.5 Brown 运动的最大值变量及反正弦律 3.6 Brown 运动的几种变化 3.6.1 Brown 桥 3.6.2 几何 Brown 运动 4 Poisson 过程 4.1 齐次泊松过程 4.1.1 Poisson 过程数学模型 4.1.2 齐次泊松过程的数字特征 4.1.3 时间间隔与等待时间的分布 4.1.4 到达时间的条件分布 4.1.5 更新计数过程 4.2 复合泊松过程 4.2.1 复合 Poisson 过程 4.3 非齐次泊松过程 (了解内容，不考察) 5 鞅 (Martingale) 过程 5.1 基本概念 5.2 鞅的停时定理及其应用 5.2.1 鞅的停时定理 5.3 连续鞅

1、投票论:(又称阿罗悖论)所谓投票悖论就是指如果存在着至少三个可由社会成员以任何方式自由排序的备选方案进行投票选择,可能会出现循环的选择结果的情况。 2、峰值:是指如果把关于公共产品量或公共支出量的议案按顺序,比如按数量大小排列,则其中必有一种议案所获得的偏好较大,这种偏好较大的议案称为峰值