第三节微积分基本公式一、问题的提出二、 禾积分上限函数及其导数三、牛顿-莱布尼茨公式四、小结思考题经济数学微积分
一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 四、小结 思考题 第三节 微积分基本公式
问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T,T,]上 t的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程Tv(t)dt变速直线运动中路程为7另一方面这段路程可表示为 s(T)一(T)v(t)dt = s(T)- s(T). 其中 s'(t) = v(t)经济数学微积分
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( )d T T v t t 设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上 t的一个连续函数，且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 2 1 2 1 ( )d ( ) ( ). T T = − v t t s T s T 其中 s(t) = v(t)
二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,bl上连续，并且设x为[a,bl上的一点,考察定积分F f(x)dx= J" f(t)dt如果上限x在区间「a,bl上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记为d(x)=(~f(t)dt，称为积分上限函数。经济数学微积分
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设 x为[a,b]上的一点， ( )d x a f x x 考察定积分 ( )d x a = f t t ( ) ( )d , x a = x f t t 称为积分上限函数。 如果上限x在区间 [a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它 在[a,b]上定义了一个函数，记为 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质定理1如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数Φ(x)=f(t)dt在[a,b]上具有导数,且它的导数d是Φ(x)=f(t)dt = f(x)(a≤x≤b)dxyx+Ar证 @(x+ △x)=f(t)dt△Φ =Φ(x + △x)-Φ(x)@(x)x+Arf(t)dt -f f(t)dta0XXx+AxbL经济数学微积分
a b x y o 定理１ 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 ( ) ( )d x a = x f t t 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) ( )d ( ) x a d x f t t f x dx = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 ( ) ( )d x x a x x f t t + + = = (x + x) − (x) ( )d ( )d x x x a a f t t f t t + = − (x) x
x+Arf(t)dt - * f(t)dt= f' f(t)dt +xyx+Arf(t)dt,@(x)由积分中值定理得aolXEx+AxbX△Φ = f()Ax介于x与x+Ax之间△@△@f(),limlim f()ArAr-→>0ArAr-→0Ar →0, E→xΦ'(x) = f(x)经济数学微积分
( )d ( )d ( )d x x x x a x a f t t f t t f t t + = + − ( )d , x x x f t t + = 由积分中值定理得 = f ( )x 介于x与x + x之间 x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x
补充如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导则df(t)dt = f(b(x))b'(x);dxf(t)dt = -f (a(x)a'(x);Df(t)dt = f (b(x)b'(x)- f (a(x)a'(x)经济数学微积分
如 果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则 补充 ( )d ( ( )) ( ); d d ( ) f t t f b x b x x b x = ( ) ( )d ( ) ( ); ( ) a x d f t t f a x a x dx = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( ). b x a x d f t t f b x b x f a x a x dx = −
b(x)证F(x) =f(t)diTXb(x)f(t)dt10a(x)a(x)b(x)f(t)dt,f(t)dt -0.:. F'(x) = f(b(x)b'(x)- f(a(x)a'(x)经济数学微积分
证 ( ) ( ) ( ) ( )d b x a x F x f t t = ( ) 0 ( )d b x = f t t ( ) 0 ( )d , a x − f t t F(x) = f (b(x))b(x)− f (a(x))a(x) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )d b x a x = + f t t
dt0cosx例1求im2x-→0x0分析：这是型不定式，应用洛必达法则0ddcosx解dt.dtdxdxcosx' =sinxe-cos'xCOS(cos x)2-cos?xdt1sinx:ecosx= limlim2x2ex-→0x-0福经济数学微积分
例1 求 1 2 cos 2 0 d lim . t x x e t x − → 解 1 2 cos d t x d e t dx − cos 2 1 d , x d t e t dx − = − (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 1 2 cos 2 0 d lim t x x e t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则
例 2 设,f(x)在(-0,+)内连续，且,f(x)>0.J, tf(t)dt证明函数F(x)在(0,+)内为单调增I* f(t)dt加函数dJ.(0d= (n),证tf(t)dt= xf(x),dxxf(x)f f(t)dt -f(x)f* tf(t)dtF'(x) =2(J. f()dr)华微积分经济数学
例 2 设 f (x)在(−,+)内连续，且 f (x) 0. 证明函数 0 0 ( )d ( ) ( )d x x tf t t F x f t t = 在(0,+)内为单调增 加函数. 证 0 ( )d d x tf t t dx = xf (x), 0 ( )d d x f t t dx = f (x), ( ) 0 0 2 0 ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d x x x xf x f t t f x tf t t F x f t t − =
f(x) / (x -t)f(t)dtF'(x)=2(S. ()dr). ( f(t)dt >0,: f(x)>0, (x>0):(x-t)f(t)>0, : ((x-t)f(t)dt >0,:. F'(x)>0(x>0).故F(x)在(0,+o)内为单调增加函数微积分经济数学
( ) 0 2 0 ( ) ( ) ( )d ( ) , ( )d x x f x x t f t t F x f t t − = f (x) 0, (x 0) 0 ( )d 0, x f t t (x − t) f (t) 0, 0 ( ) ( )d 0, x − x t f t t F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数