第五节定积分的分部积分法分部积分公式一、二、小结思考题经济数学微积分
一、分部积分公式 二、小结 思考题 第五节 定积分的分部积分法
一、分部积分公式设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续udv=[uv], -f'vdu.导数，则有定积分的分部积分公式(uv)'dx =[uv].(uv) = u'v+ uv',推导0[uv]' - f'u'vdx+uv'dx,["udv=[uv] -]"vdu经济数学微积分
设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续 导数，则有 d d b b b a a a u v uv v u = − . 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) d , b b a a uv x uv = d d , b b b a a a uv u v x uv x = + d d . b b b a a a = − u v uv v u 一、分部积分公式
1arcsin xdx.例1 计算0解令dy = dx,u = arcsinx,dx则du =V=x,V1-xxdx12Parei[xaresin -,1011元+2 63元元12212华经济数学微积分
例1 计算 1 2 0 arcsin d . x x 解 令 u = arcsin x, d d , v x = 2 d d , 1 x u x = − v = x, 1 2 0 arcsin dx x 2 1 = xarcsin x 0 1 2 0 2 d 1 x x x − − 2 6 1 = 1 2 2 0 2 1 1 d(1 ) 2 1 x x + − − 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 则
xdx11例2计算01+cos2x解 1+cos2x =2cos2x,xdxxdxT元4d(tanx)20002cos21+ cos2xx[x tan x] -]1tanxdx2 Jo1In 2元元1seX108842馆经济数学微积分
例2 计算 解 π 4 0 d . 1 cos2 x x + x 1 cos2 2cos , 2 + x = x π 4 0 d 1 cos2 x x x + π 4 2 0 d 2cos x x x = ( ) π 4 0 d tan 2 x = x 4 0 tan 2 1 = x x π 4 0 1 tan d 2 − x x 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − =
In(1 + x)dx.例3 计算(2 + x)?0In(1 + x)解dx(2 + x)22+xIn(1 -dln(1 + x)2+x2+ x1In 21dx+311+x2+x1+x+x2In 2[In(1 + x) - In(2 + x)In 2- ln333VC经济数学微积分
例3 计算 解 1 2 0 ln(1 ) d . (2 ) x x x + + 1 2 0 ln(1 )d (2 ) x x x + + 1 0 1 ln(1 )d 2 x x = − + + 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x 1 0 1 dln(1 ) 2 x x + + + 3 ln2 = − 1 0 1 1 d 2 1 x x x + + + x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −
sint- dt, 求J, xf(x)dx.例4设 f(x)=tsint解国因为没有初等形式的原函数t无法直接求出,f(x)，所以采用分部积分法's(x)dx ="(x)d(x)[x] -'ra(n)-) -F(x)de微积分经济数学
例 4 设 求 解 2 1 sin ( ) d , x t f x t t = 10 xf x x ( )d . 因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf x x ( )d 1 2 0 1 ( )d( ) 2 = f x x 1 2 0 1 ( ) 2 = x f x 1 2 0 1 d ( ) 2 − x f x (1) 21 = f 1 2 0 1 ( )d 2 − x f x x
sintsinf(1) =: f(x) =dt.dt = 0.?2sin xsin xf'(x)2x :x=) -x(x)dxxf(x)dx :2sinx'dx2xsin x'dx2 Jo2J0[cos x*]- -(cos1-1).经济数学微积分
2 1 sin ( ) d , x t f x t t = , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f x = = 1 0 xf x x ( )d (1) 2 1 = f 1 2 0 1 ( )d 2 − x f x x 1 2 0 1 2 sin d 2 = − x x x 1 2 2 0 1 sin d 2 = − x x 1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = − 1 1 sin (1) d 0, t f t t = =
例5证明定积分公式元n xdxcos"sin"xdxJo3n-31元hn为正偶数242n-2n4 2n-3n-n为大于1的正奇数35n-2n证 设 u= sin"-1dv = sinxdx,x.du =(n-1)sin"-2 xcosxdx, v=-cosx,福经济数学微积分
例5 证明定积分公式 π π 2 2 0 0 sin d cos d n n n I x x x x = = 1 3 3 1 π , 2 4 2 2 1 3 4 2 , 2 5 3 n n n n n n n n n n − − − = − − − 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv x x = sin d , 2 d ( 1)sin cos d , n u n x x x − = − v = −cos x
元2n-2-sinn-1I.=xcosxdx1xcosxsin01-sin’ x0Rsin"xdx -(n-sin" xdxL,=(1=(n -1)In-2 -(n -1)InT积分I关于下标的递推公式n3直到下标减到0或1为止-4n-n-n-2微积分经济数学
1 2 2 2 2 0 0 sin cos ( 1) sin cos d n n n I x x n x x x − − = − + − x 2 0 1− sin 2 2 2 0 0 ( 1) sin d ( 1) sin d n n n I n x x n x x − = − − − n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 In 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I , 直到下标减到0或1为止
5312m-12m-3I2m092m622m-24(m=1,2, ..)62m4.22m-2-2m+17532m+12m-1号A元I.dx11sin xdx = 1.200532m-12m-31元于是I2m64222m2m-22m6 422m-2/2m+13752m+12m-1OOC经济数学微积分
, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m − − − = , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m − − + + = (m = 1,2, ) 2 0 0 d , 2 I x = = 2 1 0 I x x sin d 1, = = , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 − − − = m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − + + = m m m m I m 于是