悖论浅谈数学思想方法简介
悖 论 浅 谈 数学思想方法简介
1何谓论一个命题，无论肯定它还是否定它都将导致矛盾的结果，这种命题称为论数学中所产生的论称为数学悖论
1.何谓悖论 一个命题，无论肯定它还是否定它 都将导致矛盾的结果，这种命题称为 悖论. 数学中所产生的悖论称为数学悖论
2历史上几个有名的惊论(1）阿基里斯悖论（2）伽利略悖论（3）撒谎者论（4）理发师悖论
2.历史上几个有名的悖论 （1）阿基里斯悖论 （2）伽利略悖论 （3）撒谎者悖论 （4）理发师悖论
3研究悖论的意义产生论的原因在于人们主观认识上的局限忆由于对极限的片面理解而造成的．盾。由于对有限量适用的“整体大于部分”的结论套用于无限量而造成的因把作论断的话与被论断的话混为一谈而造成的.子比产生于康托尔集合论的局限性正解(4)理发师悸论(3)撒谎者悸论
3.研究悖论的意义 产生悖论的原因在于人们主观认识上的局 限性与客观事物本身的辩证性发生矛盾. 反映在数学悖论方面，则是一定的数学理 论的局限性与客观事物的量的辩证性发生矛 盾. （1）阿基里斯悖论 （2）伽利略悖论 （3）撒谎者悖论 （4）理发师悖论 由于对极限的片面理解而造成的. 由于对有限量适用的“整体大于部分”的 结论套用于无限量而造成的. 因把作论断的话与被论断的话混为一谈而 造成的. 产生于康托尔集合论的局限性
4.例谈例1贝克莱悸论本章所介绍的关于牛顿微积分基础的质疑就称为贝克莱悸论贝克莱针对于牛顿的无穷小“"提出质问：无穷小“o"是零还是非零？若肯定“o"是零，那么新点x+o与旧日点x应该是同一个点，但牛顿的出发点是x+0与x不是同一个点,表明“o”不是零;若肯定“”不是零,但牛顿在后面的推导中把含“o”项看作“没有”，又表明“o”是零.导致矛盾。贝克莱悖论的挑战促进了极限理论的发展和完善在极限理论指导下，把牛顿的“瞬”（即o）定义为以零为极限的变量”，便可消除贝克莱悸论
4.例谈 例1 贝克莱悖论 本章所介绍的关于牛顿微积分 基础的质疑就称为贝克莱悖论. 贝克莱针对于牛顿的无穷小“o”提出质问:无穷小 “o”是零还是非零?若肯定“o”是零,那么新点x+o与 旧点x应该是同一个点,但牛顿的出发点是x+o 与x不 是同一个点,表明“o”不是零;若肯定“o”不是零,但 牛顿在后面的推导中把含“o”项看作“没有”,又表 明“o”是零.导致矛盾. 贝克莱悖论的挑战促进了极限理论的发展和完善, 在极限理论指导下，把牛顿的“瞬”（即o）定义为 “以零为极限的变量” ,便可消除贝克莱悖论
例2罗素论罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成.然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律，一个元素或者属于某个集合或者不属于某个集合.因此.对于一个给定的集合,问是否属于它自已是有意义的.但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之如果S不属于S.同样根据定义,S就属于S.无论如何都是矛盾的
例2 罗素悖论 罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身 元素的集合所组成.然后罗素问:S是否属于S 呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合, 或者不属于某个集合.因此,对于一个给定的 集合,问是否属于它自己是有意义的.但对这 个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地. 如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之, 如果S不属于S,同样根据定义,S就属于S.无论 如何都是矛盾的
例3阝阿基单斯悖论古希腊哲学家芝诺（Zenon,公元前496一前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题.大家知道,乌龟素以动作迟缓著称,阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言:阿基里斯与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟！End
古希腊哲学家芝诺（Zenon,公元前 496 —前429）曾提出一个著名的 “追龟”诡辩题.大家知道,乌龟素以 动作迟缓著称,阿基里斯则是古希腊 传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝 诺断言:阿基里斯与乌龟赛跑,将永远 追不上乌龟! 例3 阿基里斯悖论 End
（1）阿基里斯悖论假定阿基里斯现在A处,乌龟现在B处.为了赶上乌龟,阿基里斯先跑到乌龟的出发点B,当他到达B点时,乌龟已前进到B，点：当他到达B,点时，乌龟又已前进到B,点.如此等等.当阿基单斯到达乌龟前次到达过的地方,乌龟已又向前爬动了一段距离.因此.阿基单斯是永远追不上乌角的BABB1BackB1B2
A B B B1 假定阿基里斯现在A处,乌龟现在B处.为了赶上乌龟,阿 基里斯先跑到乌龟的出发点B,当他到达B点时,乌龟已前 进到B1点;当他到达B1点时,乌龟又已前进到B2点,如此等 等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方,乌龟已又向 前爬动了一段距离.因此,阿基里斯是永远追不上乌龟的! B1 B2 Back （1）阿基里斯悖论
(2）伽利略悖论1638年.伽利略指出以下事实：对于自然数n,都有一个平方数n2与之对应,且仅有一个数与之对应,即12， 22 ， 32 所以,平方数的总数等于自然数的总数.但显然平方数集是自然数集的部分，因此部分等于全体.而全体大于部分,导致矛盾Back
(2) 伽利略悖论 1638年,伽利略指出以下事实:对于自然 数n, 都有一个平方数n 2与之对应,且仅有一 个数与之对应,即 1 1 2 , , 2 2 2 , , . . . . n n 2 , , 所以,平方数的总数等于自然数的总数.但 显然平方数集是自然数集的部分,因此部分 等于全体.而全体大于部分,导致矛盾. 3 3 2 , , Back
(3)撒谎者悖论有一个人说：“我现在说的这句话是谎言.”如果肯定这句话为真，那么按照这句话的意思就应该推出这句话为假：如果肯定这句话为假，那么按照这句话的意思就应该推出这句话为真.这是矛盾的Back
(3) 撒谎者悖论 有一个人说:“我现在说的这句话是谎言.” 如果肯定这句话为真,那么按照这句话的意 思就应该推出这句话为假；如果肯定这句话为 假,那么按照这句话的意思就应该推出这句话 为真.这是矛盾的. Back