第一节空间直角坐标系空间点的直角坐标三三空间两点间的距离曲面方程的概念四、空间曲线方程的概念五、n维空间六、小结 思考题经济数学微积分
第一节 空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离 六、小结 思考题 三、曲面方程的概念 四、空间曲线方程的概念 五、n维空间
一、空间点的直角坐标z竖轴三条坐标轴的正方向(vertical axis)符合右手法则即以右手握住z轴，当右手的四个原点0y纵轴(origin)元手指从x轴正向以(ordinate axis)2横轴x（abscissaaxis）角度转向正向y轴空间直角坐标系时，大拇指的指向(spacerectangular就是z轴的正向coordinates system经济数学微积分
横轴 x y 纵轴 z 竖轴 原点 o • 空间直角坐标系 三条坐标轴的正方向 符合右手法则. 即以右手握住 z轴，当右手的四个 手指从x轴正向以 2 角度转向正向 y轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 一、空间点的直角坐标 ( space rectangular coordinates system ) (abscissa axis) (ordinate axis) (origin) (vertical axis)
II7zOx面yO面IIIV10xO面VIxVIVVII空间被分为八个卦限经济数学微积分
Ⅶ x o y z xOy 面 yOz 面 zOx 面 空间被分为八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
一对应空间的点←>有序数组(x,y,z)坐标轴上的点P,Q,R特殊点的表示：坐标面上的点A,B,C,坐标原点O(0,0,0)zB(0,y,z)R(0,0,z)M(x,y,z)C(x,0,z)2(0,3,0)OxP(x,0,0)A(x,y,0)微积分经济数学
空间的点 ⎯ ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 一一对应 特殊点的表示: 坐标原点O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z O P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,0,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C
八个卦限中点的坐标点的坐标(x,J,z)卦限点的坐标(x,J,z)卦限Vx>0,>0,z0,>0,z>01IIVIx0,z>0x0,z0x0,y0IVx>0,<0,z<0经济数学微积分
x>0,y>0,z>0 x0,z>0 x0 x>0,y>0,z0,z0,y0 x>0,y<0,z<0 卦限 点的坐标(x, y,z) 卦限 点的坐标(x, y,z) 八个卦限中点的坐标 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
例1 求点(xi,Ji,z)关于(1)xOy面；(2)z轴；(3)坐标原点；(4)点(a,b,c)的对称点坐标解讠设所求对称点的坐标为（x2,J2,z），则(1)Xz=Xi,J2= J1, +Z2=0,即所求的点的坐标为(xi,Jr,-z);(2)X + X, = 0, 1 + J2 = 0,z2 = Z1即所求的点的坐标为(-Xi,-Ji,z):(3)X +x2 = 0,J1 + y2 = 0,Z + z2 = 0,即所求的点的坐标为(-xi,-Ji,-z);C经济数学微积分
解 例 1 求点( x y z 1 1 1 , , ) 关于(1)xOy 面；(2)z 轴；(3)坐标原 点；(4)点(a b c , , ) 的对称点坐标. 设所求对称点的坐标为 ( x y z 2 2 2 , , ) ，则 (1) x x y y z z 2 1 2 1 1 2 = = + = , , 0, 即所求的点的坐标为 ( x y z 1 1 1 , , ; − ) (2) 1 2 1 2 2 1 x x y y z z + = + = = 0, 0, , 即所求的点的坐标为 (− − x y z 1 1 1 , , ;) (3) 1 2 1 2 1 2 x x y y z z + = + = + = 0, 0, 0, 即所求的点的坐标为(− − − x y z 1 1 1 , , ;)
X+X2+Z2i + y2Z1(4)=C.=b,a.222即所求的点的坐标为(2a -xi,2b- J1,2c-z)微积分经济数学
(4) 1 2 1 2 1 2 , , , 2 2 2 x x y y z z a b c + + + = = = 即所求的点的坐标为 (2 ,2 ,2 . a x b y c z − − − 1 1 1 )
二、空间两点间的距离设M(i,J1,z)、M(x2,J2,z2)为空间两点,Rd=MM =?71在直角△M,NMQ及直角△M,PNPN中，使用勾股定理知y0d? =M,P2 +|PN2 +NM,[2X福经济数学微积分
设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点， x y z O • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 2 d = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离
ZR: [M,P=x, -xlQ[PM|= [y2 - yil,NPy[NM2| = 32 - z1,.. d = /M,PI2 +[PNI +[NM,]MM2/= /(x2 -x) +(y2 - y) +(z2 -z)空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为M(x,y,z)，O(0,0,0)则 d =OM = /x2+y?+z2.经济数学微积分
, M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) 则 d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z O • M1 P N Q R •M2
例 2 在y轴上求与点 A(3,-1,1)和点B(0,1,2)等距离的点解因所求点M在y轴上，可设其坐标为(0,J,0)，依题意有[MA| = |MB|,即/(0-3) +(y+1) +(0-1) = /(0-0) +(y-1) +(0-2)3解之得y=故所求点为M-.2经济数学微积分
解 例 2 在 y 轴上求与点 A(3, 1,1 − )和点B(0,1,2) 等距离的点. 依题意有 因所求点M 在y 轴上，可设其坐标为 (0, ,0 y ) ， MA MB = , 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 3 1 0 1 0 0 1 0 2 − + + + − = − + − + − y y 解之得 3 , 2 y = − 故所求点为 3 0, ,0 . 2 M −