五、无穷大量与无穷小量1)无穷大量定义 若在某个变化过程中，函数f(x)的绝对值|f(x)变得越来越大，且想多大就会有多大，则称f(x)的极限是无穷大，记作f(x)→80（x →x,或x →8）f(x)称为无穷大量，简称无穷大注：无穷大是变量,不能与很大的数混淆limlim lnx = -o0,lim== 80,=+8x--0 2x-0 XX→0g(x)=lnx,h(x)=二分别称函数f(x)=2tx为x→-80,x→0+,x→0过程中的无穷大量
五、无穷大量与无穷小量 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f x f x f x f f x x x x x → → → 若在某个变化过程中，函数 的绝 对值 变得越来越大，且想多大就会有 多大，则称 的 定 （ 极限是无穷大， 记作 . 称 或 ） 为无穷大量，简称 义 无穷大 0 1 lim x→ x + = ， 0 lim ln , x x → = − 1 lim 2 , x x→− = + 1 1 ( ) 2 , , ( ) ln 0 ) , , . 0 ( x h x x g x x x f x x x + = = → = → − → 函数 分别称 为 过程中的无穷大量 1) 无穷大量 注:无穷大是变量,不能与很大的数混淆
lim=十82+x-→-80lim ln x = -00x→0+Vlim==80x-0 x
o x y 0 1 lim x→ x = + 0 lim ln x x → = − 1 lim 2 x x→− = +
注意：（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;(2)切勿将 lim f(x)= oo认为极限存在;x-→xo（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大f(x)=xcosx(x→0)是无界变量,但不是无穷大量。10i
注意: （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 0 2 lim ( ) ; x x f x → （ ）切勿将 = 认为极限存在 ( ) cos ( ) , . f x x x x = → 是无界变量 但不是 无穷大量
再如：1+(-1)n，即(0,2,0,4,0,6.]是无数列a,=2界变量，但不是无穷大量.因无法找到N，使对于M>0，当n>N时，都有a,>M
1 1 {0 2 0 4 0 6 .} 2 . 0 . n n n a N M n N a M + − = （ ） 数列 ，即 ， 是无 界变量，但不是无穷大量因无法找到 ，使 对于 ，当 时，都有 再如:
2）无穷小量若在某个变化过程中，函数f(x)的绝对值f(x)变得越来越小，且想多小就会有多小.如，2008年北京奥运会倒计时定义：在某个变化过程中，以零为极限的变量为无穷小量.简称无穷小注：(1)极限为零的数列(x,{也可称为n→时的无穷小量变量0无穷小是(2)不能与很小的数混淆．limEnn-ad(3)零是可以作为无穷小的唯一的数
（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆. （3）零是可以作为无穷小的唯一的数. 注： 0 2 1 lim = → n n 2)无穷小量 ( ) ( ) 2008 f x f x 若在某个变化过程中，函数 的绝对值 变得越来越小，且想多小就会有多小. 如， 年北京奥运会倒计时. 1 { } . n （ ）极限为零的数列 x n 也可称为 → 时的无穷小量 以零为极限的 变量为 定义：在某个变化过 . 程中， 无穷小量 简称无穷小
例4:limsinx = 0x-0-2：函数sinx是当x→0时的无穷小y0.Tx→8?1x·函数是当x→8时的无穷小二xx(-1)"0.lim=xn-→80n012(-1)"数列是当n→8时的无穷小n
x y 1 = o x y x y 1 = 例4 limsin 0, 0 = → x x 0, 1 lim = x→ x 0, ( 1) lim = − → n n n ( 1) { } n n n − → 数列 是当 时的无穷小. → 函数sin 0 x x 是当 时的无穷小. • 1 4 • 1 2 1 3 −1 − O • • •• 1 x x → 函数 是当 时的无穷小. •
无穷小量与函数极限的关系：定理lim f(x) = A台 f(x) = A+α(x)x-→xo其中α(x)→0 (x→x)证明必要性令 α(x)= f(x)-A,设 lim f(x)= A,x-→xo因而 lim α(x)= 0,: f(x)=A+α()X-→Xo充分性若f(x)=A+α(x), 其中α(x)→o (x→x)于是 lim f(x)= lim(A+α(x)x-→xx-→xa= A+ lim α(x) = A.x-→xo
无穷小量与函数极限的关系: 证明 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令( ) ( ) , x f x A = − 0 lim ( ) 0, x x x → 因而 = = + f x A x ( ) ( ). 充分性 若f x A x ( ) ( ), = + 0 其中( ) , x o x x → → （ ） 0 0 lim ( ) lim( ( )) x x x x f x A x → → 于是 = + 0 lim ( ) . x x A x A → = + = 0 0 lim ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) x x f x A f x A x x o x x → = = + → → 其中 定理
无穷小量的性质1.有限个无穷小量的代数和是无穷小量，例5当x一0时.x与sinx都是无穷小量所以,当x→0时,x+sinx是无穷小量73321
1.有限个无穷小量的代数和是无穷小量. 无穷小量的性质： 例5 0 , sin , , 0 , sin x x x x x x → → + 当 时 与 都是无穷小量 所以 当 时 是无穷小量
2.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量Xlimsinx)=0.imx>x有界变量无穷小量
sin lim lim( ) in 0 . 1 s x x x x x → → x = = 无穷小量 有界变量 2.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量
3.有限个无穷小量的乘积是无穷小量例6 当x→0时，x2与tanx都是无穷小量，所以x2tanx是无穷小量15-0.50.51.5如
3.有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 例6 2 2 0 tan tan x x x x x 当 → 时， 与 都是无穷小量， 所以 是无穷小量