第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念┌i不定积分的几何意义基本积分表四、不定积分的性质五、小结思考题经济数学微积分
一、原函数与不定积分的概念 四、不定积分的性质 三、基本积分表 五、小结 思考题 第一节 不定积分的概念与性质 二、不定积分的几何意义
原函数与不定积分的概念一定义如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即VxEI，都有F'(x)=f(x)或dF(x)= f(x)dx， 那么函数F(x)就称为f(x)或f（x)dx在区间I内原函数.（primitivefunction）例(sinx) = cosxsinx是cosx的原函数x(x>0)ln x是二在区间(0,+oo)内的原函数x经济数学微积分
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或d d F x f x x ( ) ( ) = ， 那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f x x ( )d 在区间I内原函数. 一、原函数与不定积分的概念 ( primitive function ) 定义
定理原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I内连续那么在区间I内存在可导函数F(x)：使VxEI，都有F'(x)=f(x)简言之：连续函数一定有原函数问题：（1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系?(sinx+C) = cos x例(sinx)= cosx（C为任意常数）经济数学微积分
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 定理
关于原函数的说明：(1）若F(x)=f(x)，则对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)的原函数(2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)-G(x)=C（C为任意常数)证： [F(x)-G(x)] = F'(x)-G'(x)= f(x)- f(x) = 0F(x)-G(x)=C（C为任意常数）说明F(x)+c是f(x)的全部原函数经济数学微积分
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 说明F(x)+ c是f (x)的全部原函数
定义不定积分(indefinite integral)的定义：在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I 内的不定积分，记为[f(x)dx.F(x)+Cf(x)dx=被积表达式被积函数任意常数原函数积分号积分变量经济数学微积分
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分(indefinite integral)的定义： 在区间I 内， f x x F x C ( )d ( ) = + 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx. 定义 原 函 数
x'dx.例1 求 (x解6例2 求dr解：arctan1+X1dx = arctanx + C.经济数学微积分
例1 求 5 x xd . 解 , 6 5 6 x x = 6 5 6 d . x = + x x C 解 例2 求 2 1 1 d . x + x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + = 2 1 1 d arctan . x x C x = + +
例3某商品的边际成本为100－2x，求总成本函数C(x)解 C(x)= [(100-2x)dx=100x一x2 +c其中℃为任意常数经济数学微积分
例3 某商品的边际成本为 , 求总成 解 = x − x + c 2 100 C x x x ( ) ( )d = − 100 2 其中 c 为任意常数 100 − 2x 本函数 C(x)
不定积分的几何意义二函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线在同一显然，求不定积分得到一积分曲线族，横坐标x=x。处,任一曲线的切线有相同的斜率y0xX0经济数学微积分
二、不定积分的几何意义 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族, 横坐标 处,任一曲线的切线有相同的斜率. 0 x = x 0 x y 0 x 在同一
基本积分表一u+1ru+1实例ru+Cdxμ+1(u±-1)启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式经济数学微积分
实例 x x = + + 1 1 1 1 d . x x x C + = + + 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. ( −1) 三、 基本积分表
kdx = kx + C(k是常数);(1)基本积分表ru+1+C(2)x"dx(u±-l);μ+1些 = In|x| +C;(3)xdxInx+C说明：x>0, =1x<0, [In(-x)]:xXdxdx= In(-x)+C,= In|x|+C,X微积分经济数学
基本积分表 ( ) d ( 1 k x kx C k = + 是常数); 1 2 1 1 ( ) d ( ); x x x C + = + − + 3 d ( ) ln ; x x C x = + 说明： x 0 , d ln , x x C x = + x 0, [ln( − x)] = , 1 ( ) 1 x x x − = − d ln( ) , x x C x = − + d ln | | , x x C x = +