第七节函数的连续性一、函数的连续性的概念二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、小结思考题经济数学微积分
一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 四、小结 思考题 第七节 函数的连续性 三、初等函数的连续性
一、函数的连续性(continuity)1.函数的增量(increment)设变量u从它的初值u,变到终值u,则Au=u,-ui称为变量u的增量注意：(1)△u可正可负；，不能看作△(2) △u 是一个整体,与u的乘积.经济数学微积分
一、函数的连续性(continuity) 1.函数的增量(increment) . 2 1 1 2 称为变量 的增量 设变量 从它的初值 变到终值 则 u u u u u u u = − 注意： (1) u 可正可负； . (2) 与 的乘积 是一个整体，不能看作 u u
设函数 f(x)在U(xo,)内有定义,当x在U(x,)内由x变到x+△x时,称Ax为自变量 x在点xo的增量；相应地，函数y从f(x)变到f(x+△x)，Ay = f(x。 +Ax) - f(xo)称为函数 f(x)相应于△x的增量yyy= f(x)y= f(x)AyAyArAxoT1Xo+Ax xX +ArxxoXo化经济数学微积分
的增量；相应地，函数 从 变到 ， 内由 变到 时，称 为自变量 在点 设函数 在 内有定义 当 在 ( ) ( ) ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y f x f x x x x x x x x f x U x x U x + + ( ) . ( ) ( ) 0 0 称为函数 f x 相应于 x的增量 y f x x f x = + − x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)
2.连续的定义定义1设函数f(x)在U(xo,)内有定义,如果当自变量的增量^x趋向于零时，对应的函数的增量Ay也趋向于零，即limAy=0或Ar→0lim[f(x。+△x)-f(x)]=0,那末就称函数f(x)在Ax点x.连续，x.称为f(x)的连续点设 x= x,+Ax,Ay= f(x)- f(x)Ax→0就是x→x,Ay→0 就是f(x)→f(x,)经济数学微积分
2.连续的定义 定义 1 设函数 f ( x)在 ( , ) U x0 内有定义,如果当 自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量 y也趋向于零,即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在 点 0 x 连续, 0 x 称为 f (x)的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义 2 设函数f(x)在U(x,S)内有定义,如果函数f(x)当x一→x,时的极限存在，且等于它在点x,处的函数值f(x),即 limf(x)=f(x)x-→Xo那末就称函数f(x)在点x.连续"-8"定义：>0,>0,使当x-x<时恒有f(x)-f(x,)<8.经济数学微积分
定义 2 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 内有定义,如果 函 数 f (x)当x → x0时的极限存在,且等于它在 点x 0处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在 点 0 x 连 续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
从这个定义我们可以看出，函数f(x)在点x处连续，必须满足以下三个条件：(1）函数f(x)在点x.处有定义;(2）极限limf(x)存在，即x-→xolim f(x) = lim f(x)x→xox-→Xo(3) lim f(x)= f(x.) -x-→>xo即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值经济数学微积分
从这个定义我们可以看出，函数f (x) 在点 0 x 处连续，必须满足以下三个条件： （1）函数 f (x)在点 x0 处有定义； （2）极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x − + → → = （3）lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值
-x±0,xsin例1 试证函数,f(x)=在x= 0x0,x= 0,处连续。证 ·limxsin=0x-→0x又f(0)= 0,lim f(x) = f(0),x0由定义2知函数f(x)在x=0处连续微积分经济数学
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
例2 证明函数y= sinx在区间(-o0,+oo)内连续证任取x E (-0,+8),AxNAy = sin(x + Ax) - sin x = 2sin22AxAx则|Ay|≤ 2sin≤1,cos(x +22对任意的α,当α≠0时,有sinα<α,Ar:. 当△x→0时,Ay→0故Ay|≤ 2sin[Ax]2即函数y= sinx对任意xE(-o0,+o)都是连续的经济数学微积分
例 2 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(−,+)都是连续的
3.单侧连续若函数f(x)在(a,xj内有定义,且f(x。-0)= f(x)则称f(x)在点x.处左连续若函数f(x)在[xo,b)内有定义,且f(x+0)= f(x)则称f(x)在点x处右连续定理lim f(x)= f(xo) f(xo -0)= f(x +0)= f(xox→xo经济数学微积分
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim 0 f x f x f x f x f x x x = − = + = →
x + 2,,x≥0在x=0处的例3 讨论函数 f(x)=x-2, x<0,连续性.解 lim f(x) = lim(x+2) = 2= f(0)x0x-0+lim f(x) = lim(x -2)= -2± f(0),x-→0x-0右连续但不左连续，故函数f(x)在点x=0处不连续经济数学微积分
例3 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续