定义1.设K是一个数域，形为anan + an-1an-1 +...air + ao的一个表达式称为K上的一个多项式，其中an,an-1,..,ai,aoEK.当an≠0时n称为这个多项式的次数。ann称为该多项式的首项，an称为首项系数。称为不定元（或变量）。ao称为常数项。0是一个特殊的多项式，规定其次数等于一0.数域K上以为不定元的多项式全体所构成的集合记作K[c].多项式可以简记为f(α),g(),α(α)等。设 f(α) E K[a].则 f(a)的次数记作 deg(f(c))或 deg(f)
½Â1. K ´ê§/ anx n + an−1x n−1 + · · · a1x + a0 Lª¡ K þõª§Ù ¥an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ K. an 6= 0 n ¡ ùõªgê" anx n ¡TõªÄ §an ¡ÄXê" x ¡Ø½£½C þ¤"a0 ¡~ê" 0 ´AÏõ ª§5½Ùgê u −∞. ê K þ± x ؽõª N¤¤ 8ÜP K[x]. õª±{P f(x), g(x), α(x) " f(x) ∈ K[x]. K f(x) gêP deg(f(x)) ½ deg(f).
多项式之间可以按通常的方式定义加减法和乘法和乘方。它们满足交换律、结合律、分配律等。设 f(α),g(c) E K[cl,则 f(g(ac))也按通常的法则计算。. deg(fg) = deg(f) + deg(g). 设 c E K, c 0, f(α) E K[a], 则deg(cf(α) =deg(f). deg(f ± g) ≤ max(deg(f), deg(g)).·如果 f(α),g(c) E K[g)满足 f(c)0, f(c)g(a) =0 则 g(α) = 0.证明: deg(f)+deg(g) = deg(0) = -o 得 deg(g) =-8口· 如果 f(c),g(a),h(α) E K[g] 满足 f(a) ≠0, f(α)g(α) = f(α)h(α), 则 g(α) = h(c).证明： f(α)[g(α) -h(c)) = 0
õªm±UÏ~ª½Â\~{Ú ¦{Ú¦"§÷vÆ!(ÜÆ!© Æ " f(x), g(x) ∈ K[x], K f(g(x)) UÏ~{ KO" • deg(fg) = deg(f) + deg(g). • c ∈ K, c 6= 0, f(x) ∈ K[x], Kdeg(cf(x)) = deg(f). • deg(f ± g) ≤ max(deg(f), deg(g)). • XJ f(x), g(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = 0 K g(x) = 0. y²µdeg(f)+deg(g) = deg(0) = −∞ deg(g) = −∞ ✷ • XJ f(x), g(x), h(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = f(x)h(x), K g(x) = h(x). y²µf(x)[g(x) − h(x)] = 0. ✷
带余除法定理1.设K是一个数域,f(α),g(α)EK[a].如果 g(α) ≠ 0 则存在唯一的一对多项式 q(α),r(α)满足1) f(α) = g(α)q(c) +r(c);2) deg(r) < deg(g).q(α)称为商,r(α)称为余式证明：存在性：对f(c)的次数进行归纳即可。唯一性：利用次数。口
{Ø{ ½n1. K ´ê,f(x), g(x) ∈ K[x]. X J g(x) 6= 0 K3éõª q(x), r(x) ÷v 1) f(x) = g(x)q(x) + r(x); 2) deg(r) < deg(g). q(x) ¡û, r(x) ¡{ª. y²µ35µé f(x) gê?18B= " 5µ|^gê" ✷
例1.设 f(α) = 2α4-5α + 1,g(α)= 2 - +2,求g(α)除f(α)的商和余式。求解的方法叫带余除法或长除法（longdivision)
~1. f(x) = 2x 4 − 5x + 1, g(x) = x 2 − x + 2, ¦ g(x) Ø f(x) ûÚ{ª" ¦){{Ø{½Ø{£long division¤
作业：p.187: 1,2,6,7
µ p.187: 1,2,6,7
多项式的整除性定义2.设 f(α),g(α) E K[al.如果 f(c)≠0 且存在 h(c) E K[cl 使 g(α) = f(αc)h(c),则称 f(α) 整除 g(a)记作f(c)lg(α)或flg一些基本事实：1）任何一个非零常数整除任何一个多项式2）任何一个非零多项式整除03)0不能整除任何多项式：4)若g(α)lf(α),g(α)/h(c),则对任何多项式a(α),b(c)都有g(α)la(α)f(α) +b(α)h(α).5)若g(c)lf(c)且 f(α)≠0, 则 deg(g) ≤deg(f)6) g()lf(α) → g(h()lf(h(α))7)两个常用公式：二项式定理和an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b+ ... + bn-1)
õªØ5 ½Â2. f(x), g(x) ∈ K[x]. XJ f(x) 6= 0 3 h(x) ∈ K[x] ¦ g(x) = f(x)h(x), K¡ f(x) Ø g(x) P f(x)|g(x) ½f|g. Ä ¯¢: 1) ?Û"~êØ?Ûõª; 2) ?Û"õªØ 0; 3) 0 ØUØ?Ûõª; 4) e g(x)|f(x), g(x)|h(x), Ké?Ûõª a(x), b(x) Ñkg(x)|a(x)f(x) + b(x)h(x). 5) e g(x)|f(x) f(x) 6= 0, K deg(g) ≤ deg(f). 6) g(x)|f(x) ⇒ g(h(x))|f(h(x)). 7) ü~^úªµª½nÚ a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + · · · + b n−1 ).
引理2. 设 f(α), g(α) E K[cl,g(α) ≠ 0. 则 g(α)lf(α)当且仅当f(α)被g(α)除的余式等于零.证: →: 存在 b(α) E K[a) 使 f(c) = g(α)b(α).故f(c) = g(c)b(c) + 0. 由于 deg(O) < deg(g),所以f(α)被 g(α)除的余式等于零.←:余式等于零意味着 f(α)= g(c)q(α),即 g(α)lf(c)口引理3.设f(α),g(c)都是非零多项式.若f(α)lg(c)且 g(α)lf(α),则f(α)= c·g(α),其中 c是一个非零常数.证: 设 f(α) = g(c)a(c),g(c) = f(c)b(c). 则 f(α) =f()b(α)a(α), 从而a(α)b(α) = 1, 所以a(α),b(α) 只能是非零常数.口
Ún2. f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) 6= 0. K g(x)|f(x) =f(x) g(x) Ø{ª u". y: ⇒: 3 b(x) ∈ K[x] ¦ f(x) = g(x)b(x). f(x) = g(x)b(x) + 0. du deg(0) < deg(g), ¤ ± f(x) g(x) Ø{ª u". ⇐: {ª u"¿X f(x) = g(x)q(x), = g(x)|f(x). ✷ Ún3. f(x), g(x) Ñ´"õª.e f(x)|g(x) g(x)|f(x), Kf(x) = c · g(x), Ù¥ c ´ "~ê. y: f(x) = g(x)a(x), g(x) = f(x)b(x). K f(x) = f(x)b(x)a(x), l a(x)b(x) = 1, ¤± a(x), b(x) U´"~ê. ✷
多项式的最大公因式定义3. 设 f(α),g(c), h(α) E K[a]. 如果 h(α)lf(α), h(α)lg(α),则 h(α)称为f(α)和g(α)的一个公因式.设d(α)是f(α)和g(α)的一个公因式并且具有如下性质：对f(c),g(a)的任何一个公因式h(α)都有h(α)ld(α),则d(α)称为f(α)和g(α)的最大公因式,记作(f(c),g(a))或gcd(f(α),g(c)). (greatestcommon divisor)
õªúϪ ½Â3. f(x), g(x), h(x) ∈ K[x]. XJ h(x)|f(x), h(x)|g(x), K h(x) ¡ f(x) Ú g(x) úϪ. d(x) ´ f(x) Ú g(x) úϪ¿ äkXe 5: é f(x), g(x) ?ÛúϪ h(x) Ñ k h(x)|d(x), K d(x) ¡ f(x) Úg(x) ú Ϫ, P (f(x), g(x)) ½gcd(f(x), g(x)). (greatest common divisor)
例2.）2-1和-都是42-4+1与3_号的最大公因式.一般把a一号定为gcd(4c2－4c+1,α3号)，因为它的首项系数等于1.首项系数为1的多项式叫首一多项式。例3. gcd(0,0)不存在例4. 若 f(α) 0, 则 gcd(f(c),0) =f(c)
~2. ) 2x−1 Ú x− 1 2 Ñ´ 4x 2 −4x + 1 x 3 − x 2 2 úϪ.r x − 1 2 ½gcd(4x 2 − 4x + 1, x3 − x 2 2 ), ϧÄXê u1. ÄXê 1õªÄõª" ~3. gcd(0, 0) Ø3. ~4. e f(x) 6= 0, K gcd(f(x), 0) = f(x).
引理4.设di(α),d2(α）都是f(α),g(α）的最大公因式,则di(α)=c.d2(α),其中c是个非零常数证:由定义得 di(ac)ld2(a),d2(c)di(α). 引理5. 设 f(α)=g(c)q(α)+r(c),其中 g(α)≠ 0如果d(α) = gcd(g(c), r(α)), 则 d(α) = gcd(f(c), g(α))证明：显然d(α)是f(α)和g(c)的一个公因式.设h(α)是f(α)和g(α)的任意一个公因式由于 r(α) = f(α)-g(c)q(α),故h(c) 整除 r(α). 由于 d(α) = gcd(g(α), r(c)), 因此 h(α)ld(α)
Ún4. d1(x), d2(x) Ñ´ f(x), g(x) ú Ϫ,K d1(x) = c · d2(x), Ù¥ c ´"~ê. y: d½Â d1(x)|d2(x), d2(x)|d1(x). ✷ Ún5. f(x) = g(x)q(x) + r(x), Ù¥ g(x) 6= 0. XJd(x) = gcd(g(x), r(x)), K d(x) = gcd(f(x), g(x)). y²: w, d(x) ´ f(x) Ú g(x) úÏ ª. h(x) ´f(x) Ú g(x) ?¿úϪ, du r(x) = f(x)−g(x)q(x), h(x) Ø r(x). d u d(x) = gcd(g(x), r(x)), Ïd h(x)|d(x). ✷