《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-3 全微分及其应用

第三节全微分及其应用全微分一、二、全微分在近似计算中的应用三、小结思考题经济数学微积分

一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、小结 思考题 第三节 全微分及其应用

一、全微分(perfect differential)由一元函数微分学中增量与微分的关系得f(x+△x,y)- f(x,y)fx(x, y)Ax~f(x, y+Ay)- f(x,y) f,(x,y)Ay二元函数二元函数对x和对的偏增量对x和对的偏微分(partialincrement)(partialdifferential)经济数学微积分

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对 x 和对 y 的偏微分 (partial differential) 二元函数 对 x 和对 y 的偏增量 (partial increment) 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分（perfect differential)

全增量（perfectincrement)的概念如果函数z= f(x,)在点(x,J)的某邻域内有定义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x+ Ax, y+ Ay)- f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量△x,△y的全增量，记为△z，即 △z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)经济数学微积分

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 全增量(perfect increment)的概念

全微分的定义如果函数z= f(x,y)在点(x,y)的全增量△z= f(x+△x,y+Ay)- f(x,y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(p)，其中A,B不依赖于△x,Ay而仅与x,y有关，p= /(△x) +(Ay)2,则称函数z=f(x,y)在点(x,)可微分,A△x+B△y称为函数z=_f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=A△x+B△y经济数学微积分

如果函数 z = f (x, y)在点(x, y)的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y)可以表示为 z = Ax + By + o()，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分， Ax + By称为函数z = f (x, y)在点(x, y)的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. 全微分的定义

函数若在某区域D内各点处处可微分则称这函数在D 内可微分如果函数z= f(x,J)在点(x,J)可微分,则函数在该点连续事实上 △z= A△x+By+o(p),lim △z = 0,p-→0lim f(x + △x, y + Ay)= limlf(x, y)+ △z)Ar-→0p->0Ay-→0= f(x,y)故函数z= f(x,y)在点(x,)处连续经济数学微积分

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续

可微的条件定理1（必要条件）如果函数z=f(x,J)在点Oz(x,y)可微分，则该函数在点(x,J)的偏导数axaz必存在，且函数z= f(x,)在点(x,y)的全微分一为OzOz.dz =Ax +Ayaxay经济数学微积分

定 理 1（必要条件） 如果函数 z = f (x, y)在 点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函数z = f (x, y)在 点(x, y)的全微分 为 y y z x x z z     +   d = ． 可微的条件

证 如果函数z= f(x,J)在点P(x,y)可微分对点P的某个邻域内的任意一点P'(x+△x,y+Ay), 下式总成立，△z = A△x + B△y + o(p)当△y=0时，上式仍成立，此时p=△xl,f(x+△x, y)- f(x, y) = A.Ar + o(I△x DOzf(x + △x,y)- f(x,y)limaxAxAr-→0az同理可得B=ayL微积分经济数学

证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, 对 点 P 的 某 个 邻 域 内 的 任 意 一 点 P(x + x, y + y)，下式 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   =

微分存在。一元函数在某点的导数存在V7多元函数的各偏导数存在全微分存在，xyx2+y±0例如，f(x,J)=x2+0x2 + y2 = 0在点(0,0)处有fx(0,0) = f,(0,0) = 0经济数学微积分

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f

Ax · AyAz -[f(0,0) · △x + f,(0,0) · Ay]=V(Ax)~ +(Ay)?如果考虑点P'(△x,△Ay)沿着直线y=x趋近于(0,0)Ax · AyAx . Ax1则 (Ar)'+(Ay)?2-2'(Ax)° +(Ax)?p说明它不能随着p→0而趋于0，当 p→0时，Az -[f (0,0) . △x + f,(0,0) · Ayl ± o(p),函数在点(0,0)处不可微化经济数学微积分

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理2（充分条件）如果函数z=f(x,)的偏Oz.Oz.导数在点(x,J)连续，则该函数在点(x,y)axay可微分，证 △z= f(x+Ax,y+Ay)- f(x,y)=[f(x+Ax, y+Ay)- f(x, y+ Ay)+[f(x, y+Ay)- f(x,y)]2经济数学微积分

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)]