第二节定积分的性质基本内容二、小结思考题经济数学微积分
一、基本内容 二、小结 思考题 第二节 定积分的性质
基本内容("[f(x)± g(x)]dx=(" f(x)dx±/~g(x)dx.性质1eb证[f(x)± g(x)]dx1= limZ[f(5,)± g(5,)]Ax20i=1nnZZ f()Ax;= lim:±limg(5)Ax;1-→02-→0i=1i=1f(x)dx ± ~ g(x)dx.（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）经济数学微积分
证 [ ( ) ( )]d b a f x g x x i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 ( )d b a = f x x ( )d . b a g x x [ ( ) ( )]d b a f x g x x ( )d b a = f x x ( )d b a g x x . （此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况） 性质1 一、基本内容
性质2kf(x)dx = k (f(x)dx(k为常数)nZkf(5)Ax;kf(x)dx = lim证20i1nnZf(5)Ax;Z f(5)Ax; = klim= limk1→020i=1i1f(x)dx.微积分经济数学
( )d ( )d b b a a kf x x k f x x = ( k为常数). 证 ( )d b a kf x x i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( )d . b a = k f x x 性质2
性质3假设a<c<b[" f(x)dx= f° f(x)dx + f' f(x)dx.补充：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立例若 a<b<cJ° f(x)dx = " f(x)dx + f' f(x)dx则 f~ f(x)dx= J° f(x)dx-J’ f(x)dxf f(x)dx+ f" f(x)dx.（定积分对于积分区间具有可加性）微积分经济数学
( )d b a f x x ( )d ( )d c b a c = + f x x f x x . 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, ( )d c a f x x ( )d ( )d b c a b = + f x x f x x ( )d b a f x x ( )d ( )d c c a b = − f x x f x x ( )d ( )d . c b a c = + f x x f x x （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a c b
性质4"1.dx=dx=b-a.0性质5如果在区间[a,bl上f(x)≥0,则" f(x)dx ≥0. (a<b)证 f(x)≥0, f(,)≥0, (i=1,2,..,n):: Zf(5,)Ax, ≥0,: △x, ≥ 0,i=1a = max[Ax,Ax2,".",Ax.]nZ f(5,)Ax; = (" f(x)dx ≥ 0.lim2-0i1化经济数学微积分
1 d b a x d b a = x = b − a. 则 ( )d 0 b a f x x . (a b) 证 f (x) 0, ( ) 0, i f (i = 1,2, ,n) 0, xi ( ) 0, 1 = i i n i f x max{ , , , } = x1 x2 xn i i n i f x = → lim ( ) 1 0 ( )d 0. b a = f x x 性质4 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x) 0
22例 1比较积分值e*dx和xdx的大小Jo10解令f(x)=e*-x, xE[-2, 0]( (e* -x)dx > 0,: f(x) >0,e"dx >Pxdx,J-e*dx <于是xdx.微积分经济数学
例 1 比较积分值 2 0 d x e x − 和 2 0 x xd − 的大小. 解 令 f (x) e x, x = − x[−2, 0] f (x) 0, 0 2 ( )d 0, x e x x − − 0 2 d x e x − 0 2 x xd , − 于是 2 0 d x e x − 2 0 x xd . −
性质5的推论：(1) 如果在区间[a,bl上f(x)≤g(x)则[ f(x)dx ≤[" g(x)dx.(a<b)证： f(x)≤g(x), g(x)-f(x)≥0,([g(x) - f(x)]dx ≥ 0g(x)dx -[" f(x)dx ≥ 0,1[" f(x)dx ≤ f" g(x)dx.于是经济数学微积分
性质5的推论： 证 f (x) g(x), g(x) − f (x) 0, [ ( ) ( )]d 0, b a − g x f x x ( )d ( )d 0, b b a a g x x f x x − 于是 ( )d b a f x x ( )d b a g x x . 则 ( )d b a f x x ( )d b a g x x . (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)
性质5的推论：(2)[" f(x)dx≤J" 1 f(x)]dx.(a<b)证 -f(x)≤f(x)≤[f(x),:: -f'l f(x)dx≤ J' f(x)dx ≤/f(x)dx,' f(x)dx≤['1f(x)ldx即说明：lf(x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的经济数学微积分
( )d b a f x x ( )d b a f x x . (a b) 证 − f (x) f (x) f (x), ( )d ( )d ( )d , b b b a a a − f x x f x x f x x 即 ( )d b a f x x ( )d b a f x x . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 性质5的推论： （2）
性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则 m(b-a)≤ (" f(x)dx≤ M(b-a).证: m≤f(x)≤M,mdx≤ (" f(x)dx≤Mdx,m(b-a) ≤ ( f(x)dx ≤ M(b -a).（此性质可用于估计积分值的大致范围经济数学微积分
设M及m分别是函数 证 m f (x) M, d ( )d d , b b b a a a m x f x x M x ( ) ( )d ( ). b a m b a f x x M b a − − （此性质可用于估计积分值的大致范围） 则 ( ) ( )d ( ) b a m b a f x x M b a − − . f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 性质6
1?元估计积分例 2dx的值?3+sinx1解f(x) :V x e[0, π],33 + sin' x11-13+sss10≤sin’ x≤1,1?元九=dx,二dx≤dx<33103+ sin°x1元元元<dx<103 + sin x340一C经济数学微积分
例 2 估计积分 3 0 1 d 3 sin x x + 的值. 解 , 3 sin 1 ( ) 3 x f x + = x[0, ], 0 sin 1, 3 x , 3 1 3 sin 1 4 1 3 + x 3 0 0 0 1 1 1 d d d , 4 3 3 sin x x x x + 3 0 1 d . 4 3 3 sin x x +