第二节求导法则与基本初等函数求导公式一、和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则二三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与求导公式五、小结思考题经济数学微积分
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 第二节 求导法则与基本 初等函数求导公式 四、基本求导法则与求导公式 五、小结 思考题
一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u(x)，v(x)在点x处可导,则它们的和、差、积、商（除分母不为零外)在点x处也可导，并且(1) [u(x)± v(x))' = u'(x)±v(x);(2) [u(x)· v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x):u'(x)v(x)-u(x)v'(x)(3) [(v(x)±0)v(x)仁经济数学微积分
一、函数的和、差、积、商的 求导法则 定理1 处也可导 并且 们的和、差、积、商 除分母不为零外 在点 如果函数 在点 处可导 则它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x , ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x
证(1)、(2)略u(x)证(3)设f(x)(v(x) ± 0),v(x)f(x+h)- f(x)f'(x) = limhh→>0u(x+h)u(x)v(x)v(x + h)= limhh-→0u(x +h)v(x)-u(x)v(x +h)= limh-→0v(x + h)v(x)h经济数学微积分
证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = → 证(1)、(2)略
[u(x + h)-u(x)lv(x) -u(x)[v(x +h) -v(x)= limh-→0v(x + h)v(x)hu(x+ h)-u(x)v(x+ h) -v(x)(x)-u(xhh= limh→0v(x + h)v(x)u'(x)v(x) -u(x)v'(x)[v(x)]?f(x)在x处可导华经济数学微积分
v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x = f (x)在x处可导
推论[f;(x)"=f(x);(1)i=1i=1[Cf(x)} =Cf'(x),C为常数:(2) n[I1 f;(x)"'= fi (x)f2(x)... fn(x)(3)[i=1+...+ fi(x)f2(x)... f'(x)n= ZII f(x)f(x);i=1k=1k+i微积分经济数学
推论 (1) [ ( )] ( ); 1 1 = = = n i i n i fi x f x (2) [Cf (x)] = Cf (x),C为常数; ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 = + + = = = = n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x
下面看一些例子例1 求y=x3-2x2+sinx的导数。解 j'=3x2-4x +cosx.例2求 y= sin2x·lnx的导数.解: y = 2sin x .cos x . In xy' = 2cos x .cosx.In x+ 2 sin x .(-sin x).ln x1+ 2sin x · cos xx= 2cos 2x ln x + = sin 2x.x经济数学微积分
例1 2 sin . 求 y = x 3 − x 2 + x的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin 2x ln x的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x+ 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x + 下面看一些例子
例3 求y=tanx的导数。inx解 y'=(tanx)'=(cos x(sin x)' cos x - sin x(cos x)cosxcos? x + sin' x12secx2cos? xcos"x即 (tan x)'= sec* x.(cot x)' = - csc? x.同理可得经济数学微积分
例3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin = (tan ) = ( x x y x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x = x (cot ) csc . 2 同理可得 x = − x
例4求 y= secx的导数。解 '=(sec x)=(cos x_-(cosx)_ sin x= secxtanx.cos? xcos?x同理可得(cscx)' = -cscxcot x.例5求y= sinhx的导数。解 J'=(sinhx)'=(e*-e-)" =)=coshx1(tanhx):同理可得（coshx)=sinhxcosh2 x经济数学微积分
例4 求 y = sec x的导数 . 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = 同理可得 (csc x) = −csc x cot x. 例5 求 y = sinh x 的导数 . 解 ( )] 2 1 = (sinh ) = [ − x − x y x e e ( ) 2 1 x x e e − = + = cosh x. 同理可得 (cosh x) = sinh x x x 2 cosh 1 (tanh ) =
x0时,In(1+ x + h) - In(1 + x)f'(x)= limhh-→0hJimh-→>0 h11+x经济数学微积分
例 6 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x + 设 = 求 解 当 x 0 时 , f ( x ) = 1 , 当 x 0 时 , h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim0 + + − + = → ) 1 ln( 1 1 lim0 x h h h + = + → , 1 1+ x =
当x=0时,(0 + h) - In(1+ 0) = 1,f'(0) = limhh→0-In[1 + (0 + h)|- In(1 + 0)f(0) = limhh->0+.: f'(0) = 1.1,x≤01: f'(x)=x>0:l1+x经济数学微积分
当x = 0时, h h f h (0 ) ln(1 0) (0) lim 0 + − + = → − − = 1, h h f h ln[1 (0 )] ln(1 0) (0) lim 0 + + − + = + → + = 1, f (0) = 1. . , 0 1 1 1, 0 ( ) + = x x x f x